Упражнение 3*
§2. Элементы общей топологии
\mathbb{Q}\in \mathbb{R},\tau
\forall \varepsilon >0\: \forall q\in \mathbb{Q} \: \exists i\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \: \: \left ( d(q,i)<\varepsilon \right )
\forall \varepsilon >0\: \forall i\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \: \exists q\in \mathbb{Q} \: \: \left ( d(i,q)<\varepsilon \right ) \: \: \: \: (*)
\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\ni x;\: \: \forall \varepsilon >0; \: \: B_{\varepsilon }\bigcap \mathbb{Q}\neq \varnothing
\mathbb{Q}
- всюду плотно в , т.е. .
\mathbb{R}
\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\ni x
\overline{\mathbb{Q}} = \left \{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \right \}
множество всех точек соприкосновения
Покажем, что
x \in \overline{\mathbb{Q}}:
1.
x\in \mathbb{Q}\subset \overline{\mathbb{Q}} \Rightarrow x\in \overline{\mathbb{Q}}
2.
x\notin \mathbb{Q} \Rightarrow \: \: \: \: \: \: \:(*) \: \: x\in \overline{\mathbb{Q}}
из
§2. Упражнение 3*
By ASTepliakov
