Curvas Misteriosas

Juan Carlos Ponce Campuzano

José Aurelio Pina

@pina_agost

Mari Carmen Garcia

@mcarmenmaths

Agradecimientos

Institut GeoGebra Valencià + SEMCV

Associació Catalana de GeoGebra

Asociación Matemáticas Creatividad GeoGebra

Curvas misteriosas

Objetivo:

Explorar curvas misteriosas en GeoGebra

Definir intuitivamente curvas misteriosas.
Construir estas curvas en GeoGebra.
Explorar algunas de sus propiedades matemáticas.
Proponer retos de construcción en GeoGebra para un caso general.

Ruta

1. Definición

\left\{ \begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array} \right. a\leq t \leq b

Epiciclos

\big(x(t) , y(t) \big)

Rotaciones simples

\left\{ \begin{array}{l} R \cos( \omega t) \\ R\, \text{sen}(\omega t) \end{array} \right. 0\leq t \leq 2\pi

1. Definición

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t)\\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) \end{array} \right.

1. Definición

Rotaciones dobles

\left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

1. Definición

2. Construcción en GeoGebra

R_1 = 1, R_2 = \frac{1}{2}, R_3 = \frac{1}{3}

\omega_1 = 1, \omega_2 =6, \omega_3 = -14

Curva misteriosa = ?

Pasos para construir Epiciclos

A = (0, 0)
c = Circunferencia(A, 1)
B = Punto(c)
t = Deslizador(0, 2 pi, 0.001, 0.4)
B' = Rota(B, t)
v1 = Vector(A, B')
d = Circunferencia(B', 1/2)
C = Punto(d)
C' = Rota(C, 6 * t, B')
e = Circunferencia(C', 1/3)
v2 = Vector(B', C')
D = Punto(e)
D' = Rota(D, -14 * t, C')
v3 = Vector(C', D')
lugar1 = LugarGeométrico(D', t)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

Pasos para construir una curva misteriosa

R1 = 1
R2 = 1/2
R3 = 1/3
w1 = 1
w2 = 6
w3 = -14
fx(x) = R1 * cos(w1 * x) + R2 * cos(w2 * x) + R3 * cos(w3 * x)
fy(x) = R1 * sen(w1 * x) + R2 * sen(w2 * x) + R3 * sen(w3 * x)
a = Curva(fx(t), fy(t), t, 0, 2 pi)

a.k.a Guión (Script) de GeoGebra

2. Construcción en GeoGebra

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

{1, 6, -14}

3. Exploración de simetría rotacional

¿Qué relación existe entre las frecuencias \(\{1, 6, -14\}\) y la simetría rotacional de orden \(5\)?

🤔

3. Exploración de simetría rotacional

\(1-6=-5\)

\(6-(-14)=20\)

\(1-(-14)=15\)

El máximo común divisor de \(-5, 20,\) y \(15\) es:

\(1, 6\) y \(-14\) son congruentes con 1 módulo 5

\(1,6,-14 =1 \left(\text{mod} \, 5\right)\)

3. Exploración de simetría rotacional

1. Busca simetrías rotacionales de orden 3 y 4.

2. ¿Cuál es el orden de simetría rotacional para la terna 2, 8, -10?

Nota: Observa que la terna 2, 8 y -10 tiene como factor común a 2.

Actividad

Define los valores de \(R_1\), \(R_2\) y \(R_3\) usando el comando
- UniformeAleatorio( <Mínimo>, <Máximo> )
  - Da por resultado un número real aleatorio a partir de una distribución uniforme en el intervalo [Mínimo, Máximo].
Define los valores de \(\omega_1\), \(\omega_2\) y \(\omega_3\) usando el comando
- AleatorioEntre( <Mínimo> , <Máximo> )
  - Genera un número entero aleatorio entre el mínimo y el máximo (inclusive).

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Ejemplo:

R1 = UniformeAleatorio(0.5, 4.5)
w1 =  AleatorioEntre(0, 9)

3. Crea un botón con el comando ActualizaConstrucción()

3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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3. Exploración de simetría rotacional

Actividad

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c(t) = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \cos(\omega_1 t) + R_2 \cos(\omega_2 t) + R_3 \cos(\omega_3 t) \\ R_1 \,\text{sen}(\omega_1 t) + R_2 \,\text{sen}(\omega_2 t) + R_3 \,\text{sen}(\omega_3 t) \end{array} \right.

4. Más Curvas misteriosas

0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z

(\cos t, \text{sen}\, t)

=\cos t + i \,\text{sen} \,t

= e^{i t}

\big(R_1 \cos (\omega_1 t), R_1 \text{sen} (\omega_1 t)\big)

= R_1e^{i \omega_1 t}

i = \sqrt{-1}

4. Más Curvas misteriosas

c(t)= R_1e^{ \omega_1 i t}+R_2e^{ \omega_2 i t}+R_3e^{ \omega_3 i t}

0\lt R_i\in \mathbb R, \;\omega_i\in \mathbb Z

c(t)= C_1e^{ \omega_1 i t}+C_2e^{ \omega_2 i t}+C_3e^{ \omega_3 i t}

C_i\in \mathbb C, \;\omega_i\in \mathbb Z

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = e^{it} + \dfrac{1}{2}e^{6 i t} + \dfrac{i}{3}e^{-14 i t}

4. Más Curvas misteriosas

c(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos( t) +1/2\cos(6 t) +1/3\,\text{sen}(14 t) \\ \,\text{sen}( t) +1/2 \,\text{sen}(6 t) +1/3 \cos(14 t) \end{array} \right.