Funções

Problema 1

Considere a função

$$ f(x) = ax\ln(x)-\frac{3}{2}x$$

​(a) Determine o valor do parâmetro real \(a\) para que \(f\) tenha um ponto de mínimo absoluto em \(x=\sqrt{e}\) .

Daqui em diante considere \(a=1\).

(b) Verifica-se que existe apenas uma reta tangente \(t\) à curva de equação \(y = f(x)\), que contém o ponto \(Q(0, -1)\).

Determine a equação de \(t\) e as coordenadas do ponto de tangência correspondente.

(c) Determine os parâmetros reais \(h\), \(k\) de modo que as curvas de equações

$$y=f(x)\quad e \quad y=\dfrac{x+h}{x+k}$$

sejam tangentes no seu ponto comum de abcissa 1.

(d) Estude a função

$$ g(x)=\int_1^x\,f(t)\, dt $$

depois de escrever a expressão analítica.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(g\) no seu seu ponto de abcissa \(x = e.\)