Problema *15

Exame Nacional Matemática A | 2025 | 1.ª Fase

Critérios de Classificação

3.º Processo

- Reconhecer que a função \(g(x) = f(x)-c = ax^3+bx\) é simplesmente uma translação na vertical da função \(f\).

- Reconhecer que \(g(-x) = - g(x)\) (função ímpar)

- Argumentar que, sendo \(g\) uma função ímpar, o seu gráfico é simétrico em relação à origem do referencial e que, portanto, qualquer reta \( r \) que contenha \( (a,b) \) e passe pela origem também contém o ponto \( (-a,-b) \).

- Reconhecer que, quando transladamos o gráfico de \(g\) de volta para o gráfico de \(f\) (adicionando \(c\)), os pontos de interseção de \(r\) passam a ser \( \bigl(a,b+c\bigr)\) e \( \bigl(-a,-b+c\bigr)\) e concluir o pretendido.

Generalização 1

Problema **13

Para certos valores reais de \(b\) e \(m\), não nulos, e de \(k\), inferior a 5, a reta de equação \({y = m x + k}\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \({f(x) = 2 x^2 + b x + 5}\) num ponto cuja abcissa é positiva.

1. Mostre que a abcissa desse ponto é dada, em função de \(k\), por \({\dfrac{\sqrt{10-2k}}{2}}\).

2. Mostre que \(b\) é o declive da reta que contém os pontos de tangência das tangentes a \(f\) a partir do ponto \(\left(0,k\right)\).

Generalização 2

Problema **13

Para certos valores reais de \(b\), \(m\) e \(c\), não nulos, e de \(k\), inferior a \(c\), a reta de equação \({y = m x + k}\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \({f(x) = 2 x^2 + b x + c}\) num ponto cuja abcissa é positiva.

Mostre que a abcissa desse ponto é dada, em função de \(k\) e de \(c\), por \({\dfrac{\sqrt{2c-2k}}{2}}\).