Упражнение 8
§2. Элементы общей топологии
2\Leftrightarrow 3.
Докажем что
Пусть f удовлетворяет 2), покажем, что f удовлетворяет 3).
Выберем - замкнутое в , , тогда - открыто.
- открыто, т.к. f удовлетворяет 2).
\forall W
\sigma
W\subset Y
Y\setminus W
f^{-1}(Y\setminus W)
f^{-1}(Y\setminus W) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(W) = X\setminus f^{-1}(W)
- открыто
значит - замкнуто.
f^{-1}(W)
1\Rightarrow 2.
Докажем что
Пусть f - непрерывное отображение и - открыто. Надо показать что - открыто. Пусть и
f^{-1}(W)
W\subset Y
f^{-1}(W) \neq \varnothing
x\in f^{-1}(W).
f(x)\subset W
, - окрестность , из 1) следует, что - окрестность x, такая что , тогда - открыто.
W
f(x)
\exists U_{x}
f(U_{x})\subset W \Rightarrow U_{x}\subset f^{-1}(W)
f^{-1}(W)
2\Rightarrow 1.
Докажем что
Если , тогда - окрестности точки x.
f(x)\in V_{y}
U_{x}=f^{-1}(V_{y})\ni x
f(U_{x})=f\left ( f^{-1}(V_{y}) \right )\subset V_{y}\Rightarrow f(U_{x})\subset V_{y}
§2. Упражнение 8
By ASTepliakov
