Penso que o problema dos dois limites está no expoente...

L = \lim \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n^2} \iff \ln L = \lim \ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n^2}\\ \begin{equation*} \begin{split} \lim \ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n^2}&=\lim n^2 \ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\\ &=\lim \dfrac{\ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)}{\dfrac{1}{n^2}}\;(\frac{0}{0})\\ \end{split} \end{equation*}

Vou usar L'Hôpital... Derivando,

\begin{equation*} \begin{split} \lim \dfrac{\ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)}{\dfrac{1}{n^2}}= \lim \dfrac{\dfrac{1}{(n+1)^2}}{-\dfrac{2}{n^3}}= -\dfrac{1}{2}\lim \dfrac{n^3}{n^2+2n+1}=-\infty\\ \end{split} \end{equation*}

Assim, $ L=e^{-\infty}=0$

\begin{equation*} \begin{split} \lim \dfrac{\ln \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)}{\frac{1}{n^2}}&= \lim \dfrac{\frac{1}{(n+1)^2}}{-\frac{2}{n^3}}\\ &= \lim \dfrac{-n^3}{2(n+1)^2}\\ &= -\dfrac{1}{2}\lim \dfrac{n^3}{n^2+2n+1}=-\infty\\ \end{split} \end{equation*}

Assim, $ L=e^{-\infty}=0$

Proposta de exercício para o 12.º ano, baseado neste problema do Luiz Guilherme (sem o símbolo de somatório...)

Considera a sucessão $(a_n)_n$ de termo geral $a_n = \log_{3}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right).$

Opções para a questão:

Determina $k$ de modo que $$ a_9+a_{10}+a_{11}+\cdots+a_{k}=3.$$
Quantos termos consecutivos, após o oitavo, devem ser adicionados de modo que a soma seja 3?
Mostra, sem recorrer à calculadora gráfica, que $$ a_9+a_{10}+\cdots+a_{242}=3.$$

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By carlos gomes

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carlos gomes

Mathematics Teacher at Escola Secundária de Amarante -Portugal.

carlosgomesxx1

Proposta de exercício para o 12.º ano, baseado neste problema do Luiz Guilherme (sem o símbolo de somatório...)

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