Opetus.tv PRO
Opetus.tv
?
Pythagoraan lauseen "todistus"
Tyhjän pinta-alan suuruus on \( c^2 \).
Uudelleen järjestelemällä suorakulmaiset kolmiot saadaan tyhjän pinta-alan suuruudeksi \( a^2+b^2 \).
\( \rightarrow \) Siis \( a^2+b^2=c^2 \).
Esimerkki
\sin \alpha=\dfrac{\text{vastainen}}{\text{hypotenuusa}}
\cos\alpha=\dfrac{\text{viereinen}}{\text{hypotenuusa}}
\tan\alpha=\dfrac{\text{vastainen}}{\text{viereinen}}
Sini, kosini ja tangentti
Esimerkki
Kolmion pinta-alan trigonometrinen kaava
A=\dfrac{1}{2}ab\sin{\gamma}
Sinilause
\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{\sin \gamma}=2R
Esimerkki
Laiva etenee suoraviivaisesti kohti majakkaa. Kello 15:00 majakan huippu näkyy laivasta 25 asteen kulmassa. Kello 15:30, laivan edettyä 250 metriä, majakan huippu näkyy laivasta 47 asteen kulmassa. Kuinka korkealla majakka on?
25^\circ
47^\circ
2. Ratkaise tarvittavat kulmat:
133^\circ
x
1. Piirrä kuva:
\( 47^\circ \) vieruskulma on \(180^\circ-47^\circ=133^\circ \)
Kolmion kulmien summa on \(180^\circ\), joten puuttuva kulma on \( 180^\circ-25^\circ-133^\circ=22^\circ \)
22^\circ
250
25^\circ
47^\circ
133^\circ
x
3. Sinilause:
Ratkaistaan sivun \( x \) pituus sinilauseen avulla.
250
22^\circ
\dfrac{x}{\sin 133^\circ}=\dfrac{250}{\sin 22^\circ} \quad ||\cdot \sin 133^\circ
x=\sin 133^\circ \cdot \dfrac{250}{\sin 22^\circ }=1171,394 \ldots
25^\circ
x
4. Sini
Ratkaistaan korkeus \( h \) sinin avulla
h
\sin(25^\circ)=\dfrac{h}{x} \quad ||\cdot x
h=x \cdot \sin (25^\circ)
h= 1171,394 \cdot \sin (25^\circ) = 495,05 \approx 500 \ (\text{m})
Kosinilause
c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma
Esimerkki 1
Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 5, 6 ja 4.
Ratkaise kolmion kulmien suuruudet.
Esimerkki 2
Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5 ja 3. Näiden sivujen välinen kulma on 40 astetta. Ratkaise kolmion muiden sivujen pituudet ja muiden kulmien suuruudet. Ratkaisuksi ei riitä kuvasta katsotut arvot.
MAA3/4: Sinilause, kosinilause
By Opetus.tv
