什麼是 DP

Dynamic Programming
動態規劃

拿小問題的解推到大問題的解

偷

 怎麼用 DP 

1. 定狀態
2. 推轉移
3. 看邊界

定狀態

1. 通常是某個子問題的解，例如求費氏數列第 n 項，定義就是 dp[i] = 第 i 項的值
2. 這一步通常是最難想到的，也是大部分 DP 問題的第一步
3. 多做題培養感覺

推轉移

1. 有了狀態之後，問題就是要如何由小問題推到大問題的解了
2. 思考方式像是大問題跟小問題差在哪，或是大問題要怎麼直接從小問題加上數學關係得到
3. 例如費氏數列的轉移就是 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

看邊界

小問題就用手算(X

算好的東西要怎麼記錄

DP 的陣列，也會被稱為 DP 表格

例如上面的 dp[i] 就是一種

也有人會用 dfs+unordered_map/map
但是僅限於特殊情況，因為遞迴常數很大

使用時機

問題的最佳解可以從子問題的最佳解得到

不能有迴圈

估複雜度

總時間 = \(\displaystyle\sum_{狀態} 轉移量\)

剛開始通常每個狀態時間恆定，所以可以改成

狀態數量 \(\times\) 每個狀態的轉移量

AtCoder DP contest

題單在這，現在下課

你看到右邊藍藍的箭頭了嗎
看到了嗎
真的看到了嗎

DP A

假設 dp[i] 表示青蛙從左邊開始跳，剛好跳到第 i 個石頭的最小花費

dp[i] 會跟那些東西有關？

考慮上一個跳過來的地方是誰，只有 i-1 與 i-2 兩種可能

那麼 dp[i] = min(dp[i-1] + abs(h[i] - h[i-1]), dp[i-2] + abs(h[i] - h[i-2]))

邊界條件 dp[0] = 0

複雜度 O(n)

DP B

定義方式同左

一樣是考慮 dp[i] 會跟那些東西有關

用一個迴圈掃過前 k 個更新 DP 值

複雜度 O(nk)

DP C

dp[i][j] = 考慮到第 i 個，第 i 個剛好選的是 j 的最大值

因為第 i 個要選誰只跟前一個是誰有關

轉移式 dp[i][j] = max(dp[i-1][],dp[i-1][]) + a[i]

複雜度 O(n)

DP D

偷

DP E

這題的 w 比較大，但是 v 比較小

不能用 O(nw) 的做法

反著考慮：假設當前已經拿了總價值恰好為 v 的東西，最小重量是多少

轉移方式類似，邊界條件是 dp[0] = 0, dp[i] = inf

DP F

經典題

叫做 longest common subsequence (LCS)

設 dp[i][j] = s 的前 i 項與 t 的前 j 項的 LCS 是多少

如果 s[i] == t[j]，那麼在 dp[i-1][j-1] 後面增加一個字元 s[i] 一定是最好的

否則 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

複雜度 O(ST)

DP H

dp[i][j] 表示走到 (i,j) 點有幾種走法

如果走不到就設成 0

DP I

dp[i][j] = ...

DP J

考慮 dp[i][j][k] 表示有 i 個 1，j 個 2，k 個 3

轉移可能會有自環 -> 移項