Sejam \(a\) o lado do quadrado \(DEFG\) e \(b\) o lado do quadrado \(ABCD\). As diferentes posições do quadrado menor podem ser vistas como o resultado de rotações de amplitude \(\theta\) em torno do ponto \(D\). Acima temos duas rotações distintas que resultam em diferentes comprimentos para \(\overline{AG}\) e \(\overline{BF}\). No entanto, a razão entre estes é sempre constante para qualquer rotação \(\theta\).

Vejamos:

• em \(\Delta BFD\), \(\overline{BD}=\sqrt{2}\;b\) e \(\overline{FD}=\sqrt{2}\;a\);
• em \(\Delta AGD\), \(\overline{AD}=b\) e \(\overline{GD}=a\);
•  

Assim, os triângulos \(BFD\) e \(AGD\) são semelhantes de razão \(\sqrt{2}\) (caso LAL) e \(\overline{BF}=\sqrt{2}\cdot\overline{AG}=6\).

Sejam \(a\) o lado do quadrado \(DEFG\) e \(b\) o lado do quadrado \(ABCD\). As diferentes posições do quadrado menor podem ser vistas como o resultado de rotações de amplitude \(\theta\) em torno do ponto \(D\).

A rotação do quadrado \(DEFG\) em torno do ponto \(D\) permite concluir que os ângulos \(BDF\) e \(ADG\) são sempre iguais (e iguais ao ângulo \(CDE\)). Pela Lei dos cossenos no \(\Delta BDF\),

\[{{\overline{BF}}^2 = {\left(\sqrt{2}b\right)}² + {\left(\sqrt{2}a\right)}^2 - 2(\sqrt{2}b)(\sqrt{2}a)\cos(\theta)=2\underbrace{\left(b² + a² -2ab\cos(\theta)\right)}_{\text{Lei dos cossenos em {\(\scriptsize\Delta ADG\)}}}=2\,\overline{AG}^2.}\]

Assim, \(\overline{BF}=\sqrt{2}\cdot\overline{AG}=6\).

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