Curvas Misteriosas

Juan Carlos Ponce Campuzano

José Aurelio Pina

@pina_agost

Mari Carmen Garcia

@mcarmenmaths

Agradecimientos

Institut GeoGebra Valencià + SEMCV

Associació Catalana de GeoGebra

Asociación Matemáticas Creatividad GeoGebra

 Curvas misteriosas

 Curvas misteriosas

Objetivo:

Explorar curvas misteriosas en GeoGebra

  1. Definir intuitivamente curvas misteriosas.
  2. Construir estas curvas en GeoGebra.
  3. Explorar algunas de sus propiedades matemáticas.
  4. Proponer retos de construcción en GeoGebra para un caso general.

Ruta

1. Definición

{x(t)y(t)a≤t≤b\left\{ \begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array} \right. a\leq t \leq b
\left\{ \begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array} \right. a\leq t \leq b

Epiciclos

(x(t),y(t))\big(x(t) , y(t) \big)
\big(x(t) , y(t) \big) 
Rotaciones simples
{Rcos⁡(ωt)R sen(ωt)0≤t≤2π\left\{ \begin{array}{l} R \cos( \omega t) \\ R\, \text{sen}(\omega t) \end{array} \right. 0\leq t \leq 2\pi
\left\{ \begin{array}{l} R \cos( \omega t) \\ R\, \text{sen}(\omega t) \end{array} \right. 0\leq t \leq 2\pi

1. Definición

{R1cos⁡(ω1t)+R2cos⁡(ω2t)R1 sen(ω1t)+R2 sen(ω2t)\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t)\\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t)\\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) \end{array} \right.

1. Definición

Rotaciones dobles
{R1cos⁡(ω1t)+R2cos⁡(ω2t)+R3cos⁡(ω3t)R1 sen(ω1t)+R2 sen(ω2t)+R3 sen(ω3t)\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

1. Definición

{R1cos⁡(ω1t)+R2cos⁡(ω2t)+R3cos⁡(ω3t)R1 sen(ω1t)+R2 sen(ω2t)+R3 sen(ω3t)\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

2. Construcción en GeoGebra

R1=1,R2=12,R3=13R_1 = 1, R_2 = \frac{1}{2}, R_3 = \frac{1}{3}
R_1 = 1, R_2 = \frac{1}{2}, R_3 = \frac{1}{3}
ω1=1,ω2=6,ω3=−14\omega_1 = 1, \omega_2 =6, \omega_3 = -14
\omega_1 = 1, \omega_2 =6, \omega_3 = -14

Curva misteriosa = ?

Pasos para construir Epiciclos

A = (0, 0)
c = Circunferencia(A, 1)
B = Punto(c)
t = Deslizador(0, 2 pi, 0.001, 0.4)
B' = Rota(B, t)
v1 = Vector(A, B')
d = Circunferencia(B', 1/2)
C = Punto(d)
C' = Rota(C, 6 * t, B')
e = Circunferencia(C', 1/3)
v2 = Vector(B', C')
D = Punto(e)
D' = Rota(D, -14 * t, C')
v3 = Vector(C', D')
lugar1 = LugarGeométrico(D', t)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

Pasos para construir una curva misteriosa

R1 = 1
R2 = 1/2
R3 = 1/3
w1 = 1
w2 = 6
w3 = -14
fx(x) = R1 * cos(w1 * x) + R2 * cos(w2 * x) + R3 * cos(w3 * x)
fy(x) = R1 * sen(w1 * x) + R2 * sen(w2 * x) + R3 * sen(w3 * x)
a = Curva(fx(t), fy(t), t, 0, 2 pi)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

¿Qué relación existe entre las frecuencias {1,6,−14}\{1, 6, -14\} y la simetría rotacional de orden 55?

🤔

3. Exploración de simetría rotacional

1−6=−51-6=-5

6−(−14)=206-(-14)=20

1−(−14)=151-(-14)=15

El máximo común divisor de −5,20,-5, 20, y 1515 es:

5

1,61, 6 y −14-14 son congruentes con 1 módulo 5

1,6,−14=1(mod 5)1,6,-14 =1 \left(\text{mod} \, 5\right)

3. Exploración de simetría rotacional

1. Busca simetrías rotacionales de orden 3 y 4.

2. ¿Cuál es el orden de simetría rotacional para la terna 2, 8, -10?

Nota: Observa que la terna 2, 8 y -10 tiene como factor común a 2.

Actividad

  1. Define los valores de R1R_1, R2R_2 y R3R_3 usando el comando
    • ​​​UniformeAleatorio( <Mínimo>, <Máximo> )
      • ​Da por resultado un número real aleatorio a partir de una distribución uniforme en el intervalo [Mínimo, Máximo].
  2. Define los valores de ω1\omega_1, ω2\omega_2 y ω3\omega_3 usando el comando
    • ​​AleatorioEntre( <Mínimo> , <Máximo> )
      • ​Genera un número entero aleatorio entre el mínimo y el máximo (inclusive).

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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c(t)={R1cos⁡(ω1t)+R2cos⁡(ω2t)+R3cos⁡(ω3t)R1 sen(ω1t)+R2 sen(ω2t)+R3 sen(ω3t)c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

0<Ri∈R,  ωi∈Z0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
(cos⁡t,sen t)(\cos t, \text{sen}\, t)
(\cos t, \text{sen}\, t)
=cos⁡t+i sen t=\cos t + i \,\text{sen} \,t
=\cos t + i \,\text{sen} \,t
=eit= e^{i t}
= e^{i t}
(R1cos⁡(ω1t),R1sen(ω1t))\big(R_1 \cos (\omega_1 t), R_1 \text{sen} (\omega_1 t)\big)
\big(R_1 \cos (\omega_1 t), R_1 \text{sen} (\omega_1 t)\big)
=R1eiω1t= R_1e^{i \omega_1 t}
= R_1e^{i \omega_1 t}
i=−1i = \sqrt{-1}
i = \sqrt{-1}

4. Más Curvas misteriosas

c(t)=R1eω1it+R2eω2it+R3eω3itc(t)= R_1e^{ \omega_1 i t}+R_2e^{ \omega_2 i t}+R_3e^{ \omega_3 i t}
c(t)= R_1e^{ \omega_1 i t}+R_2e^{ \omega_2 i t}+R_3e^{ \omega_3 i t}
c(t)={R1cos⁡(ω1t)+R2cos⁡(ω2t)+R3cos⁡(ω3t)R1 sen(ω1t)+R2 sen(ω2t)+R3 sen(ω3t)c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.
0<Ri∈R,  ωi∈Z0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z
c(t)=C1eω1it+C2eω2it+C3eω3itc(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}
c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}
Ci∈C,  ωi∈ZC_i\in \mathbb C, \;\omega_i\in \mathbb Z
C_i\in \mathbb C, \;\omega_i\in \mathbb Z

4. Más Curvas misteriosas

c(t)=eit+12e6it+i3e−14itc(t) = e^{it} + \dfrac{1}{2}e^{6 i t} + \dfrac{i}{3}e^{-14 i t}
c(t) = e^{it} + \dfrac{1}{2}e^{6 i t} + \dfrac{i}{3}e^{-14 i t}

4. Más Curvas misteriosas

c(t)={cos⁡(t)+1/2cos⁡(6t)+1/3 sen(14t) sen(t)+1/2 sen(6t)+1/3cos⁡(14t)c(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos( t) +1/2\cos(6 t) +1/3\,\text{sen}(14 t) \\ \,\text{sen}( t) +1/2 \,\text{sen}(6 t) +1/3 \cos(14 t) \end{array} \right.
c(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos( t) +1/2\cos(6 t) +1/3\,\text{sen}(14 t) \\ \,\text{sen}( t) +1/2 \,\text{sen}(6 t) +1/3 \cos(14 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

Retos en GeoGebra

c(t)=C1eω1it+C2eω2it+C3eω3itc(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}
c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}

1. Construir curvas misteriosas usando la expresión compleja

2. Generalizar la construcción para nn términos

c(t)=C1eω1it+C2eω2it+⋯+Cneωnitc(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+\cdots + C_ne^{ \omega_n i t}
c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+\cdots + C_ne^{ \omega_n i t}

4. Más Curvas misteriosas

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Compartan sus construcciones en GeoGebra Classroom: YHEG X7HK

https://www.geogebra.org/classroom/yhegx7hk

Referencias

🔗 Creating symmetry:

The artful mathematics

of wallpaper patterns

 

Frank A. Farris

 

🔗 Infinite mystery curve

Recursos

Libro de actividades: Curvas misteriosas

https://www.geogebra.org/m/pkbhvz4s

Actividad: Cambio de frecuencias

https://www.geogebra.org/m/xs7tmvy2

Applets de la presentación

https://www.geogebra.org/m/btdzzzdt

Grabación del Taller - Institut GeoGebra Valencia

https://youtu.be/n24wrb7K3Gc

Thanks!

ABC of Mathematics:

An interactive experience

🔗 eBook para iPad

Complex Analysis:

A visual and interactive introduction

Acceso libre: 🔗 complex-analysis.com

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By Juan Carlos Ponce Campuzano

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Explorando simetrías de curvas paramétricas con GeoGebra.

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