Упражнение 10
§2. Элементы общей топологии
Пусть
x_{0}\subset U:
W_{x_{0}}=\left \{ x\in U:\: \: \exists \gamma \in ([0,1],U)(\gamma (0)=x_{0}\wedge \gamma(1)=x) \right \}
W_{x_{0}}
- множество точек из U, которые можно соединить непрерывным путём из точки . - покажем, что - открытые и , т.к. .
x_{0}
V_{x_{0}}=U\setminus W_{x_{0}}
W_{x_{0}}, V_{x_{0}}
W_{x_{0}} \neq \varnothing
x_{0}\in W_{x_{0}}
x\in W_{x_{0}}, B_{\varepsilon }(x)\subset U\Rightarrow B_{\varepsilon }(x)\subset W_{x_{0}}
\forall x\in W_{x_{0}}\: \: \exists B_{\varepsilon }(x): W_{x_{0}}
- открыто.
Пусть , утверждаем, что , иначе
x_{0}\subset V_{x_{0}}, B_{\varepsilon }(x)\subset U
B_{\varepsilon }(x)\subset V_{x_{0}}
B_{\varepsilon }(x)\bigcap W_{x_{0}} \neq \varnothing.
\exists y \in B_{\varepsilon }(x)\bigcap W_{x_{0}}
, что её можно соединить непрерывной кривой с ; т.е. - открыто, значит
x_{0}
V_{x_{0}}
V_{x_{0}} = \varnothing.
§2. Упражнение 10
By ASTepliakov
