國一上數學

整數的運算

負數與數線

把數字按照大小排成一直線，就是數線

數線的三要素 & 定義

原點: 0的位置
單位長: 1的位置，或者說與0的距離
方向: 箭頭的方向，習慣上朝右方

通常你們的數學老師會直接說方向只能朝右

數線的三要素必須一定不能沒有畫出來

其他的東西可有可無

負數與數線

0朝向箭頭的方向是正，那反方向呢?

-1

數線上，朝向箭頭的方向就是正向

離0越遠，數值越大

反向就是負數

離0越遠

數值越小

-2

-3

練習

用你的紙和筆，在紙上畫出:

一條數線
一條數線，並標示出-1的位置
一條數線，並標示出-3的位置
一條數線，並標示出-3、2的位置

不要忘記數線三要素喔

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

想想看，1+1=2怎麼在數線上表示?

-2

-3

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

回想你小學學到的加法定義

-2

-3

被加數+加數=和

也就是<被加數>往箭頭的方向(右)移動<加數>的結果

就是你的<和>

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

1+2=3

也就是1往右移動2的結果

就是你的3

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

-1+2=1

也就是-1往右移動2的結果

就是你的1

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

1+(-2)=

也就是1往右移動-2的結果

什麼是往右移動-2呢?

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

1+(-2)=-1

也就是1往右移動-2的結果

也就是往左移動2的結果

就是-1

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

1+(-2)=-1

所以

加上一個負數其實就是往加法的反方向移動

加法是往箭頭的方向(右)移動

那加一個負數就是往箭頭的反方向(左)移動

整數的加減

來點小小的練習

1+(-2)=\\ -1+-1=\\ 3+2=\\ -3+2=\\ 2+-3=

有時候

我們會使用括號來標註這是負號

不是減號

如果不影響閱讀

可以不用加括號

整數的加減

確定練習好了嗎?

整數的加減

你答對了嗎?

1+(-2)=-1\\ -1+-1=-2\\ 3+2=5\\ -3+2=-1\\ 2+-3=-1

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

回想你小學學到的減法定義

-2

-3

被減數-減數=差

也就是<被減數>往箭頭的反方向(左)移動<減數>的結果

就是你的<差>

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

3-2=1

也就是3往左移動2的結果

就是你的1

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

3-4=-1

也就是3往左移動4的結果

就是你的-1

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

3-4=-1

你有沒有發現

小學數學不允許的小減大出現了!

其實小學不允許你小減大的原因很簡單

~~超綱了~~

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

1-(-2)=

也就是1往左移動-2的結果

什麼是往左移動-2呢?

想想在加法時是怎麼理解的

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

也就是1往左移動-2的結果

也就是往右移動2的結果

就是3

1-(-2)=3

整數的加減

其實就是在數線上移動

-1

一個例子

-2

-3

所以

減掉一個負數其實就是往減法的反方向移動

減法是往箭頭的反方向(左)移動

那減一個負數就是往箭頭的反反方向(右)移動

1-(-2)=3

整數的加減

一個方便的符號濫用

-1

一個例子

-2

-3

你有沒有發現

減掉一個負數其實就是加上那個負數的數值

所以我們有了"負負得正"

兩個相鄰的 - 我們會把它變成 +

1-(-2)=1--2=1+2=3

整數的加減

來點小小的練習

1-(-2)=\\ -1--1=\\ 3-2=\\ -3-2=\\ 2--3=

有時候

我們會使用括號來標註這是負號

不是減號

如果不影響閱讀

可以不用加括號

整數的加減

確定練習好了嗎?

整數的加減

你答對了嗎?

1-(-2)=3\\ -1--1=0\\ 3-2=1\\ -3-2=-5\\ 2--3=5

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

被乘數\times乘數=積

回想你小學學到的乘法定義

總共有<乘數>個<被乘數>加總在一起

得到的結果就是<積>

不過你小學時只會討論<被乘數>和<乘數>都是正數的情形

因為這種解釋方法只能用在<乘數>是正數的情形

其實就是連續的加/減法

2\times3=6

一個例子

其實就是3個2加在一起

2+2+2=6

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times1=2

再一個例子

總共1個2加在一起

那就是2

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times0=

再再一個例子

總共0個2加在一起

想想看

0個2的總和是多少?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times0=0

再再一個例子

總共0個2加在一起

0個2其實就是0

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

0\times2=

再再再一個例子

總共2個0加在一起

那會是多少?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

0\times2=0

再再再一個例子

總共2個0加在一起

0+0=0

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

0\times0=

再再再再一個例子

總共0個0加在一起 \\ 想想看 \\ 當初是怎麼解釋0\times2的?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

0\times0=0

再再再再一個例子

總共0個0加在一起

延續剛剛的想法

結果還是0

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

-2\times2=-4

-3

-2

-1

-4

-5

再(很多)一個例子

總共2個-2加在一起

結果就是-4

回想一下

-2+-2怎麼計算的?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times-1=

-3

-2

-1

-4

再(非常多)一個例子

總共-1個2加在一起

想想看

這要怎麼理解?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times-1=-2

-3

-2

-1

-4

再(非常多)一個例子

總共-1個2加在一起

其實就是1個2加在一起

再多一個負號

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

2\times-1=-2

-3

-2

-1

-4

再(非常多)一個例子

等等

為啥要再結果前面再加一個負號?

整數的乘/除

一種全新的解釋

2\times-1=-2

-3

-2

-1

-4

再(非常多)一個例子

如果我們換個解釋方式\\ 說2\times1是指從原點往數線的方向前進2單位長1次\\ 那2\times-1是指從原點往數線的反方向前進2單位長1次\\ 想想看\\ 用這種新的解釋方式要如何理解前面的例子?

整數的乘/除

另一種解釋

2\times-1=-2

-3

-2

-1

-4

再(非常多)一個例子

參考你小學時學到的:乘法有交換律\\ 也就是對於a\times b=b\times a\\ 我們也可以得到2\times-1=-1\times2\\ 那結果自然是-2

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

被乘數\times乘數=積

你國中學到的乘法全新定義

從原點往<乘數>的方向移動<被乘數>單位長<乘數>次

得到的結果就是<積>

不過你小學時只會討論<被乘數>和<乘數>都是正數的情形

現在我們來討論一下任意整數的情形

整數的乘/除

小學國文造樣造句一下

-3\times-2=6

回想你小學學到的乘法

其實就是從原點往-2的方向移動-3單位長-2次

得到的結果就是6

移動-3單位長: 朝左移動3單位長

移動2次: 朝反方向移動2次

整數的乘/除

小學國文造樣造句一下

-3\times-2=6

回想你小學學到的乘法

其實就是從原點往左的反方向移動3單位長2次

得到的結果就是6

移動-3單位長: 朝左移動3單位長

移動2次: 朝反方向移動2次

整數的乘/除

我知道這很複雜，所以來練習一下

從原點往<乘數>的方向移動<被乘數>單位長<乘數>次

得到的結果就是<積>

-5\times2=\\ 2\times-5=\\ 3\times-2=\\ 2\times-3=\\

-4\times-2=\\ -1\times-1=\\ -9\times-1=\\ -6\times-2=

整數的乘/除

確定練習好了嗎?不要偷看喔

整數的乘/除

你答對了嗎?

從原點往<乘數>的方向移動<被乘數>單位長<乘數>次

得到的結果就是<積>

-5\times2=-10\\ 2\times-5=-10\\ 3\times-2=-6\\ 2\times-3=-6\\

-4\times-2=8\\ -1\times-1=1\\ -9\times-1=9\\ -6\times-2=12

訂正很重要喔，知道自己錯在哪才能進步喔

整數的乘/除

一個方便的符號這次不是濫用了

-4\times-2=4\times2=8\\ -1\times-1=1\times1=1\\ -9\times-1=9\times1=9\\ -6\times-2=6\times2=12

不知道你有沒有發現

兩個負數相乘一定會是正數

原因很簡單

因為照定義來就是如此

我們稱這個特性叫做"負負得正"對，另一個負負得正

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

回想一下小學除法

被除數\div除數=商...餘數

實際上就是再找

能夠使得<餘數>的數值小於<除數>的數值

且<商>乘以<除數>小於等於<被除數>

且<商>乘以<除數>加上<餘數>等於<被除數>的<商>和<餘數>

整數的乘/除

回想一下小學除法，我知道這很繞口

9\div2=4...1

能夠使得<餘數>的數值小於<除數>的數值

且<商>乘以<除數>小於等於<被除數>

且<商>乘以<除數>加上<餘數>等於<被除數>的<商>和<餘數>

給你個例子

1和4能夠使得1的數值小於2的數值，並且4乘以2小於等於9

且4乘以2加上1等於9

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

回想一下小學除法

9\div2=4...1

想想你的4和1是怎麼找到的?

9可以朝向0被2減去最多幾次而不跨過0? (想想減法在數線上的移動)

最多只能4次，對吧?

那9減去2的運算經過4次後

還剩下多少?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

回想一下小學除法

9\div2=4...1

9可以朝向0被2減去最多幾次而不跨過0?

為什麼不可以跨過0?

如果跨過0會怎麼樣?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

9\div2=4...1

9可以朝向0被2朝向0減去最多幾次而不跨過0?

如果跨過0會怎麼樣?

很簡單

你的<商>和<餘數>不會有唯一的答案，或沒有答案

9\div2=8...沒有滿足繞口令的餘數!\\ 9\div2=5...-1\\ 9\div2=4...1

你的商會是5還是4呢?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們換個簡單一點的例子

8\div2=4

想想你的4是怎麼找到的?

8可以朝向0被2減去最多幾次而不跨過0? (想想減法在數線上的移動)

最多只能4次，對吧?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再換個新一點的例子

8\div(-2)=

想想看

要怎麼用前面的繞口令來找到你的<商>和<餘數>?

能夠使得<餘數>的數值小於<除數>的數值

且<商>乘以<除數>小於等於<被除數>

且<商>乘以<除數>加上<餘數>等於<被除數>的<商>和<餘數>

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再換個新一點的例子

8\div(-2)=-4

想想看

要怎麼用前面的繞口令來找到你的<商>和<餘數>?

能夠使得0的數值小於-2的數值

並且-4乘以-2小於等於8

且-2乘以-4加上0等於8

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再換個新一點的例子

8\div(-2)=-4

讓我們一步一步來分析

8可以朝向0減去-2最多幾次而不跨過0?

想想在數線上減法是怎麼移動的

也想想"負數次"操作是怎麼影響移動方向的

最多-4次，對吧?

8減去-2運算-4次後，是不是只剩下0?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再再換個新一點的例子

-8\div2=

想想看，要怎麼用繞口令來找到<商>和<餘數>?

或者是用我們前面的一步一步地分析找到<商>和<餘數>?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再再換個新一點的例子

-8\div2=-4

讓我們一步一步來分析

-8可以朝向0減去2最多幾次而不跨過0?

想想在數線上減法是怎麼移動的

也想想"負數次"操作是怎麼影響移動方向的

最多-4次，對吧?

-8減去2運算-4次後，是不是只剩下0?

整數的乘/除

其實就是連續的加/減法

讓我們再再再換個困難的例子

-8\div-2=

嘗試一下

用前面的繞口令

或一步步的方式分析

答案會是多少?

整數的乘/除

你可以嘗試自己用繞口令檢查答案

讓我們再再再換個困難的例子

-8\div-2=4

-8可以朝向0減去-2最多幾次不會跨過0?

4次對吧?

整數的乘/除

為什麼除法要用繞口令來定義?

因為除法有分種類

你現在學的是歐幾里得的"帶餘除法"

未來(下一章)你會學到"分數除法"

分數除法定義就簡單多了

不過"帶餘除法"在你未來解決一些應用題時很重要

並且也不難懂

帶餘除法的wiki

不建議你看

如果要看

看例子和原始算法就好

整數的乘/除

來點練習吧，檢查你學會多少了

6\div3=\\ 4\div-4=\\ 9\div-3=\\ -8\div-4=\\ -2\div1=

-10\div-5=\\ -4\div-4=\\ -9\div-3=

整數的乘/除

不可以偷看答案喔

整數的乘/除

你答對了嗎?

6\div3=2\\ 4\div-4=-2\\ 9\div-3=-3\\ -8\div-4=2\\ -2\div1=-2

-10\div-5=2\\ -4\div-4=1\\ -9\div-3=3

絕對值與相反數

一個方便的符號

-3

-2

-1

-4

從數線上來看

2和0的距離，等同0和2的距離

對吧?

絕對值與相反數

一個方便的符號

-3

-2

-1

-4

數學上

我們會使用

|2|=2

來表示"2和0的距離是2"

絕對值與相反數

一個方便的符號

-3

-2

-1

-4

數學上

我們會使用

|-2|=2

來表示"-2和0的距離是2"

||符號稱為"絕對值"

有沒有發現這與"2和0的距離"相同?

絕對值與相反數

距離相同的數 - 相反數

-3

-2

-1

-4

數學上

如果兩個不同的數與0的距離相同

則稱這兩個數互為相反數

|-2|=2=|2|

-2和2是一對相反數

絕對值與相反數

兩個數字的距離

-3

-2

-1

-4

想想看

-2和2的距離是多少?

你可以輕鬆回答我是4，對吧?

你是怎麼做的?

絕對值與相反數

兩個數字的距離

-3

-2

-1

-4

想想看

-2和2的距離是多少?

你可以嘗試使用2-(-2)來計算

得到4

對吧?

絕對值與相反數

兩個數字的距離

-3

-2

-1

-4

嘗試使用-2-2來計算

你會得到-4

對吧?

絕對值與相反數

兩個數字的距離

-3

-2

-1

-4

嘗試使用-2-2來計算

你會得到-4

對吧?

如果再搭配絕對值呢?

絕對值與相反數

兩個數字的距離

-3

-2

-1

-4

|-2-2|=4

合理了

這樣我們就不需要在記得要使用大減小了

絕對值與相反數

兩個數字的距離

對於任意數a和b\\ 我們會使用|a-b|來計算a和b之間的距離\\ 在已知a大於b時，可以簡化成a-b

|a-b|

絕對值與相反數

一點小小的練習

|3|=
|-9|=
|0|=
|3-9|=
絕對值小於10的整數中最小值為:
比-6的相反數大的最小整數為:
10和-3的距離為:
-9和-2的距離為:

絕對值與相反數

不再檢查一次嗎?

絕對值與相反數

你答對了嗎?

|3|=3
|-9|=9
|0|=0
|3-9|=6
絕對值小於10的整數中最小值為:-9
比-6的相反數大的最小整數為:7
10和-3的距離為:13
-9和-2的距離為:7

整數的四則運算

繁雜的運算優先權

如今，我們有了

+ 加法
- 減法
* 乘法
/ 除法
() 括號
|| 絕對值
- 負號

我們需要決定這堆符號碰在一起時

先計算那些東西

整數的四則運算

繁雜的運算優先權

計算優先權順序:

() 括號
|| 絕對值
- 負號
* 乘法 / 除法
+ 加法 - 減法

先計算括號中的結果

再計算絕對值中的結果

依此類推

如果遇到同等級的計算

一律由左至右計算

整數的四則運算

繁雜的運算優先權

來個例子\\ |(9-2)\times3|-6\div2\times(4+-3)

整數的四則運算

繁雜的運算優先權

再來個例子\\ -|9\times-6-3|\times(|-3\div-1\times-2|--3)

整數的四則運算

繁雜的運算優先權

給你一個例子練習\\ |-9|((|-8|+10\div-5)-6)\div-3

數學上

會在不影響閱讀時省略乘法符號

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

-3+6=6+-3\\ 8\times-7=-7\times8

不知道你注意到了沒有

有些符號具有一些神奇的性質
例如加法與乘法交換律:

交換加數與被加數不會影響加法結果

交換乘數與被乘數也不會影響乘法結果

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

-3-6\not =6--3\\ 8\div-2\not =-2\div8

但減法與除法沒有這種好康

加法、乘法具有交換律

但除法、減法沒有交換律

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

-3\times(6-9)=-3\times6--3\times9\\ (8+4)\div-2=8\div-2+4\div-2

你或許有注意到

事實上

從左邊到右邊被稱為"分配律"

從右邊到左邊則被稱為"結合律"

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

(8+4)\div-2=8\div-2+4\div-2\\ 8\div-4+8\div2\not =8\div(-4+2)

注意除法分配律/結合律中相同的是什麼!

除法只有除數相同時有分配律/結合律

乘法沒有限制一定要乘數相同

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

-(20-10)=-20-(-10)\\ -(3\times-2)=-3\times-2\\ -(-9\div3)=-(-9)\div3\\ -(7+8)=-7+(-8)

你或許注意到了

以上又被稱為"去括號規則"

不過本質上是分配律/結合律的結果

注意加/減法和乘/除法的不同之處!

整數的四則運算

交換律、結合律、分配律與去括號規則

-(20-10)=-1\times(20-10)=-1\times20-(-1\times10)=-20-(-10)\\ -(3\times-2)=-1\times(3\times-2)=-1\times3\times-2=-3\times-2\\ -(-9\div3)=-1\times(-9\div3)=-1\times9\div3=9\div3\\ -(7+8)=-1\times(7+8)=-1\times7+(-1\times8)=-7+(-8)

你或許注意到了

分配律/結合律來解讀"去括號規則":

負號其實可以當成是-1去乘以被加負號的數

注意乘/除法和加/減法的不同!

想想看，為什麼會不同?

因為-1去乘以乘/除法算式時，括號沒有影響計算順序 (僅限-1)

整數的四則運算

好好練習與善用交換律、分配律、結合律吧!

-|(3\times6+2\times6)+5\times-4|=\\ |9--3|\div-3+(-3-12)\div3=

整數的四則運算

好好練習與善用交換律、分配律、結合律吧!

-|(3\times6+2\times6)+5\times-4|\\=-|(3+2)\times6+5\times-4|\\=-|5\times(6+-4)|=-|-20|=-20\\

交換律、分配律、結合率的使用順序沒有限制

所以你的計算過程如果和我不一樣沒關係

|9--3|\div-3+(-3-12)\div3\\=|12|\div-3+(-3-12)\div3\\=-|12|\div3+(-15)\div3\\=(-|12|+-15)\div3\\=(-12-15)\div3\\=-27\div3=-9

整數的四則運算

好好練習與善用交換律、分配律、結合律吧!

\left| (3 + 5) \times 2 - {16} \div {4} \right| =\\ \left|{(6 - 2) \times 3} \div {2} - 4 + 1 \right| =\\ \left| 4 \times (2 + 3) - {20} \div {2} + 1 \right| =\\ \left|{(9 - 1)} \div {2} + 3 \times 2 - 8 \right| =\\ \left| 6 + {12} \div {3} - (4 \times 2) \right| =\\ \left| {(10 - 6) \times 3} \div {2} + 1 - 5 \right| =\\ \left| (7 \times 2 - 6) + {4} \div {2} - 8 \right| =\\ \left| {(5 + 3)} \div {2} \times 2 - 6 + 1 \right| =\\ \left| 3 + (6 \times 2 - 4) - {10}\div{2} \right| =\\ \left| {(8 - 2)}\div{3} \times 3 + 1 - 7 \right| =