Problema 1

Considere a função \[ f_k(x) = \dfrac{x(2x + k)}{x^2 + k} \]

 

onde \( k \) é um parâmetro real não nulo, e seja \( \Gamma_k \) o seu gráfico.

 

1. Determine o domínio da função variando \( k \) e verifique que todas as curvas passam pelo ponto \( O \), origem do sistema de referência, e que nesse ponto todas têm a mesma reta tangente \( t \).

2. Demonstre que \( \Gamma_k \) e \( t \) para \( k \neq -4 \wedge k \neq 0 \) se intersectam em dois pontos fixos.

 

Fixado agora \( k = 4 \), ponha \( f(x) = f_4(x) \) e indique com \( \Gamma \) o seu gráfico.

3. Estude a função \( f(x) \) e trace o gráfico \( \Gamma \).

4. Determine a área da região finita do plano \( R_1 \) delimitada por \( \Gamma \), pela sua assíntota horizontal e pelo eixo das ordenadas, e a área da região finita do plano \( R_2 \) delimitada por \( \Gamma \) e pelo eixo das abscissas. Qual é a região com maior área?

Problema 2

Considere a função

\[ f(x) = \frac{a \ln^2 x + b}{x} \]

com \( a \) e \( b \) parâmetros reais não nulos.

 

1. Determine as condições sobre \( a \) e \( b \) de modo que a função \( f(x) \) não admita pontos estacionários. Demonstre então que todas as retas tangentes ao gráfico de \( f(x) \) no seu ponto de abscissa \( x = 1 \) passam por um mesmo ponto \( A \) sobre o eixo \( x \), do qual se pedem as coordenadas.

2. Encontre os valores de \( a \) e \( b \) de modo que o ponto \( F(1, -1) \) seja um ponto de inflexão para a função. Verificado que se obtém \( a = 1 \) e \( b = -1 \), estude a função correspondente, em particular identificando assíntotas, máximos, mínimos e eventuais outros pontos de inflexão, e trace o seu gráfico.

 

Daqui em diante, considere fixados os valores \( a = 1 \) e \( b = -1 \) e a função \( f(x) \) correspondente.

3. Calcule a área da região finita do plano compreendida entre o gráfico da função \( f(x) \), a sua tangente inflexional em \( F \) e a reta de equação \( x = e \).

 

4. Estabeleça se a função \( y = |f(x)| \) satisfaz todas as hipóteses do teorema de Lagrange no intervalo \( [1, e^2] \). Utilize então o gráfico de \( y = |f(x)| \) para discutir o número de soluções da equação \( |f(x)| = k \) no intervalo \( [1, e^2] \) variando o parâmetro real \( k \).

QUESTÕES

1. Dado o quadrado \( ABCD \) de lado \( l \), sejam \( M \) e \( N \) os pontos médios dos lados consecutivos \( BC \) e \( CD \) respectivamente. Trace os segmentos \( AM, BN \) e a diagonal \( AC \). Indicados com \( H \) o ponto de interseção entre \( AM \) e \( BN \) e com \( K \) o ponto de interseção entre \( BN \) e \( AC \), demonstre que:

                     (a) \( AM \) e \( BN \) são perpendiculares;                 (b) \( \overline{HK} = \frac{2\sqrt{5}}{15} l \).

2. No referencial cartesiano \( Oxyz \) é dada a superfície esférica de centro \( O(0, 0, 0) \) e raio 1. Obtenha a equação do plano \( \alpha \) tangente à superfície esférica no seu ponto \( P\left(\frac{2}{7}, \frac{5}{7}, \frac{3}{7}\right) \). Dados \( A, B \) e \( C \) os pontos em que \( \alpha \) intersecta respectivamente os eixos \( x, y \) e \( z \), determine a área do triângulo \( ABC \).

3. Andrea vai à escola todos os dias com o mesmo autocarro, de segunda a sexta-feira. De uma longa série de observações, pôde estabelecer que a probabilidade \( p \) de encontrar um lugar livre para sentar é distribuída ao longo da semana como indicado na tabela.

(a) Qual é a probabilidade \( p_1 \) de que, no decorrer da semana, Andrea possa sentar-se no autocarro pelo menos uma vez?

(b) Sabendo que na última semana Andrea encontrou lugar para sentar uma só vez, qual é a probabilidade \( p_2 \) de que isso tenha ocorrido na quinta-feira?

QUESTÕES (cont.)

4. Demonstre que o volume máximo de uma pirâmide reta de base quadrada inscrita numa esfera é menor que \( \frac{1}{8} \) do volume da esfera.

5. Dadas as funções

\[ f(x) = \frac{a - 2x}{x - 3} \quad \text{e} \quad g(x) = \frac{b - 2x}{x + 2} \]

 

obtenha os valores de \( a \) e \( b \) para os quais os gráficos de \( f(x) \) e \( g(x) \) se intersectam num ponto \( P \) de abscissa \( x = 2 \) e têm nesse ponto retas tangentes entre si perpendiculares. Verificado que existem duas pares de funções \( f_1(x), g_1(x) \) e \( f_2(x), g_2(x) \) que satisfazem os requisitos, mostre que as duas funções \( f_1(x) \) e \( f_2(x) \) se correspondem numa simetria axial de eixo \( y = -2 \), assim como \( g_1(x) \) e \( g_2(x) \).

6. Determine o valor do parâmetro \( a \in \mathbb{R} \) de modo que valha:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + ax^3}{2x(1 - \cos x)} = \frac{17}{6} \]

QUESTÕES (cont.)

7. Dada uma função polinomial genérica de terceiro grau

\[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]

demonstre que as retas tangentes ao gráfico em pontos com abscissa simétrica em relação ao ponto de inflexão \( x_F \) são paralelas entre si.

Considere a função de equação \( y = -x^3 + 3x^2 - 2x - 1 \) e escreva as equações das retas tangentes ao seu gráfico \( \Gamma \) nos pontos \( A \) e \( B \), onde \( A \) é o ponto de \( y \) de abscissa -1 e \( B \) é o seu simétrico em relação ao ponto de inflexão.

8. Na figura está representado o gráfico \( \Gamma \) da função

\( \qquad \qquad \qquad \qquad f(x) = x^4 - 2x^3 + 2 .\)

Encontre as tangentes inflexionais de \( \Gamma \), depois verifique que

as áreas das duas regiões do plano delimitadas por \( \Gamma \) e por cada

uma das tangentes são iguais.