Tomografia & Emaranhamento
em Estados Quânticos de Variáveis Contínuas
Ludmila Augusta Soares Botelho
Departamento de Física - ICEx - Universidade Federal de Minas Gerais
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6583097/font_rend.php.png)
representações
(e limitadas)
porém boas o suficiente!
![](https://cdn2.scratch.mit.edu/get_image/gallery/5123710_200x130.png)
Representações
Discretos
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6582889/NicePng_zero-suit-samus-png_2687257.png)
Contínuos
![](https://i.redd.it/i6x3qm8fqb701.png)
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6582900/kisspng-metroid-prime-trilogy-samus-aran-metroid-prime-3-metroid-2-pack-5cb5304d36ac84.718776261555378253224.png)
![](https://media2.giphy.com/media/xUOxfjsW9fWPqEWouI/giphy.gif)
![](https://media0.giphy.com/media/eIt79ij0OlKkU/giphy.gif)
Experimento
Dados
Mecânica Quântica
![](https://media0.giphy.com/media/XbC8Uy0rEhdTtF6lVa/giphy.gif)
Dados
Estado Quântico
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6586844/cafofando.jpg)
Representações
Discretos
Contínuos
![](https://i.redd.it/i6x3qm8fqb701.png)
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6582900/kisspng-metroid-prime-trilogy-samus-aran-metroid-prime-3-metroid-2-pack-5cb5304d36ac84.718776261555378253224.png)
Estados Quânticos
Discretos
Contínuos
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Wignerfunction_catstate_even_2.0.png)
∣↑⟩=[10]
\vert \uparrow \rangle = \begin{bmatrix}
1\\
0\\
\end{bmatrix}
∣↓⟩=[01]
\vert \downarrow \rangle = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
\end{bmatrix}
∣0⟩=[10]
\vert 0 \rangle = \begin{bmatrix}
1\\
0\\
\end{bmatrix}
∣1⟩=[01]
\vert 1 \rangle = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
\end{bmatrix}
Φ+⟩=2∣00⟩+∣11⟩
iℏ∂t∂Ψ(r,t)=[2m−ℏ2∇2+V(r,t)]Ψ(r,t)
E o video game?
Também começou do contínuo!
Estados Quânticos
-
Operador Densidade
ρ=ρ†
\rho = \rho^\dagger
ρ≥0
\rho \geq 0
tr(ρ)=1
\mathrm{tr}(\rho)= 1
Estados Quânticos
ρ=a11⋮an1…⋱…a1n⋮ann
\rho =\begin{bmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}
-
Dimensão
→n∈N
Estados Quânticos
ρ=?
\rho =\begin{bmatrix}
\quad & \quad & \quad \\
\quad & \text{\Huge?} & \quad \\
\quad & \quad & \quad
\end{bmatrix}
-
Dimensão infinita
Espaço de Fase
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Wignerfunction_catstate_even_2.0.png)
- Função de Wigner
W(q,p)=2πℏ1∫⟨q−2vρq+2v⟩eipv/ℏdv
- Pode assumir valores negativos
- "Quase-probabilidade"
![](https://images-wixmp-ed30a86b8c4ca887773594c2.wixmp.com/f/089cf2e6-1a07-42af-bcf6-e3528d46e5d4/dbego2w-b564d0f5-7663-4467-84a3-3b49690d9586.gif?token=eyJ0eXAiOiJKV1QiLCJhbGciOiJIUzI1NiJ9.eyJzdWIiOiJ1cm46YXBwOjdlMGQxODg5ODIyNjQzNzNhNWYwZDQxNWVhMGQyNmUwIiwiaXNzIjoidXJuOmFwcDo3ZTBkMTg4OTgyMjY0MzczYTVmMGQ0MTVlYTBkMjZlMCIsIm9iaiI6W1t7InBhdGgiOiJcL2ZcLzA4OWNmMmU2LTFhMDctNDJhZi1iY2Y2LWUzNTI4ZDQ2ZTVkNFwvZGJlZ28ydy1iNTY0ZDBmNS03NjYzLTQ0NjctODRhMy0zYjQ5NjkwZDk1ODYuZ2lmIn1dXSwiYXVkIjpbInVybjpzZXJ2aWNlOmZpbGUuZG93bmxvYWQiXX0.vkeJm4pVPOuV0ZJgih7trzoJVXqjauXka8wNjw-oWjo)
Espaço de Fase
Propiedade
Espaço de Hilbert
Espaço de Fase
Dimensão
Estrutura
∞
2N
⊗
⊕
H
Gaussianos
Descrição
ρ
d,σ
Γ
Detecção Homódina
2-1
∣α⟩
signal
50/50
Intensidade Número de fótons
I21=I1−I2
∝
(balanceada)
n^1=a^1′†a^1′n^2=a^2′†a^2′a^1′=21/2(a^′−αLO)a^2′=21/2(a^′+αLO)n^21=n^2−n^1=αLO∗a^+αLOa^†α=∣αLO∣(cosθ+isinθ)n^21=21∣αLO∣[(cosθ+isinθ)(q^−ip^)+(cosθ+isinθ)(q^−ip^)]
\hat{n}_1=\hat{a}_1'^\dagger\hat{a}_1' \qquad \hat{n}_2=\hat{a}_2'^\dagger\hat{a}_2'\\
\hat{a}_1'=2^{1/2}(\hat{a}'-\alpha_{LO}) \qquad \hat{a}_2'=2^{1/2}(\hat{a}'+\alpha_{LO}) \\
\hat{n}_{21} = \hat{n}_{2} - \hat{n}_{1} = \alpha_{LO}^*\hat{a}+\alpha_{LO}\hat{a}^{\dagger} \\
\alpha = \vert\alpha_{LO}\vert(\cos{\theta} +i\sin{\theta}) \\
\hat{n}_{21} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert{\alpha_{LO}}\vert \left[ (\cos{\theta} +i\sin{\theta})(\hat{q} - i\hat{p}) + (\cos{\theta} +i\sin{\theta})(\hat{q} - i\hat{p}) \right]\\
n^21=22∣αLO∣q^θ
\hat{n}_{21} = \frac{2}{\sqrt{2}}\vert{\alpha_{LO}}\vert\hat{q}_{\theta}
![](https://media.giphy.com/media/RAomkI9a7NGik/giphy.gif)
⟨qθ∣ρ∣qθ⟩=2πℏ1∫−∞∞W(qθcosθ−pθsinθ,qθsinθ+pθcosθ)dpθ
\langle{q_{\theta}}\vert\rho \vert{q_{\theta}}\rangle = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} W(q_{\theta}\cos{\theta} - p_{\theta}\sin{\theta},q_\theta \sin{\theta} + p_{\theta}\cos{\theta}) \mathrm{d}p_{\theta}
Tranformada de Radom
⟨qθ∣ρ∣qθ⟩→W(q,p)
W(q,p)→⟨qθ∣ρ∣qθ⟩
?
W(q,p)=2π21∫−∞+∞∫0πpr(x,θ)K(qcosθ+psinθ−x)dxdθ
W(q,p) = \frac{1}{2 \pi^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{\pi} pr(x,\theta) K(q\cos{\theta} + p\sin{}\theta -x) \mathrm{d}x \mathrm{d}\theta
Radom Inversa
K(x)=21∫−∞+∞∣ξ∣exp(iξx)dξ
K(x)= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \vert{\xi}\vert \exp{(i\xi x)} \mathrm{d}\xi
![](https://cdn.dicionariopopular.com/imagens/nazareconfusamatematica.gif)
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6586818/sacanagem.png)
![](https://media1.giphy.com/media/Vn9JVHDAzYw1O/giphy.gif)
![](https://media.slid.es/uploads/1137931/images/6586829/tomografialud.jpg)
![](https://www.estudokids.com.br/wp-content/uploads/2017/09/tomografia-precisa-fazer-jejum.jpg)
E se for de muitos modos?
![](https://media3.giphy.com/media/JIX9t2j0ZTN9S/giphy.gif)
Otimização Convexa
maximize
minimize
sujeito a
a⋅x
βi⋅x=bi
γj⋅x≤cj
-
Problemas Lineares
x≥0
i=1,…,m
j=1,…,n
Otimização Convexa
min
s.t
ρ⪰0
Tr(ρ)=1
-
Programação Semidefinida
-
Base de Fock
![](https://media1.giphy.com/media/14krvRm0VPXVkc/giphy.gif)
i∈I∑Δi+δ
ρ,Δ,δ
∣Tr(Eiρ)−fi∣ ⩽Δifi
i∈I
Tr(Eiρ)⩽δ
i∈/I
∣qθ⟩⟨qθ∣=∑ψn∗(q)ψm(q)exp[i(m−n)]∣n⟩⟨m∣
![](https://ichef.bbci.co.uk/images/ic/640x360/p01gk35d.jpg)
E agora para algo complemente diferente
Emaranhamento
- Separabilidade
![](https://lastfm-img2.akamaized.net/i/u/770x0/d414a08f5ff23fa2d29c2d9dd897384c.jpg)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/pt/7/75/Sonho-azul.jpg)
ρAB=λ∑π(λ)ρAλ⊗ρBλ
![](https://media3.giphy.com/media/cW55zyF7dJAf6/giphy.gif)
![](https://miro.medium.com/max/760/1*zSPtMkp70YN9JDhFRaHHXA.jpeg)
![](https://francis.naukas.com/files/2019/09/D20190923-Google-AI-Quantum-Sycomre-processor-54-qubits-copia.png)
![](https://media.giphy.com/media/C5jCCFnpq4zAs/giphy.gif)
Critérios de Separabilidades
- Transposição Parcial
ρTB=i∑pi(ρiA⊗(ρiB)T)
![](https://garysanis.com/Pics/Computer/SmokingComputerTower_XL.gif)
Dimensão Grande
Critérios de Separabilidades
- Matriz de Covariância
γ≥(γA00γB)
\gamma \geq \begin{pmatrix}
\gamma_A & 0 \\
0 & \gamma_B
\end{pmatrix}
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Wignerfunction_squeezed_0.50.png)
- SDP
Mapas Positivos
- Operador Densidade vs Matriz de Momentos
- Testemunha de Emaranhamento
(Porém Não Completamente Positivos)
Sep
ρ
W
Ent
M
W′
![](https://www.gifimage.net/wp-content/uploads/2017/10/here-comes-a-new-challenger-gif-3.gif)
![](https://ih0.redbubble.net/image.65466421.9232/flat,1000x1000,075,f.u1.jpg)
![](https://media2.giphy.com/media/hDMJjUNxLhIjK/giphy.gif)
Obrigada!
Tomografia & Emaranhamento em Estados Quânticos de Variáveis Contínuas Ludmila Augusta Soares Botelho Departamento de Física - ICEx - Universidade Federal de Minas Gerais
Tomografia e Emaranhamento CV - Versão Extendida
By ludmilaasb
Tomografia e Emaranhamento CV - Versão Extendida
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