Forskning
En punkt process er en stokastisk variabel der ved hvert udfald giver en mængde af punkter.
Vi analyserer punkt processer via statistiske værktøjer som f.eks. K-funktioner.
og er defineret ved
K(r)K(r)K(r) = gennemsnitlige antal punkter inden for radius rrr
Ripley’s K-funktion er et værktøj til at afgøre om punkterne
1) er helt tilfældigt fordelt (Uniform)
2) samler sig i grupper (Clustered)
3) spreder sig (Dispersed)
Sammenligning med K-funktionen for en uniform fordeling KU K_U KU
rrr
K(r) K(r)K(r)
Forskningsprojekt
Definere en K-funktion for processer hvor hvert udfuld er en mængde af former, f.eks. fibre i 3d.
Problemstillinger
Afstandsmål:
d(γ1,γ2)=(∫γ1−γ2∫γ1−γ2τγ1−γ2(x)tK(x,y)τγ1−γ2(x)dλ(x)λ(y) )1/2 d(\gamma_1,\gamma_2) = \Big( \int_{\gamma_1-\gamma_2}\int_{\gamma_1-\gamma_2} \tau_{\gamma_1-\gamma_2}(x)^tK(x,y) \tau_{\gamma_1-\gamma_2}(x) d\lambda(x)\lambda(y) \Big)^{1/2} d(γ1,γ2)=(∫γ1−γ2∫γ1−γ2τγ1−γ2(x)tK(x,y)τγ1−γ2(x)dλ(x)λ(y) )1/2
For punkter i planen har vi aftandsmålet
d(x,y)=∣∣x−y∣∣=(x1−y1)2+(x2−y2)2d(x,y) = ||x-y|| = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} d(x,y)=∣∣x−y∣∣=(x1−y1)2+(x2−y2)2
Hvordan oversættes det til fibre?
Her bliver min matematiske baggrund nyttig!
K-funktion for en fiber process XXX observeret i et vindue W WW is
K(s,t)=1∣W∣ν(S0) ∑ ∑ 1[∣∣c(γ)−c(γ′)∣∣≤t,dc(γ,γ′)≤s] K(s,t) = \frac{1}{|W|\nu(S_0)} \sum \sum 1[||c(\gamma)-c(\gamma')|| \leq t, d_c(\gamma,\gamma')\leq s]K(s,t)=∣W∣ν(S0)1 ∑ ∑ 1[∣∣c(γ)−c(γ′)∣∣≤t,dc(γ,γ′)≤s]
γ∈X:c(γ)∈W \gamma\in X:c(\gamma)\in Wγ∈X:c(γ)∈W
γ′≠γ∈X \gamma' \neq \gamma \in X γ′=γ∈X
= == forventet antal fibre hvor midtpunkter er tættere end tt t og fiberafstand er mindre end sss
Tilfældigt
roterede linjer:
Tilfældige stier:
roterede spiraler:
By pernilleehh
