Problema 7

Existem \(36\) cacifos para os alunos da turma da Alice,

dispostos em três filas com \(12\) cacifos em cada fila, numerados

de \(1\) a \(36\). Há \(33\) alunos na turma.

No início do ano letivo, a cada aluno é atribuído aleatoriamente um cacifo, deixando três cacifos vazios.

 

a) Considere os acontecimentos \( A :\) "os três cacifos vazios estão na mesma fila" e  \( B: \) "os três cacifos vazios estão em três filas diferentes". Qual deles tem maior probabilidade de ocorrer?

b) Cada cacifo tem a forma de um paralelepípedo reto. As dimensões internas destes são: \(20\,cm\) de largura, \(35\,cm\) de altura e \(30\,cm\) de profundidade. Determine o comprimento da maior haste reta que pode ser colocada dentro destes cacifos (Ignore a espessura da haste).

c) Alice, Berta, Coral e Dora trocaram acidentalmente as chaves dos seus cacifos! Agora estão distribuindo as quatro chaves aleatoriamente entre elas.

Determine a probabilidade de pelo menos duas das quatro raparigas receberem as suas próprias chaves de volta.

Problema 9

 

O \(n\text{-ésimo}\) termo de uma progressão geométrica é dado por \( a_n = 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \) \(\quad\left(n \in ℤ⁺\right)\).

 

a) Determine o menor valor possível de \(n\) para o qual \( |a_n| < 10^{-7} \) se verifica.

b) A soma dos primeiros 10 termos desta sequência é

                                   (A) \( -\dfrac{85}{101} \)          (B) \( -\dfrac{341}{512} \)          (C) \( -\dfrac{2046}{3071} \)          (D) \( -\dfrac{2024}{2025} \)

 

 

O \(n\text{-ésimo}\) termo da sucessão \( \{b_n\} \) é \( b_n = 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n + 2 \) \(\quad\left(n \in \mathbb{Z}^+\right)\).

 

c) Prove que, para todos os valores inteiros positivos de \(n\), \[ 2b_{n+2} - b_{n+1} - b_n = 0 .\]

Problema 9