Raíra Marotta

Estatística

Curso Big Data e Data Science  INFNET

Aula 7 - Introdução a Inferência Estatística

 Inferência Estatística

Inferência:  fazer afirmações sobre características de uma população, baseando-se em resultados de uma amostra

Amostragem

Se repetirmos um evento diversas vezes, poderemos obter um resultado diferente por vez. Como podemos inferir sobre a população baseado em uma amostra?

Intervalo de Confiança

Intervalo de Confiança

Intervalo de confiança:  identifica o erro cometido ao usar uma amostra para estimar um parâmetro da população.

\left[\hat \theta - \textrm{erro} ; \hat \theta + \textrm{erro}\right]

Fonte: Pesquisa IBOPE.

Cuidado ao interpretar um intervalo de confiança!!!

IC com nível de confiança de 95% significa que se repetirmos a pesquisa 100 vezes, em 95 delas, o IC conterá o verdadeiro valor do parâmetro populacional.

Intervalo de Confiança

\left[\bar{X} - 2\hat{SE} (\bar{X});\bar{X} + 2\hat{SE}(\bar{X})\right]

Onde SE é o erro padrão, que nada mais é do que o desvio padrão de X dividido pela raiz quadrada de n.

P\left[\bar{X} - 2\hat{SE} (\bar{X}) \leq p \leq \bar{X} + 2\hat{SE} (\bar{X})\right]
P\left[ - 2 \leq \frac{\bar{X} - p}{\hat{SE}(\bar{X})} \leq 2\right]
P\left[ - 2 \leq Z \leq 2\right]
## No R:
pnorm(2) - pnorm(-2)
[1] 0.9544997

Intervalo de Confiança

## No R:

# 99%
z <- qnorm(0.995)
[1] 2.575829

# 95%
z <- qnorm(0.975)
[1] 1.959964

# 90%
z <- qnorm(0.95)
[1] 1.644854

Simulações de Monte Carlo

Simulações de Monte Carlo


# Verificando que o tamanho da amostra influencia
p <- 0.2
N.repeticoes <- 10000
N.amostra <- 10

X <- sample(c(0,1), size=N.amostra, replace=TRUE, prob=c(1-p, p))
X.barra <- mean(X)
SE.estimado <- sqrt(X.barra*(1-X.barra)/N.amostra)
c(X.barra - 2*SE.estimado, X.barra + 2*SE.estimado)

IC.aux <- replicate(N.repeticoes, {
  X <- sample(c(0,1), size=N.amostra, replace=TRUE, prob=c(1-p, p))
  X.barra <- mean(X)
  SE.estimado <- sqrt(X.barra*(1-X.barra)/N.amostra)
  LS <-  X.barra + 2*SE.estimado
  LI <-  X.barra - 2*SE.estimado
  between(p, X.barra - 2*SE.estimado, X.barra + 2*SE.estimado)
  
})

 Testes estatísticos

Teste de hipóteses: 

  1. ferramenta que permite validar (aceitar) ou refutar (rejeitar) uma alguma afirmação prévia.
  2. auxilia na decisão a ser tomada
H_0: \textrm{hipótese que queremos testar (hipótese nula)}
H_1: \textrm{hipótese alternativa}

Hipóteses:

P-valor:

é o menor nível de significância para o qual a hipótese nula é rejeitada.

\Downarrow

Nível de significância:

\alpha = P(\textrm{Erro I}) = P(\textrm{Rejeitar }H_0 | H_0 \textrm{ verdadeira})
\textrm{Rejeita }H_0 \textrm{ se p-valor} \leq \alpha

 Testes estatísticos

P-valor:

Comumente, o p-valor é utilizado para avaliar a significância de um teste de hipóteses

  • Se o p-valor for menor que 5%, então o resultado é estatísticamente significante
  • Se o p-valor for menor que 1%, então o resultado é estatísticamente significante

 Testes estatísticos

Teste de hipóteses: podem ser bilaterais ou unilaterais.

Exemplo para a média populacional

 Testes estatísticos

Teste t

Suponha que estamos interessados em investigar a média populacional de um determinado fenômeno.

T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}

Onde s representa o valor estimado do desvio padrão e       representa o valor estimado da média.

\mu_0

Utilizamos este teste quando desconhecemos o valor verdadeiro da variância populacional e a amostra é pequena n < 30

 Testes estatísticos - Exemplos

Exemplo: Verificar a quantidade de calorias num determinado produto. A empresa informa que a média de calorias de seu produto é de 30 kcal/g, mas a ANVISA afirma que é maior.

H_0: \mu = 30\\ H_1: \mu > 30\\
## No R:

# amostra de 25 produtos
calorias = c(30.05,29.38,28.45,31.22,31.07,34.44,34.50,34.48,31.75,30.59,
31.92,31.76,30.25,33.28,33.40,31.46,31.43,32.92,
29.91,33.63,27.98,33.07,31.01,29.85,29.70)

t.test(calorias,mu=30,alternative ="greater")

 Testes estatísticos - Exemplos

O que podemos concluir? 

Calcule o intervalo de confiança, a estatística de teste e use o comando t.test do R para chegar a uma conclusão

 Testes estatísticos - Exemplos

## No R:

# amostra de 25 produtos
calorias = c(30.05,29.38,28.45,31.22,31.07,34.44,34.50,34.48,31.75,30.59,
             31.92,31.76,30.25,33.28,33.40,31.46,31.43,32.92,29.91,
             33.63,27.98,33.07,31.01,29.85,29.70)

# IC 
N.amostra <- length(calorias)
calorias.barra <- mean(calorias)
se.calorias <- sd(calorias)/sqrt(N.amostra)
IC <- c((calorias.barra - 2*se.calorias),(calorias.barra + 2*se.calorias))

# Estatística de teste
t.score = (mean(calorias) - 30)/se.calorias

# Teste t
t.test(calorias,mu=30,alternative ="greater")

 Testes estatísticos

Teste para a proporção

Suponha que estamos interessados em investigar a média populacional de um determinado fenômeno.

T = \frac{\bar{X} - p_0}{s/\sqrt{n}}

Onde s representa o valor estimado do desvio padrão e       representa o valor estimado da proporção.

p_0

Exemplo: avaliar se proporção de crianças do sexo masculino nascidas em 2016 é de 50%.

 Testes estatísticos - Exemplos

Segundo dados do Registro Civil (IBGE), dos  2.803.080 nascimentos 1.435.631 foram de homens

H_0: p_{H} = 0,5\\ H_1: p_{H} \neq 0,5\\

 Testes estatísticos - Exemplos

# Teste para proporção
N.amostra <- 2803080
prop.estimada <- 1435631/2803080
se.prop <- sqrt((prop.estimada*(1-prop.estimada))/N.amostra)
IC <- c((prop.estimada - 2*se.prop),(prop.estimada + 2*se.prop))
IC <- c((prop.estimada - 1.96*se.prop),(prop.estimada + 1.96*se.prop))

# Estatística de teste
t.score = (prop.estimada - 0.5)/se.prop
t.score^2

# Teste - t
prop.test(1435631,n=2803080,p=0.5)

O que você conclui?

 Testes estatísticos - Exemplos

Exemplo: tianeptina é um antidepressivo. Aplicou-se a droga em dois grupos de pacientes e quantificou o nível de depressão através da escala de Montgomery-Asberg, em que os valores maiores indicam maior gravidade da depressão.

H_0: \mu_{T} = \mu_{P}\\ H_1: \mu_{T} < \mu_{P}\\
## No R:


placebo <- c(6,33,21,26,10,29,33,29,37,15,2,21,7,26,13,18)
tianeptina <- c(10,8,17,4,17,14,9,4,21,3,7,10,29,13,14,2)

t.test(tianeptina,placebo,alternative ="less")

     Welch Two Sample t-test

data:  tianeptina and placebo
t = -2.7788, df = 26.343, p-value = 0.004965
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -3.478563
sample estimates:
mean of x mean of y 
   11.375    20.375

 Testes estatísticos - Exemplos

Exemplo: tianeptina é um antidepressivo. Aplicou-se a droga em dois grupos de pacientes e quantificou o nível de depressão através da escala de Montgomery-Asberg, em que os valores maiores indicam maior gravidade da depressão.

H_0: \mu_{T} = \mu_{P}\\ H_1: \mu_{T} < \mu_{P}\\
## No R:


placebo <- c(6,33,21,26,10,29,33,29,37,15,2,21,7,26,13,18)
tianeptina <- c(10,8,17,4,17,14,9,4,21,3,7,10,29,13,14,2)

t.test(tianeptina,placebo,alternative ="less")

     Welch Two Sample t-test

data:  tianeptina and placebo
t = -2.7788, df = 26.343, p-value = 0.004965
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
      -Inf -3.478563
sample estimates:
mean of x mean of y 
   11.375    20.375

Infnet - Aula 7

By Raíra Marotta

Made with Slides.com

Infnet - Aula 7

  • 301

More from Raíra Marotta