Grafos

Usos de los grafos

Mapas y georeferenciación

Usos de los grafos

Telecomunicaciones

Usos de los grafos

Astronomía

Usos de los grafos

Metro de Londres

Usos de los grafos

Metro

de

Moscú

Usos de los grafos

Planeación de rutas de transporte público

http://amco.gov.co

Grafos

Quimica

Ejemplos

• Implementación de fuerzas en grafos  
• Visualgo graph

Grafos

Conceptos y definiciones

Definición

Agrupación de entes físicos o conceptuales y relaciones entre ellos.

Grafo (Graph/Network)

G = (V, A)

V = Conjunto de Vértices

A = Conjunto de Aristas

Representación

VERTICE A

VERTICE B

ARISTA

Pereira

Medellín

Definición

Es la representación de un elemento físico o conceptual.

Vértice 

• Ciudades
• Números
• Personas
• Moléculas

G = (V,A)

V = {pereira, cali, Medellín}

Definición

Representa una relación entre dos nodos.

Arco / Arista (Arc / Edge) 

• Dirigidos

G = (V,A)

A = {(pereira, cali), (Pereira,Medellín)}

VERTICE A

VERTICE B

Pereira

Medellín

VERTICE A

VERTICE B

Pereira

Medellín

• No Dirigidos

Tipos de grafo

• Dirigidos

• No dirigidos

• Grafo con pesos

VERTICE A

VERTICE B

Pereira

Medellín

VERTICE A

VERTICE B

Pereira

Medellín

VERTICE A

VERTICE B

Pereira

Medellín

380 Km

Grafo simple

Sin bucles ni arcos paralelos

Grafo plano

Los arcos no se pueden cruzar

Grafo lineal

Se puede expresar como una línea

Grafo Cn (Rueda)

Los arcos forman un ciclo completo

Grafo Kn

Todos sus vertices se conectan entre si

Grafo Km, n

Dos grupos que se conectan entre ellos, pero no con elementos del mismo grupo

Componentes conexas

Grafo conexo: Existe un camino entre cualquier par de vértices que forman el grafo.

Para saber si un grafo es conexo o no se hace un recorrido del mismo.

1. Realizar un recorrido del grafo a partir de cualquier vértice w.
2. Si en el recorrido se han marcado todos los vértices, entonces el grafo es conexo.
3. Si el grafo no es conexo, los vértices marcados forman una componente conexa.
4. Se toma un vértice no marcado, z, y se realiza de nuevo el recorrido del grafo a partir de z. Los nuevo vértices marcados forman otra componente conexa.
5. El algoritmo termina cuando todos los vértices han sido marcados (visitados)

Componentes fuertemente conexas

Un grafo dirigido fuertemente conexo es aquel en el cual existe un camino entre cualquier par
de vértices del grafo.

De no ser fuertemente conexo se pueden determinar componentes fuertemente conexas (Se puede usar el algoritmo de recorrido en profundidad para identificarlas)

a

d

e

c

b

Grafo dirigido

a

d

e

c

b

Componentes fuertes

Grafos

Tipo abstracto de dato (T.A.D.)

Creando el TAD

A

B

C

D

E

Creando el TAD

A

B

C

D

E

VERTICES

Creando el TAD

A

B

C

D

E

ARCOS

EJEMPLO: (A,C)

TAD: CON MATRIZ DE ADYACENCIA

VERTICE

GRAFO

MATRIZ DE ADYACENCIA

String dato

Vertice[] vertices

int[][] matrizAdyacencia

TAD: CON LISTA DE ADYACENCIA

VERTICE

GRAFO

String dato

Vertice[] vertices

List<Arco> listaAdyacencia

ARCO

Vértice origen

Vértice destino

VENTAJAS DE LISTA FRENTE A MATRIZ

• Incrementar la cantidad de vértices, sin tener que ejecutar algoritmos complejos (Memoria dinámica)

Integer peso

Grafos

Algoritmos comunes de grafos

Pseudocódigo

Recorrido en profundidad

DFS (Deep First Search)

• Permite recorrer todos los vértices de un grafo.
• Funciona como el recorrido de preorden de en árboles.
• Parte de un vértice y visita sus vértices adyacentes uno a uno, cuando exista un vértice sin adyacentes se retorna de manera recursiva al vértice inmediatamente anterior.
• Si existen vértices no alcanzables desde el vértice de partida, se procede a seleccionar otro vértice de partida. (Recorrido incompleto)

DFS (Deep First Search)

1. Marcar todos los vértices como no visitados
2. Elegir un vértice como punto de partida.
3. Marcar el vértice como visitado
4. Recorrer todos los vertices adyacentes al vértice inicial, si el sub vértice no ha sido visitado llamar recursivamente para ejecutar 3 y 4.

Inicializar marca

Para todos los vértices no marcados llamar a DFS

DFS: Para cada sub vértice si este no es visitado llamar a DFS

Aplicaciones

Recorrido en profundidad

• Encontrar componentes conexas de un grafo no dirigido.
• Revisar si un grafo tiene o no ciclos
• Encontrar componentes fuertemente conexas

Recorrido en Amplitud

BFS - Breadth First Search

Supone recorrer el grafo por niveles parecidos a los de un arbol. Es decir, primero se recorren los que esten a un paso del vertice origen, luego los que están a dos pasos, luego a tres y así sucesivamente hasta que estén marcados todos los vertices del grafo.

Se puede usar una estructura de datos COLA.

1. Se encola el vertice actual.
2. Se atiende el vertice actual y se encolan los vertices adyacentes.
3. Se hace  1 y 2 hasta que no se tengan vertices adyacentes.

Aplicaciones

• Para explorar segmentos de un grafo finito o de grandes dimensiones.
• Para encontrar el camino más corto
• Para encontrar la solución a un problema usando el menor número de pasos posibles

Recorrido en amplitud