Concentremo-nos apenas no triângulo \([BOA]\), pois quando a área do segmento parabólico dado for máxima, também a área do segmento parabólico restrito àquele triângulo é máxima (\(1/2\)).

De acordo com a modelação na figura ao lado, o objetivo é encontrar \(P\), ponto comum à parábola e à reta \(AB\), de tal modo que a área parabólica a vermelho seja máxima.

Ora, a área a vermelho será máxima quando o próprio retângulo \([OTPU]\) tiver área máxima!

A área do retângulo é dada por \({A(t) = t g(t)}\), sendo \({g(t)= -\dfrac{b}{a}t+b}\;\)

a equação da reta \(AB\).

Assim, \(A(t) = -\dfrac{b}{a}t^2+bt \Rightarrow A'(t) = -\dfrac{2b}{a}t+b\).

\(A'(t) = 0 \Longleftrightarrow t = \dfrac{ab}{2b}=\dfrac{a}{2}\;\) (como seria de esperar...).

Logo, o ponto \(P\) para o qual a área do retângulo é máxima (e também a área do setor parabólico a vermelho) tem de coordenadas \({\left(\dfrac{a}{b},g\left(\dfrac{a}{2}\right)\right)}\). Como este ponto pertence simultâneamente à parábola, \({k\dfrac{a^2}{4}=g\left(\dfrac{a}{2}\right) \Longleftrightarrow k =\dfrac{4g\left(\frac{a}{2}\right)}{a^2}}=\dfrac{2b}{a^2}.\) \(\;\)Equação da parábola:\(\;\) \({y=\dfrac{2b}{a^2}t^2.}\)