Sem perda de generalidade, suponhamos que o lado do quadrado \([ABCD]\) é 1.

Como \(E\) é o ponto de tangência de \(CF\) à semicircunferência, \(EO\perp CF\), em que \(O\) é o centro da semicircunferência. Assim, \(\triangle[EOC]\) é retângulo em \(E\). Pelo Teorema de Pitágoras,

\[{\overline{CO}^2 = \overline{EO}^2 + \overline{EC}^2 \Longleftrightarrow \overline{EC}^2 = \dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}}= 1.\]

Como \(FE\) e \(FA\) são as duas tangentes à semicircunferência a partir de \(F\) (ponto externo), \({\overline{FE} = \overline{FA}}\).

Pela Lei dos Cossenos, aplicada ao triângulo \([AFC]\),

\[\overline{CF}^2 =\overline{AF}^2 + \overline{AC}^2 - 2\times\overline{AF}\times\overline{AC}\times\cos(45\degree)\]

\[\left(\overline{FE} + \overline{EC}\right)^2 = \overline{AF}^2 + \sqrt{2}^2 - 2\;\overline{AF}\; \sqrt{2}\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\left(\overline{AF} + 1\right)^2 = \overline{AF}^2 + 2 - 2\;\overline{AF}\]

\[4\;\overline{AF} = 1 \Longleftrightarrow \overline{AF} = \dfrac{1}{4}\]

A razão pedida é igual à área do triângulo \([AFC]\). Essa área é \(\left(\dfrac{1}{4}\times1\right)\div 2=\dfrac{1}{8}\).

Sem perda de generalidade, suponhamos que o lado do quadrado \([ABCD]\) é 1.

Como \(E\) é o ponto de tangência de \(CF\) à semicircunferência, \(EO\perp CF\), em que \(O\) é o centro da semicircunferência. Assim, \(\triangle[EOC]\) é retângulo em \(E\). Pelo Teorema de Pitágoras,

\[{\overline{CO}^2 = \overline{EO}^2 + \overline{EC}^2 \Longleftrightarrow \overline{EC}^2 = \dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{4}}= 1.\]

Como \(FE\) e \(FA\) são as duas tangentes à semicircunferência a partir de \(F\) (ponto externo), \({\overline{FE} = \overline{FA}=x}\).

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo \([BFC]\),

\[\overline{CF}^2 =\overline{BF}^2 + \overline{BC}^2\]

\[\left(1+x\right)^2 = \left(1-x\right)^2 + 1^2 \]

\[x^2+2x+1 = x^2-2x+1+1\]

\[4x = 1 \Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\]

A razão pedida é igual à área do triângulo \([AFC]\). Essa área é \(\left(\dfrac{1}{4}\times1\right)\div 2=\dfrac{1}{8}\).

Sem a Lei dos Cossenos...