a arte de
Espirais
proporção áurea
Phi = 1,618...
G
P
M
P
M
G
Phi = =
G
M
M
P
P + M = G
Fibonacci
a divisão de 2 termos consecutivos tende a phi
Leonardo Fibonacci
1,618
proporção áurea
Phi = 1,618...
retângulo áureo
espiral áurea
espiral áurea
curiosidades áureas
Mitos da espiral áurea
Espirais na natureza
Espiral logarítmica
espiral equiangular
72.96761 °= atan((pi/2)/ln(phi))
O náutilus não é áureo...
... mas é uma espiral logarítmica.
Escadas caracol vistas em perspectiva não são espirais logarítmicas (muito menos áureas)...
... são espirais hiperbólicas.
Conchas marinhas
chifres, caudas etc..
crescimento assimétrico
crescimento assimétrico
crescimento assimétrico
aonde está o centro da espiral?
crescimento assimétrico
centro da espiral
crescimento assimétrico
EADEM MUTATA RESSURGO
Jacob Bernoulli
(mudada, resurjo a mesma)
spira mirabilis (espiral maravilhosa)
Espiral logarítmica
spira mirabilis (espiral maravilhosa)
Jacob Bernoulli
perseguição das tartagugas
Galáxias em espiral
Galáxias em espiral
Galáxias em espiral
Filotaxia de Fibonacci
Bloom
Filotaxia de Fibonacci
parastíquias = espirais secundárias em filotaxia
Filotaxia
(distribuição de ramos, folhas, pétalas e sementes nas plantas)
56% das plantas apresentam filotaxia espiral e destas, 92% são filotaxias de Fibonacci
Filotaxia de Fibonacci
= ângulo de divergência
raio é determinado pelo plastocrono (tempo entre emissões)
Filotaxia de Fibonacci
M = meristema
P = primordia
Filotaxia de Fibonacci
Experiência de Douady & Couder
Filotaxia de Fibonacci
O girassol tem ângulo de divergência áureo, mas as sementes são distribuidas sobre uma espiral de Fermat
Hélices
curvas cujas tangentes formam um ângulo de inclinação constante em relação a um plano fixo.
hélice cilíndrica
hélice cônica
hélice esférica
circunferência
espiral logarítmica
epicicloide
espiral cônica de Pappus
espaçamento contante entre as espiras .
espiral cônica de Pappus
hélice cônica
espiral de arquimedes
espiral logarítmica
Loxodrome da esfera
formam ângulos contantes com os meridianos.
Clelia
espaçamento constante entre as espiras.
A projeção estereográfica da loxodrome da esfera é uma espiral logarítmica
Loxodrome
linha de rumo contante
geodésica
(menor caminho)
Menor caminho entre São Paulo e Tóquio
rumo constante 1
rumo constante 2
Menor caminho entre São Paulo e Tóquio
Espirais
By Charlot Fantasias
