A Householder-based algorithm for Hessenberg-triangular reduction
a hyperparalel implementation
Luis Manuel Román García
ITAM
Investigación II
31 enero 2018
- Intuición sobre el problema
- Introducción a los reflectores de Householder
- Observaciones intersantes
- Futuros pasos
Contenido
Contenido
Intuición sobre el problema
Supongamos que queremos resolver el siguiente problema:
Intuición sobre el problema
Ax = \lambda xB
Ax=λxB
y resulta que B es trinagular superior, i.e.
b_{ij} = 0; \quad i > j
bij=0;i>j
El problema que intentaremos resolver es pasar a A a una forma Hessenberg sin perder la estructura de B
Decimos que A está en forma Hessenberg si
a_{ij} = 0; \quad i > j +1
aij=0;i>j+1
Intuición sobre el problema
(A, B) = , ,
¿Cuál es el problema?
Que todo lo que se hace de un lado de la ecuación se tiene que hacer del otro lado ¿cómo transformar a A sin perder B?
Intuición sobre el problema
(A, B) = , ,
¿siguiente problema?
Pasar de Hessenberg a semidiagonal... matemáticamente, no existe un método que termine en un número finito de pasos (teoría de Galois)
Introducción a los reflectores de Householder
Imaginemos que quisieramos resolver una versión más simple del problema en cuestión:
Introducción a los reflectores de Householder
Ax = b
Ax=b
¿Cuáles serian nuestras opciones?
- Factorización LU con pivoteo
- Gram Schmidt
\approx \frac{n^3}{3}
≈3n3
\approx n^3
≈n3
- Rotaciones de Givens
- Reflexiones de Householder
\approx \frac{4n^3}{3}
≈34n3
\approx \frac{2n^3}{3}
≈32n3
Para este problema usaremos los reflectores de Householder, aprovechando que tienen una propiedad curiosa... pero antes un reflector de Householder es un operador lineal ortogonal que tiene la siguiente propiedad:
Introducción a los reflectores de Householder
R_ix = \alpha e_i
Rix=αei
Con
R_i = I - 2 \frac{uu^*}{u^*u}
Ri=I−2u∗uuu∗
La propiedad curiosa es que un reflector por la izquierda para la inversa de una matriz B, es un reflector por la derecha para la misma matriz.
Introducción a los reflectores de Householder
RB^{-1}e_i = \alpha e_i \Rightarrow BRe_i = \frac{1}{\alpha}e_i
RB−1ei=αei⇒BRei=α1ei
Luego, nuestro problema se reduce a resolver de manera eficiente
Bx = e_i
Bx=ei
Observaciones Interesantes
- Las reflexiones de Householder pueden ser acumuladas en matrices para aprovechar la posible paralelización.
- Hasta ahora sólo he visto implementaciones con soluciones cerradas del sistema lineal ¿algún proceso iterativo funcionará?
- Ya no se trabajará con GPUs si no con una tarjeta multiprocesador de bajo costo llamada Parallella
Observaciones interesantes
Futuros pasos
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