carlos gomes
Mathematics Teacher at Escola Secundária de Amarante -Portugal.
Exame Nacional Matemática A | 2024 | 1.ª Fase
Critérios de Classificação
3.º Processo
- Reconhecer que o gráfico de \(f\) é uma parábola de vértice \(\left(-\dfrac{b}{4}\;,\;5-\dfrac{b^2}{8}\right)\) ou, de forma equivalente, \(\left(-t\;,\;5-2t^2\right)\)
- Escrever a equação \(5-2t^2 = 1\) (ou equivalente)
- Obter \(t=\pm\sqrt{2}\)
- Apresentar o valor pedido \(\left(x=\sqrt{2}\right)\)
https://karlosgomes.github.io/xyzt/reveal.js/problema_13_mat_2024_1F_v2.1.html
Teorema 1
Dadas uma parábola (função quadrática) e duas tangentes, \(s\) e \(t\), a esta, a abcissa do ponto de interseção de \(s\) com \(t\) é o ponto médio das abcissas dos pontos de tangência.
Demonstração:
\tiny
\text{Seja $h(x)=ax^2+bx+c,\;(a\neq0)$.}\\\text{Sejam $A(\alpha,h(\alpha))$ e $B(\beta,h(\beta))$ dois pontos do gráfico de $h$.}\\
\text{As equações das retas tangentes ao gráfico de $h$ são}\\
\begin{equation}
\begin{split}
s: y&=h'(\alpha)(x-\alpha)+h(\alpha)\\
t: y&=h'(\beta)(x-\beta)+h(\beta)
\end{split}
\end{equation}
\\
\text{Como $h'(x)=2ax+b$, $h'(\alpha)=2a\alpha+b$ e $h'(\beta)=2a\beta+b$. Das equações resulta que}\\
\begin{equation*}
(2a\alpha+b)(x-\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=(2a\beta+b)(x-\beta)+a\beta^2+b\beta+c
\end{equation*}\\
\text{Fazendo as simplificações algébricas ficamos com}\\
\begin{equation}
\left(2a\beta-2a\alpha \right)x = a\beta^2-a\alpha^2 \Leftrightarrow x=\dfrac{a(\beta-\alpha)(\beta+\alpha)}{2a(\beta-\alpha)}\Leftrightarrow x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}
\end{equation}\\
\text{Fica assim provado que, se $h$ é uma função quadrática, então a abcissa do ponto de interseção}\\
\text{de quaisquer duas tangentes ao seu gráfico é a semi-soma das abcissas dos pontos de tangência.}
Note-se que ademonstração pode ser simplificada usando a função \(h(x) = x^2\) pois todas as outras parábolas são equivalentes a esta!
Sendo \(b\) um parâmetro real, \(f\) é uma família de funções quadráticas cujos vértices são da forma \({\left(-\frac{b}{4},5-\frac{b^2}{8}\right)}\): são coordenadas paramétricas da parábola de equação cartesiana \({y=5-2x²}\). Se \(b\) for positivo, o vértice está do lado esquerdo do eixo \(Oy\), caso contrário está do lado direito de \(Oy\).
Do feixe de retas concorrentes em \((0,1)\) (retas da forma \(y = mx+1\)), existem precisamente duas tangentes a \(f\) para cada valor de \(b\) (a família \(f\) tem concavidade voltada para cima). Ora, uma das retas desse feixe tangente a \(f\) é \(y=1\) (tangente ao vértice) sendo a outra, que faz par com esta, uma tangente de declive diferente de zero. Nesta situação, o vértice de \(f\) tem ordenada \(1\). Logo, \(\;{5-\frac{b^2}{8}=1 \Leftrightarrow b=\pm 4\sqrt{2}}\).
-
Se \(b=-4\sqrt{2}\), o vértice de \(f\) está no ponto \(\left(\sqrt{2},1\right)\) e o ponto de tangência da outra tangente a \(f\) tem abcissa \(-\sqrt{2}\) (Teorema 1 do slide anterior);
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Se \(b=4\sqrt{2}\), o vértice de \(f\) está no ponto \(\left(-\sqrt{2},1\right)\) e o ponto de tangência da outra tangente a \(f\) tem abcissa \(\sqrt{2}\) (Teorema 1 do slide anterior).
Esta última situação é a que interessa, logo \(x_V =\sqrt{2}\).
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Se \(b=-4\sqrt{2}\), o vértice de \(f\) está no ponto \(\left(\sqrt{2},1\right)\). A reta \(y=1\) é tangente a \(f\) (no vértice). Tem de haver outra tangente a \(f\), passando por \((0,1)\), num ponto de abcissa negativa. (por um ponto exterior a uma parábola existem precisamente duas tangentes);
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Se \(b=4\sqrt{2}\), o vértice de \(f\) está no ponto \(\left(-\sqrt{2},1\right)\). A reta \(y=1\) é tangente a \(f\) (no vértice). Tem de haver outra tangente a \(f\), passando por \((0,1)\), num ponto de abcissa positiva.
Generalização 1
Problema **13
Para certos valores reais de \(b\) e \(m\), não nulos, e de \(k\), inferior a 5, a reta de equação \({y = m x + k}\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \({f(x) = 2 x^2 + b x + 5}\) num ponto cuja abcissa é positiva.
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Mostre que a abcissa desse ponto é dada, em função de \(k\), por \({\dfrac{\sqrt{10-2k}}{2}}\).
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Mostre que \(b\) é o declive da reta que contém os pontos de tangência das tangentes a \(f\) a partir do ponto \(\left(0,k\right)\).
Generalização 2
Problema **13
Para certos valores reais de \(b\), \(m\) e \(c\), não nulos, e de \(k\), inferior a \(c\), a reta de equação \({y = m x + k}\) é tangente ao gráfico da função quadrática definida por \({f(x) = 2 x^2 + b x + c}\) num ponto cuja abcissa é positiva.
Mostre que a abcissa desse ponto é dada, em função de \(k\) e de \(c\), por \({\dfrac{\sqrt{2c-2k}}{2}}\).
Problema *13 - Exame 2024 - 1.ª Fase
By carlos gomes
Problema *13 - Exame 2024 - 1.ª Fase
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