?

Pythagoraan lauseen "todistus"

Tyhjän pinta-alan suuruus on \( c^2 \).

Uudelleen järjestelemällä suorakulmaiset kolmiot saadaan tyhjän pinta-alan suuruudeksi \( a^2+b^2 \).

\( \rightarrow \) Siis \( a^2+b^2=c^2 \).

Esimerkki

\sin \alpha=\dfrac{\text{vastainen}}{\text{hypotenuusa}}
\cos\alpha=\dfrac{\text{viereinen}}{\text{hypotenuusa}}
\tan\alpha=\dfrac{\text{vastainen}}{\text{viereinen}}

Sini, kosini ja tangentti

Esimerkki

Kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava

A=\dfrac{1}{2}ab\sin{\gamma}

Sinilause

\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=2R

Esimerkki

Laiva etenee suoraviivaisesti kohti majakkaa.  Kello 15:00 majakan huippu näkyy laivasta 25 asteen kulmassa. Kello 15:30, laivan edettyä 250 metriä, majakan huippu näkyy laivasta 47 asteen kulmassa. Kuinka korkealla majakka on?

25^\circ
47^\circ

2. Ratkaise tarvittavat kulmat:

133^\circ
x

1. Piirrä kuva:

\( 47^\circ \) vieruskulma on \(180^\circ-47^\circ=133^\circ \)

Kolmion kulmien summa on \(180^\circ\), joten puuttuva kulma on \( 180^\circ-25^\circ-133^\circ=22^\circ \)

22^\circ

250

25^\circ
47^\circ
133^\circ
x

3. Sinilause:

Ratkaistaan sivun \( x \) pituus sinilauseen avulla.

250

22^\circ
\dfrac{x}{\sin 133^\circ}=\dfrac{250}{\sin 22^\circ} \quad ||\cdot \sin 133^\circ
x=\sin 133^\circ \cdot \dfrac{250}{\sin 22^\circ }=1171,394 \ldots
25^\circ
x

4. Sini

Ratkaistaan korkeus \( h \) sinin avulla

h
\sin(25^\circ)=\dfrac{h}{x} \quad ||\cdot x
h=x \cdot \sin (25^\circ)
h= 1171,394 \cdot \sin (25^\circ) = 495,05 \approx 500 \ (\text{m})

Kosinilause

c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma

Esimerkki 1

Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 5, 6 ja 4.

Ratkaise kolmion kulmien suuruudet.

Esimerkki 2

Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5 ja 3. Näiden sivujen välinen kulma on 40 astetta. Ratkaise kolmion muiden sivujen pituudet ja muiden kulmien suuruudet. Ratkaisuksi ei riitä kuvasta katsotut arvot.

MAA3/4: Sinilause, kosinilause

By Opetus.tv

MAA3/4: Sinilause, kosinilause

  • 1,165
Loading comments...

More from Opetus.tv