Questão 1

Uma função racional é expressa por \( f(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 + d} \), onde \( d \in \mathbb{R} \) e \( p(x) \) é um polinómio.

O gráfico de \( f \) intersecta o eixo \( Ox \) nos pontos de abscissa \(0\) e \( \frac{12}{5} \) e tem como únicas assímptotas as retas de equação \( x = 3 \), \( x = -3 \) e \( y = 5 \).

Determine os pontos de máximo e de mínimo relativos da função \( f \).

 

Questão 2

Considere a função \(g\) definida por

\[ g(x) = x + x^3 + x^5 + x^7 + \cdots + x^{2024} + x^{2025} \]

(a) Prove que existe um único \( c \in \mathbb{R} \) tal que \( g(c) = 0 \).

(b) Determine o valor de \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{e^x} \]

Questão 3

Considere, em \(\mathbb{R}^3\), os pontos \( A\left(2,0,-1\right) \) e \(B\left(-2,2,1\right)\).

(a) Prove que o lugar geométrico dos pontos \( P \) do espaço tais que \[\overline{PA} = \sqrt{2}\cdot \overline{PB}\] é uma superfície esférica, \( \mathcal{S} \), e escreva a sua equação cartesiana reduzida.

 

(b) Verifique que o ponto \( T\left(-10,8,7\right) \) pertence a \( \mathcal{S} \) e determine a equação do plano tangente em \( T \) a \( \mathcal{S} \).

 

(c) Qual a equação do plano tangente ao antípoda do ponto \(T\) em \(\mathcal{S}\)?

Questão 4

(Responda sem recorrer à calculadora gráfica.)

Seja \(a \in \mathbb{R}\) e considere a família de funções:

\[f_{a}(x)=\begin{cases}\frac{9}{2}(1 + xe^{a-x}) & \text{para } x \geq 0\\ \frac{9a}{4(x-1)^4} & \text{para } x < 0\end{cases}\]

 

(a) Estude o sinal de \(f_{a}\)?

(b) Para que valores de \(a\) a função \(f_{a}\) é contínua?

(c) Demonstre que, qualquer que seja \(a \in \mathbb{R}\), a função \(f_{a}\) admite um ponto de máximo absoluto de abcissa 1.

Questão 4' (cont.)

 

Seja \(f\) a função obtida de \(f_{a}\) quando \(a=2\).

 

(d) Verifique se \(f\) é derivável em \(x = 0\).

(e) Determine todas as assimptotas de \(f\).

(f) Determine os pontos de inflexão do gráfico de \(f\).

(g)Determine os valores das constantes positivas \(h\) e \(k\) tais que, considerada a função \(g(x) = h[1 + (3 - kx)e^{kx-1}]\), se tenha \(g(3 - x) = f(x)\) para \(x \geq 0\).