Tree

課程內容

最近共同祖先(LCA)
樹練剖分（簡單帶過）
啟發式合併
樹重心、重心剖分
一些有趣的題目

最近共同祖先(LCA)

Before Start ...

為了確保等一下有人聽得懂我講的話

先確認一些基本名詞定義：

圖？樹？森林？

聯通圖？聯通分量？

有根樹？無根樹？

子節點？父節點？

祖先？子樹？

什麼是最低共同祖先？

大波與黑手黨家族

給定一棵包含 \(n\) 個節點的樹，每條邊的長度皆為一，有 \(q\) 筆詢問，每次詢問任意兩節點之間的最低共同祖先

\((n, q \leq 10^6)\)

OJDL 7011

給一個作法吧，並嘗試估計複雜度

\(O(n^2q)\)？

\(O(nq)\)？

\(O(n log n)\) 作法一：

樹壓平取LCA

歐拉遍歷

要取得任意兩個節點之間的最低共同祖先，我們只要找他們兩個出現位置之間深度最淺的那個點就行了！

我們可以將點按照深度重新編號

保證讓深度越淺的點有較小的值

搭配區間找最小值的資料結構，我們就可以輕鬆在 \(O(\log n)\) 時間內找到最低共同祖先

總時間複雜度 \(O(n + q \log n)\)

\(O(n log n)\) 作法二：

Doubling倍增法

想像對於每個節點，我們知道他的1倍祖、2倍祖、4倍祖、8倍祖...

我們讓 \(A\) 在不要成為 \(B\) 的祖先的前提下不斷往上跳最大的 2 的冪次

什麼意思？

用上述方法，我們可以找到 \(A\) 深度最淺且不是 \(B\) 的祖先的那個點

而他的父親就是答案！

技術上而言，我們要怎麼知道一個節點的 1倍祖、2倍祖、4倍祖、8倍祖呢？

A 的16倍祖，就是 A 的8倍祖的8倍祖！

物種演化

給定一棵包含 \(n\) 個節點的樹，每條邊的長度皆為一，有 \(q\) 筆詢問，每次詢問任意兩節點之間的路徑長度

\((n \leq 1.5 \cdot 10^4, q \leq 10^6)\)

2019北市賽

\(A\) 到 \(B\) 的路徑長度

= \(A\) 的深度 + \(B\) 的深度 - \(LCA(A, B)\) 的深度 * 2

實作時間(?)

樹上最大連續和

給定一棵包含 \(n\) 個節點的樹，邊有邊權，有 \(q\) 筆詢問，每次詢問任意兩節點之間的路徑上最大連續和

\((n, q \leq 2 \cdot 10^5)\)

YTP 2020

Graph and Queries

Codeforces 1416 D

樹鏈剖分

在處理邊的操作與詢問相關問題時，藉由將樹分鏈得到較佳複雜度的算法

每個點往size最大的子樹連

將樹分解成一條條鏈

從一個節點往根的路徑上，只會通過 \(\log N\) 條鏈
每次往鏈上的最頂端爬 \(\Rightarrow \log N\) LCA (類似doubling)

int p[maxn],link[maxn],top[maxn],d[maxn];
int getsize(int now=1,int pa=1,int depth=0){
    p[now]=pa; d[now]=depth;
    int siz=1;
    pii maxx{0,0};
    for(auto &to:e[now]){
        if(to==pa) continue;
        int t=getsize(to,now,depth+1);
        siz+=t;
        maxx=max(maxx,pii{to,t});
    }
    link[now]=maxx.second;
    return siz;
}
void gettop(int now=1,int pa=1,int t=1){
    top[now]=t;
    if(link[now]!=0) gettop(link[now],now,t);
    for(auto &to:e[now])
        if(to!=pa&&to!=link[now])
            gettop(to,now,to);
}

int lca(int a,int b){
    while(top[a]!=top[b]){
        if(d[top[a]]<d[top[b]]) swap(a,b);
        a=p[top[a]];
    }
    if(d[a]<d[b]) return a;
    return b;
}

LCA

樹鏈剖分、壓平

樹上路徑問題 to 區間問題

按照gettop尋訪順序轉換成序列

同一鏈上的節點會依序在相鄰的區間
邊往上跳邊加入那個區間的答案
利用區間資料結構維護，加速修改查詢

int p[maxn],link[maxn],top[maxn],d[maxn],cnt[maxn];
int getsize(int now=1,int pa=1,int depth=0){
    p[now]=pa; d[now]=depth;
    int siz=1;
    pii maxx{0,0};
    for(auto &to:e[now]){
        if(to==pa) continue;
        int t=getsize(to,now,depth+1);
        siz+=t;
        maxx=max(maxx,pii{to,t});
    }
    link[now]=maxx.second;
    return siz;
}
void gettop(int now,int pa,int t,int &cnt){
    top[now]=t; ind[now]=cnt++;
    if(link[now]!=0) gettop(link[now],now,t);
    for(auto &to:e[now])
        if(to!=pa&&to!=link[now])
            gettop(to,now,to);
}
void gettop(int now=1,int pa=1,int t=1,int cnt=0){
    int cnt=0; return gettop(now,pa,t,cnt);
}

NO Judge

給定一棵樹

支援兩種操作

修改一條路徑上的點權

及查詢兩點間距離

\((N<10^5)\)

void modify(int a,int b,int k){
    while(top[a]!=top[b]){
        if(d[top[a]]<d[top[b]]) swap(a,b);
        add(ind[top[a]],ind[a],k);
        a=p[top[a]];
    }
    if(d[a]<d[b]) swap(a,b);
    add(ind[b],ind[a],k);
}
int query(int a,int b){
    int tot=0;
    while(top[a]!=top[b]){
        if(d[top[a]]<d[top[b]]) swap(a,b);
        tot+=get(ind[top[a]],ind[a]);
        a=p[top[a]];
    }
    if(d[a]<d[b]) swap(a,b);
    tot+=get(ind[b],ind[a]);
    return tot;
}

OJDL 7067

給定一個簡單帶權圖

求出刪掉一個邊的最小生成樹最大值

啟發式合併

在處理subtree相關問題時，藉由保留大子樹資訊以得到較佳複雜度的算法

Lomsat gelral

給定一棵以 \(1\) 為根，包含 \(n\) 個節點的樹，每個節點有一個顏色 \(c_i\)，求樹中每個子樹出現最多次的顏色編號的和

\((n \leq 10^5)\)

Codeforces 600 E

不知道怎麼做的時候，就先想個naive解吧！

我們可以對每個節點用一個map維護每個顏色在該節點子樹中的出現次數

隨便轉移一下，複雜度 \(O(n^2 \log n)\)

不覺得每次轉移上去都要新開一個map來紀錄根本超麻煩嗎＝＝

感覺把最大子樹原本的那個map直接拿上去用會省掉很多麻煩（？

甚至連複雜度都變好了（？！

如果你常常像剛才那樣不小心換一個方法做突然就從ＴＬＥ變ＡＣ的話，請保持你的通靈感，你已經具備了唬爛進1!、2!、3!的潛力><

回歸正題，如果你照著剛剛那個方法做，複雜度就會是好好的 \(O(n \log ^2 n )\) 了，AC～～

But why???

照著剛剛的那個方法，考慮每一個節點需要被提出來合併的次數：當該節點所在的子樹不是其父親的最大子樹時，就需要被提出來合併，我們稱這種子樹的根為輕點

回想一下樹練剖分，一個節點到根的路徑中，至多不會超過 \(\log n\) 個輕邊，意即輕點數量也同樣不超過 \(\log n\)

每個點不合併超過 \( \log n\) 次，每次對map的操作為 \( \log n\)，得總複雜度 \((n \log ^2 n)\)

DSU 查詢複雜度

\(O(1)\)、\(O(\log n)\)、\(O(\alpha (n) )\) ？

	路徑壓縮	~~路徑壓縮~~
啟發式合併
~~啟發式合併~~

\(O( \alpha (n) )\)

\(O( \log n )\)

\(O( \log_{2+f/n} n ) \)

\(O( n )\)

補充額外冷知識（但講師不會證明QAQ

忍者調度問題

給定一棵以 \(1\) 為根，包含 \(n\) 個節點的樹以及預算上限 \(M\)，每個節點(忍者)分別有出動費用 \(C_i\) 和領導力值 \(L_i\)，假設以節點 \(i\) 為領導者，其所能造成的滿意度是

\(L_i \times\) (在預算內能在其子樹內出動的最多忍者數量)

請求出在預算內能夠達到的最大滿意度

\((n \leq 10^5, M \leq 10^9)\)

TIOJ 1429

Blood Cousins

給定一座包含 \(n\) 個節點的森林，接著是 \(m\) 筆詢問，每次詢問一個點與多少個點擁有共同的 \(K\) 倍祖先

\((n, m \leq 10^5)\)

Codeforces 208E

Dominant Indices

給定一棵以 \(1\) 為根，包含 \(n\) 個節點的樹

設 \(d(u, x)\) 為 \(u\) 子樹中到 \(u\) 距離為 \(x\) 的節點數。對於每個點，求一個最小的 \(k\)，使得 \(d(u, k)\) 最大。

\((n \leq 10^6)\)

Codeforces 1009F

重心剖分

在一棵大小為 \(n\) 的樹上，找到一個點，移除後使得留下的所有連通分量（樹）的大小均不超過 \(\frac{n}{2}\)，那麽這個點就是整棵樹的重心

一棵樹至少有幾個重心？至多呢？

要怎麼找到樹的重心？\(O(n)\)

一棵樹至少有 1 個重心，至多則為 2 個，且這兩個重心必相鄰

首先任取節點 \(a\)，以 \(a\) 為樹的根，計算它所有子樹的大小。如果這些子樹的大小均不超過 \(\frac{n}{2}\)，則 \(a\) 就是重心。否則，必然存在一棵子樹，大小超過 \(\frac{n}{2}\)，於是我們對其重複上述算法，最終即可找到重心。

複雜度？

重心剖分？

一棵樹的重心剖分會用另外一棵樹來表示

以遞迴定義：

　　樹根為其重心

　　每個子樹代表拔掉重心後的各個連通分量

怎麼做？

喔　其實直接照定義建樹就好了耶

那複雜度是多少呢？

其實跟 merge sort 的複雜度分析很像><

Xenia and Tree

給定一棵以 \(1\) 為根，包含 \(n\) 個節點的樹，一開始每個節點皆為藍色，接下來有 \(q\) 筆操作，操作分為兩種，一種是將一個點塗成紅色，另一種則是詢問一個點與距離他最近的紅點之距離

\((n, q \leq 10^5)\)

Codeforces 342E

實作時間(?)

Ciel the Commander

給定一棵包含 \(n\) 個節點的樹，要求把上面的所有節點用 A 到 Z 標記，使得對於任意兩個標記相同的節點，它們之間的最短路上至少有一個標記（字典序）更小的節點。

\((n \leq 10^5)\)

Codeforces 321C

橘子園保衛戰

\((n \leq 10^5)\)

TIOJ 1696

Centroids

Codeforces 708 C

烏龜埋伏

TIOJ 1709

乘數與被乘樹

OJDL 7093

Roads in the Kingdom

給定一棵包含 \(n\) 條邊（邊有邊權）的聯通圖，求刪掉一條邊所形成的樹中，所能夠產生的最小直徑。

\((n \leq 2 \cdot 10^5)\)

Codeforces 835 F

Beautiful Road

Codeforces 87 D

Arch

POI 2013

Disruption

USACO 2018

Cat in a tree

BOI 2017

烏龜暗殺

TOI 2020 pre

樹莫隊

NO Judge

給定一棵樹

每個節點一個顏色

對於 \(q\) 筆詢問 \(a_i,b_i\)

回答節點 \(a_i,b_i\) 之間路徑上顏色的眾數數量

\((n,q<5\times10^4)\)

眾數=>莫隊？

樹莫隊

壓平
詢問轉換
正常莫隊！

1. Euler Tour Flattening

Euler Tour Order:

1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 3 \ 5 \ 6 \ 6 \ 5 \ 2 \ 7 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 7 \ 1

2. Query transformatiom

兩點間路徑轉換成序列？

XOR 抵銷「進去」又「出來」的節點

兩點間路徑轉換成序列？

XOR 抵銷「進去」又「出來」的節點

Case 1

Case 2

\(a=lca(b)\)

假設 \(start(a)<start(b)\)

\(query(a,b)=[start(a),start(b)]\)

\(a\ne lca(b)\)

\(query(a,b)=[end(a),start(b)]+start(lca(a,b))\)

Bingo 變成正常莫隊了

Tree

By CasperWang

Tree

課程內容

最近共同祖先(LCA)

Before Start ...

為了確保等一下有人聽得懂我講的話

先確認一些基本名詞定義：

圖？樹？森林？

聯通圖？聯通分量？

有根樹？無根樹？

子節點？父節點？

祖先？子樹？

什麼是最低共同祖先？

大波與黑手黨家族

給一個作法吧，並嘗試估計複雜度

\(O(n^2q)\)？

\(O(nq)\)？

\(O(n log n)\) 作法一：

樹壓平取LCA

歐拉遍歷

要取得任意兩個節點之間的最低共同祖先，我們只要找他們兩個出現位置之間深度最淺的那個點就行了！

我們可以將點按照深度重新編號

保證讓深度越淺的點有較小的值

搭配區間找最小值的資料結構，我們就可以輕鬆在 \(O(\log n)\) 時間內找到最低共同祖先

總時間複雜度 \(O(n + q \log n)\)

\(O(n log n)\) 作法二：

Doubling倍增法

想像對於每個節點，我們知道他的1倍祖、2倍祖、4倍祖、8倍祖...

我們讓 \(A\) 在不要成為 \(B\) 的祖先的前提下不斷往上跳最大的 2 的冪次

什麼意思？

用上述方法，我們可以找到 \(A\) 深度最淺且不是 \(B\) 的祖先的那個點

而他的父親就是答案！

技術上而言，我們要怎麼知道一個節點的 1倍祖、2倍祖、4倍祖、8倍祖呢？

A 的16倍祖，就是 A 的8倍祖的8倍祖！

物種演化

\(A\) 到 \(B\) 的路徑長度

= \(A\) 的深度 + \(B\) 的深度 - \(LCA(A, B)\) 的深度 * 2

實作時間(?)

樹上最大連續和

Graph and Queries

樹鏈剖分

在處理邊的操作與詢問相關問題時，藉由將樹分鏈得到較佳複雜度的算法

每個點往size最大的子樹連

將樹分解成一條條鏈

LCA

樹鏈剖分、壓平

NO Judge

OJDL 7067

啟發式合併

在處理subtree相關問題時，藉由保留大子樹資訊以得到較佳複雜度的算法

Lomsat gelral

不知道怎麼做的時候，就先想個naive解吧！

我們可以對每個節點用一個map維護每個顏色在該節點子樹中的出現次數

隨便轉移一下，複雜度 \(O(n^2 \log n)\)

不覺得每次轉移上去都要新開一個map來紀錄根本超麻煩嗎＝＝

感覺把最大子樹原本的那個map直接拿上去用會省掉很多麻煩（？

甚至連複雜度都變好了（？！

如果你常常像剛才那樣不小心換一個方法做突然就從ＴＬＥ變ＡＣ的話，請保持你的通靈感，你已經具備了唬爛進1!、2!、3!的潛力><

回歸正題，如果你照著剛剛那個方法做，複雜度就會是好好的 \(O(n \log ^2 n )\) 了，AC～～

But why???

照著剛剛的那個方法，考慮每一個節點需要被提出來合併的次數：當該節點所在的子樹不是其父親的最大子樹時，就需要被提出來合併，我們稱這種子樹的根為輕點

回想一下樹練剖分，一個節點到根的路徑中，至多不會超過 \(\log n\) 個輕邊，意即輕點數量也同樣不超過 \(\log n\)

每個點不合併超過 \( \log n\) 次，每次對map的操作為 \( \log n\)，得總複雜度 \((n \log ^2 n)\)

DSU 查詢複雜度

\(O(1)\)、\(O(\log n)\)、\(O(\alpha (n) )\) ？

忍者調度問題

Blood Cousins

Dominant Indices

重心剖分

在一棵大小為 \(n\) 的樹上，找到一個點，移除後使得留下的所有連通分量（樹）的大小均不超過 \(\frac{n}{2}\)，那麽這個點就是整棵樹的重心

一棵樹至少有幾個重心？至多呢？

要怎麼找到樹的重心？\(O(n)\)

一棵樹至少有 1 個重心，至多則為 2 個，且這兩個重心必相鄰

複雜度？

重心剖分？

一棵樹的重心剖分會用另外一棵樹來表示

以遞迴定義：

樹根為其重心

每個子樹代表拔掉重心後的各個連通分量

怎麼做？

喔 其實直接照定義建樹就好了耶

　　樹根為其重心

　　每個子樹代表拔掉重心後的各個連通分量

喔　其實直接照定義建樹就好了耶