Matemática
Exame Abitur 2024
Parte A do exame

Análise - Grupo 2

Questão 4

Considere a função \(f_a\) definida por \({f_a(x)=ax^2}\), com \(a\in \Reals⁺ \).

A figura ao lado mostra o gráfico de \(f_{\frac{1}{2}}\) e a reta \(t\), tangente ao gráfico de \(f_{\frac{1}{2}}\) no ponto de coordenadas \(\left(4,f_{\frac{1}{2}}(4)\right).\)

a)  Com base na figura, encontre uma equação da reta \(t\).

b) Prove que, para cada valor de \(u\in\R\), a tangente ao gráfico de \(f_a\) no ponto \(\left(u,f_a(u)\right)\) intersecta o eixo dos \(y\) no ponto \(\left(0,-f_a(u)\right)\).

Análise - Grupo 1

Questão 2

A figura mostra o gráfico \(G_g\) da função \(g\) definida em \(\R\) por \({g ( x ) = 2 ⋅ \sin \left( \frac{1}{ 2} x \right)}.\)

a) Utilize a figura para avaliar o sinal do integral \[\int_{-2}^{8} g(x)\,\mathrm{d}x\]

b) Prove matematicamente que a seguinte afirmação é verdadeira:

A tangente a \(G_g\) na origem das coordenadas é a reta que passa pelos pontos \(( -1 , -1)\) e \(( 1 ,1 ).\)

Análise - Grupo 1

Questão 3

Considere a família de funções \(f_a\) definidas em \(\R \) por \(f_a(x) = x  e^{ax}\), para \(a\in\R \setminus \{0\}.\)

Para cada valor de \(a\), a função \(f_a\) tem exatamente um ponto extremo.

a)  Justifique que o gráfico de \(f_a\), para \(x < 0\), passa por baixo do eixo dos \(x\).

b) Os gráficos I e II abaixo representados são gráficos desta família de funções. Um dos dois corresponde a um valor positivo de \(a\). Diga qual é o gráfico e justifique a sua decisão.

Geometria 1

Os centros das faces de um cubo são os vértices de um octaedro (ver figura).
Os pontos de vértice \(A ( 1, 2 , 1 )\) , \(B\), \(C ( -3 , -6 , 9 )\) e \(D\) do octaedro estão no plano \(\pi\) de equação \({2x + y + 2z - 6 =0.}\)

a) Prove que o comprimento da aresta do cubo é \(12\).
b) Determine as coordenadas de um dos dois vértices do octaedro que não estão em \(\pi.\)