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Seja \({\mathbf v}=(a,b)\) um vector unitário.

Por definição,

\[ D_{\mathbf{v}} g(x_0, y_0) = \lim_{t \to 0} \frac{g(x_0 + ta, y_0 + tb) - g(x_0, y_0)}{t} \]

Note que \((x_0 + ta, y_0 + tb)\) é a equação vectorial da reta que contém o ponto \((x_0,y_0)\)

e leva a direção do versor \({\mathbf v}\).

No caso concreto temos,

\[ D_{\mathbf{v}} g(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{g(0 + ta, 0 + tb) - g(0, 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g(ta, tb) }{t}\]

\[=\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt[3]{t^2(2ab + b^2)}}{t}= \lim_{t \to 0}\frac{ t^{2/3} \left(2ab + b^2\right)^{1/3}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{ \left(2ab + b^2\right)^{1/3}}{t^{1/3}}=\lim_{t \to 0}\left(\frac{ 2ab + b^2}{t}\right)^{1/3}\]

Para decidir a existência de limite temos duas situações:

1) se \(\; 2ab+b^2=0\), então \(g(x,y)=0\) (constante) e \(\lim_{t \to 0}g(x,y)=0\);

2) se \(\; 2ab+b^2\neq 0\), então não existe limite pois \(\lim_{t \to 0}\left(\frac{2ab+b^2}{t}\right)^{1/3}=\infty\)

Assim, apenas existe limite direcional em \(\left(0,0\right)\) quando \(2ab+b^2=0\), isto é, quando

\[b(2a+b)=0 \Longleftrightarrow b=0 \lor 2a+b=0\]

\(\LARGE\therefore \;\) Existe limite na direção da reta \(b=0 \longrightarrow\) vectores \(\mathbf{v}=\pm(1,0)\)

       Existe limite na direção da reta \(2a+b=0 \longrightarrow\) vectores \(\mathbf{v}=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\left(1,-2\right)\)