Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 11
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Calcular o trabalho realizado em uma única partícula.
Aplicar o teorema trabalho-energia cinética quando a força é variável.
Potência de uma força.
Força elástica (variável).
Enunciar o teorema trabalho-energia cinética.
Conceituar o trabalho mecânico como um processo de transferência de energia.
O trabalho como o produto de dois vetores.
O trabalho das forças aplicadas sobre um bloco em um plano inclinado.
Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 6
Verifique no SIGAA questões recomendadas
Sistemas isolados e fechados
A partir dessa aula vamos estudar os princípios de conservação
Momento linear (sistemas isolados);
Energia (sistemas fechados).
Todas as trocas de momento ocorrem dentro do sistema isolado.
Todas as transformações e conversões de energia ocorrem dentro do sistema fechado.
O conceito de força é útil para lidar com problemas onde há uma interação entre o sistema e a vizinhança. Em consequência, \(\Delta \vec p_{sis} \neq 0 e \Delta E_{sis} \neq 0\).
Vamos permanecer utilizando os conceitos de força que você precisa aprender!
\Delta \vec p_{sis}=\vec 0
\Delta E_{sis}=0
Energia cinética
K=\frac{1}{2}mv^2
\vec v
m
No Sistema Internacional, a unidade da energia é o joule (J). Sendo 1 J = 1 N.m:
\text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\equiv \text{joule}=\text{J}
Se uma partícula apenas se move de um ponto para o outro, podemos considerar apenas sua energia cinética.
Uma energia associada ao movimento que leva em conta a massa inercial, e claro a velocidade.
Uma grandeza extensiva. Isto é, não pode ser criada ou destruída, mas que pode ser alterada pelos processos de entrada e saída de energia do sistema.
Uma partícula livre em movimento tem somente energia cinética!
Energia cinética
A energia cinética tem algumas características:
Está associada a um único objeto de inércia \(m\).
K=\frac{1}{2}mv^2
É sempre positiva. É um escalar.
Está associada ao movimento.
Não depende da direção e sentido do movimento.
\vec v
m
\vec v
m
\vec v
m
K_1=K_2=K_3
Se \(m_1=m_2=m_3\) e \(v_1=v_2=v_3\):
A energia e momento linear de uma única partícula.
Para baixas velocidades e em um processo onde a integridade da partícula não muda, sua energia é apenas cinética.
E=K
Uma partícula livre possui somente energia cinética e momento linear (ambos constantes).
K=\frac{1}{2}mv^2
Quando \(\Delta K =0\) e \(\Delta \vec p = \vec 0\) a partícula é livre. Só existe ela!
Não há variação da energia cinética e momento linear para uma partícula livre.\vec p=m\vec v
Energia cinética
Em um processo a variação da energia cinética e a variação do momento são:
\Delta K = K_f-K_i
\Delta \vec p =\vec p_f-\vec p_i
Se \(\Delta K > 0\) e \(\Delta p > 0\): A rapidez aumenta.
Como \(\Delta K \neq 0\) e \(\Delta \vec p \neq 0\), a partícula não é livre. Ela não está só.
O que alterou a energia cinética e o momento linear da partícula?
A energia e momento linear de um sistema de partículas únicas.
Se \(\Delta K < 0\) e \(\Delta p < 0\): A rapidez diminui.
Provavelmente alguma outra coisa que fez a partícula variar sua energia cinética e momento linear. Alguma interação fez isso!
Energia cinética
Somente as forças externas podem alterar a energia do sistema.
Cinética. Uma força provoca uma alteração do movimento (aceleração).
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
K_f \neq K_i
Interna. Uma força provoca uma alteração do estado físico (deformação).
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
\vec F_{Ro}
U_f \neq U_i
Trabalho
A força externa alterou a energia cinética.A força externa alterou o estado físico.Trabalho
Trabalho leva à variação na energia de um sistema devido a forças externas.
\vec F_{Ro}
Para descrever essas variações na energia e estado físico, existe o conceito de trabalho:
Portanto, no Sistema Internacional, a unidade de trabalho é o joule (J).
\vec F_{Ro}
Deformação
Aceleração
Vamos representar o trabalho pela letra:
W
Trabalho
O trabalho equivale a uma transferência de energia de um sistema para o ambiente ou do ambiente para o sistema.
Somente uma interação entre um objeto dentro do sistema (lambreta+piloto ou mola) e um objeto fora dele (amigo ou mão) - uma interação externa - pode transferir energia através dos limites do sistema.
Vizinhança
Sistema
Só há trabalho se o ponto de aplicação da força se deslocar!
Vizinhança
Sistema
Fonte: www.pixbay.com
Fonte: www.pixbay.com
Deformação
Aceleração
Exemplo 1
1) Imagine empurrar contra uma parede de tijolos, como mostra a figura.
(a) Considerando a parede como o sistema, a força que você exerce sobre ela é interna ou externa? (b) A força que você exerce na parede faz trabalho na parede?
\vec F^c_{hp}
Ponto de aplicação da força
Fonte: www.pixbay.com
\Delta \vec r_F = \vec 0
O ponto de aplicação da força não se move. O trabalho é nulo!
Exemplo 2
1) Para qual das seguintes forças o deslocamento de força é zero:
(a) a força exercida por uma mão que comprime uma mola.
(b) a força exercida pela Terra em uma bola lançada para cima.
(c) a força exercida pela terra sobre você no instante em que você pula para cima.
(d) a força exercida pelo piso de um elevador sobre você enquanto o elevador se move para
baixo a velocidade constante.
Trabalho
As forças externas exercidas em um sistema nem sempre realizam trabalho no sistema.
Para que uma força faça trabalho, o ponto de aplicação da força deve sofrer um deslocamento.
\vec F^c_{hp}
\Delta \vec r_F = \vec 0
Trabalho não nulo \(W \neq 0\)
Trabalho nulo \(W = 0\)
\vec F^c_{pc}
\Delta \vec r_F
Fonte: www.pixbay.com
Deformação
\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\Delta \vec r_F
Fonte: www.pixbay.com
Aceleração
Trabalho
Uma força externa exercida no sistema pode aumentar ou diminuir a energia do sistema.
O carro aumenta a velocidade.
O carro diminui a velocidade.
\vec F^c_{pc}
\textcolor{blue}{\cdot}
\vec v = \vec 0
\vec F^c_{pc}
\vec v
\Delta \vec r_F
\vec F^c_{pc}
\textcolor{blue}{\cdot}
\vec v = \vec 0
\vec F^c_{pc}
\vec v
\Delta \vec r_F
A força externa é paralela ao deslocamento da força.
A força externa é antiparalela ao deslocamento da força
O trabalho é positivo. A energia associada ao movimento aumenta.
O trabalho é negativo. A energia associada ao movimento diminuiu.
Fonte: www.pixbay.com
Fonte: www.pixbay.com
W>0
W<0
Trabalho
O trabalho realizado por uma força em um sistema é positivo quando a força e o deslocamento da força apontam na mesma direção e sentido.
O trabalho realizado por uma força em um sistema é negativo quando a força e o deslocamento da força apontam na mesma direção e sentidos opostos.
A energia associada ao movimento aumenta.
A energia associada ao movimento diminui.
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
W>0
W<0
Diagramas de energia
A energia cinética pode variar em situações que envolvam trabalho.
Os diagramas de energia são uma representação gráfica da conservação de energia: mostram que a energia de um sistema pode variar apenas devido à transferência de energia para dentro ou para fora do sistema.
Na mecânica essa transferência de energia para dentro ou para fora do sistema é possível devido ao trabalho mecânico.
É crucial definir o sistema e a vizinhança para a determinação do trabalho e o deslocamento da força.
Diagramas de energia
O trabalho positivo aumenta a energia do sistema.
Trabalho positivo significa que a força externa e o deslocamento da força têm a mesma direção e sentido.
Energia inicial
Trabalho
8\text{ J}
4\text{ J}
12\text{ J}
Energia final
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\vec v_f
\Delta \vec r_F
Sistema é o carrinho.
A energia do sistema aumentou.
W>0
Fonte: www.pixbay.com
\vec v_i
Diagramas de energia
O trabalho negativo diminui a energia do sistema.
Energia inicial
Trabalho
8\text{ J}
Energia final
Trabalho negativo significa que a força externa e o deslocamento da força têm a mesma direção e sentidos opostos.
2\text{ J}
-6\text{ J}
\vec F^c_{pc}
\vec F^c_{pc}
\vec v_i
\Delta \vec r_F
\vec v_f
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
Sistema é o carrinho.
A energia do sistema diminuiu.
W<0
Fonte: www.pixbay.com
Trabalho realizado em uma partícula
Uma força constante dá à partícula uma aceleração constante dada pela equação do movimento:
a = \frac{F_{R}}{m}
Integrando essa equação, obtemos uma expressão para a variação da energia cinética da partícula e o trabalho externo sobre ela.
\frac{dv}{dt} =a
\int_{v_{i}}^{v_{f}}v_xdv_=\int_{x_i}^{x_f}adx
\Rightarrow
\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} =a
\Rightarrow
\frac{dv}{dx}
v =a
\frac{v_{f}^2}{2}
-
\frac{v_{i}^2}{2}
=
a(x_f-x_i)
\frac{v_{f}^2}{2}
-
\frac{v_{i}^2}{2}
=
\frac{F_{R}}{m}(x_f-x_i)
\frac{mv_{f}^2}{2}
-
\frac{mv_{i}^2 }{2}
=
F_{R}\Delta x_F
\Rightarrow
\Rightarrow
\Delta K
=
F_{R}\Delta x_F
\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f
Segunda lei de Newton
Teorema trabalho-energia cinética
Trabalho realizado em uma partícula
Encontramos o resultado:
Para o movimento em uma dimensão, o trabalho realizado por uma força constante exercida sobre uma partícula é igual ao produto dos componentes x da força pelo deslocamento da força.
\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f
F_{R} \Delta x_F = \Delta K
Foi possível definir a energia cinética:
W_{ext} = F_{R} \Delta x_F
Esse é o Teorema Trabalho-Energia Cinética:
W_{ext} =\Delta K
K=\frac{1}{2}mv^2
E verificar que o trabalho da força externa é igual à variação da energia cinética da partícula.
Trabalho realizado em uma partícula
\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f
Uma força constante dá à partícula uma aceleração constante dada pela equação do movimento:
a_x = \frac{F_{R,x}}{m}
Integrando essa equação, obtemos a cinemática que em uma dimensão fornece:
v_{x}=v_{x,i}+a_x\Delta t
\Delta x_F = v_{x,i}\Delta t + \frac{1}{2}a_x(\Delta t)^2
\frac{dv_x}{dt} =a_x
\int_{v_{x,i}}^{v_{x}}dv_x =\int_{t_i}^{t_f}a_x dt
\Rightarrow
\frac{dx}{dt} =v_{x}
\Rightarrow
\int_{x_i}^{x_f}dx =\int_{t_i}^{t_f}v_x dt
Trabalho realizado em uma partícula
Uma partícula não tem estrutura interna e não pode sofrer deformação (\(\Delta E_{int} = 0\)). Somente a energia cinética de uma partícula pode mudar. Então:
\Delta E = \Delta K
a variação da energia total é igual à variação da energia cinética da partícula.
\vec F
\vec F
\Delta \vec r_F
m
m
\vec v_i
\vec v_f
A variação da energia cinética da partícula:
\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m(v_{x,f}^2-v_{x,i}^2)
\Delta K =
\frac{1}{2}m
\left[
(v_{x,i}+a_x \Delta t)^2-v_{x,i}^2
\right]
\Delta K=ma_x\left[
v_{x,i}\Delta t + \frac{1}{2}a_x(\Delta t)^2
\right]
\Delta K=ma_x\Delta x_F
\Delta K = F_x \Delta x_F
\Rightarrow
O teorema trabalho e energia cinética
\Delta K = F_{R} \Delta x_F
A partir do Teorema Trabalho-Energia Cinética:
Se \(F_{R}\) e \(\Delta x_F\) são tais que o produto \(F_{R} \Delta x_{F}\) é negativo. A energia cinética diminui e sua variação é negativa.
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta K < 0
Fonte: www.pixbay.com
Se \(F_{R}\) e \(\Delta x_F\) são ambos positivos ou ambos negativos, o produto \(F_{R} \Delta x_{F}\) é positivo. A energia cinética aumenta e sua variação é positiva.
\Delta \vec r_F
\vec F_{ext}
\Delta K > 0
Fonte: www.pixbay.com
2) Você joga uma bola diretamente no ar.
Qual das seguintes forças realiza trabalho na bola enquanto você a joga?
Considere o intervalo desde o instante em que a bola está em repouso na sua mão até o instante em que deixa a mão na velocidade v.
Considere as forças sobre a bola antes e depois de sair da sua mão.
(a) A força da gravidade exercida pela Terra sobre a bola.
(b) A força de contato exercida por sua mão na bola.
Exemplo 3
Forças variáveis
Se as forças não são constantes ou se não podemos determinar o deslocamento da força, os resultados obtidos não se aplicam.
A força elástica varia com a compressão ou alongamento do comprimento de um mola.
Para forças variáveis (elásticas) precisamos usar o cálculo diferencial/integral para determinar o trabalho da força elástica.
F=-kx
Forças variáveis
Para forças variáveis o truque é aplicar o resultado da força constante sobre um deslocamento de força pequeno o suficiente para tornar a força aproximadamente constante sobre esse deslocamento.
W_{n} = F(x_n)\delta x_F
Aplicamos a equação do trabalho e somamos para todos os \(n\) retângulos sob a curva:
W \approx \sum_n W_{n}
W_{n} = \sum _nF(x_n)\delta x_F
\Rightarrow
\Rightarrow
Área do retângulo \(\equiv\) trabalho feito durante o passo \(n\): \(F_x(x_n)\delta x_F\)
Área sob a curva \(\equiv\) trabalho realizado
Se permitirmos que o \(\delta x_F\) se aproxime de zero (e o número de pequenos deslocamentos se aproximam do infinito \(n\rightarrow \infty\)),
W = \lim_{\delta x_F \rightarrow 0} \sum _nF(x_n)\delta x_F
\Rightarrow
W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx
Uma força elástica tem a forma
F_{el\,x}=-kx
O trabalho da força elástica é:
W=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)dx
Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:
Vemos que é possível alterar a energia cinética do sistema por meio do trabalho da força elástica.
W=\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx
W=-(\frac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2)
\Rightarrow
\Rightarrow
Forças variáveis
W=\Delta K
Um artista de acrobacia cai do telhado de um prédio de dois andares em um colchão no chão.
O colchão se comprime, levando o artista ao repouso sem que ele se machuque.
O trabalho realizado pelo colchão no acrobata é:
positivo, negativo ou zero?
O trabalho realizado pelo artista no colchão é:
positivo, negativo ou zero?
(a) Negativo - Positivo
(b) Positivo - Negativo
(c) Positivo - Positivo
(d) Negativo - Negativo
Exemplo 4
O trabalho é um escalar, mas força e deslocamento são vetores (por quê?).
Em 1 dimensão para uma força constante:
W=F_x\Delta x_F
e pode ser positivo ou negativo.
\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F
W>0
W<0
E se o deslocamento e a força não apontam na mesma direção?
\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F
\vec F
\Delta \vec r_F
O trabalho como o produto de dois vetores.
O trabalho para uma força constante é calculado a partir do produto escalar entre os vetores força e o vetor deslocamento da força:
W=\vec F\cdot \Delta \vec r
e pode ser nulo, positivo ou negativo.
O trabalho como o produto de dois vetores.
\vec F
\Delta \vec r_F
W=0
\vec F
\Delta \vec r_F
W>0
\vec F
\Delta \vec r_F
W<0
Fonte: https://www.compadre.org
W=|\vec F||\Delta \vec r|\text{cos }\theta
Fonte: Tipler & Mosca
Para uma força resultante e constante
O trabalho realizado pela força é
W=\vec F\cdot \Delta \vec r
Somente o componente da força na direção do deslocamento contribui para o trabalho resultante.
O trabalho como o produto de dois vetores.
Esse é o papel do produto escalar.
W=F\Delta r \text{cos}\phi
W = F\Delta r
W = F_{\|}\Delta r
W=(F\text{cos}\phi )\Delta r
W=F_{\|}\Delta r
Considere um bloco deslizando sobre um trilho de ar inclinado (atrito é desprezível).
\vec P
x
y
\vec a
x
y
\vec N
\vec P_{y}
\vec P_{x}
Aplicando: 1) a independência dos movimento de Galileu; 2) o princípio de superposição; 3) A segunda lei de Newton:
\sum F_y=0
\sum F_x=m_ba_x
\theta
\theta
P_x=+mg\text{ sen }\theta
A força gravitacional pode ser decomposta em duas componentes no referencial adotado.
p_y=-mg\text{ cos }\theta
\Rightarrow +m_b g\text{ sen }\theta = m_b a_x
\Rightarrow a_x = g\text{ sen }\theta
Essa é nossa equação de movimento. A partir dela sabemos contar toda a história do bloco!
O trabalho como o produto de dois vetores.
O plano inclinado
O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:
a_x = g\text{ sen }\theta
O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:
O deslocamento ao longo da inclinação é:
x
\vec a
\theta
\vec P
\vec P
h
\Delta x = +\frac{h}{\text{sen }\theta}
Para um movimento com aceleração constante, o deslocamento é:
x_f = x_i+v_{x,i}t+\frac{1}{2}a_xt^2
Supondo que o bloco partiu do repouso \(v_{x,i}=0\) no tempo inicial \(t_i = 0\) e com aceleração constante:
\Delta x = +\frac{1}{2}(g\text{ sen }\theta)\, t^2
v_{x,f} = +(g\text{ sen }\theta\,) t
\vec v_{f}
\vec v_{i}=0
\cdot
O trabalho como o produto de dois vetores.
\Delta\vec x
\vec P
x_i
\vec P
x_f
v_{x,f}=v_{x,i}+a_xt
então:
O plano inclinado
O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:
a_x = g\text{ sen }\theta
O bloco desce acelerado ao longo do eixo x com uma aceleração constante:
o tempo de queda é:
x
\vec a
\theta
\vec P
\vec P
\Delta \vec x
\vec P
\vec P
h
A energia cinética inicial do bloco é nula: \(K_i = 0\), pois parte do repouso. A energia cinética final é:
\Delta x = +\frac{1}{2}(g\text{ sen }\theta)\, t^2
\vec v_{f}
\vec v_{i}=0
\cdot
x_i
x_f
t^2 = +\frac{2h}{(g\text{ sen}^2\,\theta)}
\Delta x = +\frac{h}{\text{sen }\theta}
K_f=\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = \frac{1}{2}mg^2\,\text{sen}^2\,\theta\, t^2
K_f=\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = \frac{1}{2}mg^2\,\text{sen}^2\,\theta\, \left( \frac{2h}{g\,\text{sen}^2\,\theta}\right)
\frac{1}{2}mv^2_{x,f} = mgh
\Delta K = W
\Rightarrow
Sabemos que:
v = +(g\text{ sen }\theta\,) t
\Rightarrow
O trabalho como o produto de dois vetores.
O plano inclinado
As componentes da força de contato (\(N\)) e força peso (\(P_y\)) são perpendiculares ao deslocamento da força. Assim, não realizam trabalho.
W_{N}\equiv 0
W_{P_y}\equiv 0
e
O trabalho realizado no bloco ao longo da inclinação realizado pelo componente da força da gravidade ao longo do deslocamento é:
W=P_x\Delta x_f
W= (+mg\text{sen}\,\theta)
\left(
\frac{+h}{\text{sen}\,\theta}
\right)=mgh
Isso faz sentido, porque é o componente x da força da gravidade que causa o deslocamento do bloco e faz todo o trabalho nele. As forças na direção y não causam deslocamento e, portanto, não realizam trabalho sobre o bloco.
x
y
\Delta \vec x
\theta
\vec P
\vec N
\vec P_y
\vec P_x
O trabalho como o produto de dois vetores.
W=Ph
W=mgh
O plano inclinado
O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: \(\vec A\cdot\vec B = AB\text{ cos }\phi\)
O trabalho realizado pela força peso é:
W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=P\Delta x_F \text{ cos }\phi
W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{cos }\phi
Nesse exemplo, \(\phi = \pi/2-\theta\). Então, \(\text{cos}(\pi/2-\theta) = \text{sen }\theta\). O trabalho da força da gravidade é:
|\Delta r_F|=\Delta x_F
pois
W=mgh
x
y
\vec a
\theta
\vec P
\Delta \vec r_F
\phi
O problema se resumiu ao produto usual da força peso (mg) pelo deslocamento na vertical (h)!
O trabalho como o produto de dois vetores.
\rightarrow W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{sen }\theta
O plano inclinado
O trabalho como o produto de dois vetores.
As superfícies inclinadas podem ser aproximadas por uma série de superfícies inclinadas.
O trabalho resultante somente contabiliza o trabalho da força peso (vertical) ao longo dos deslocamentos de queda (vertical).
O trabalho da força peso para deslocamentos na horizontal é nulo, pois.
W =
mg\Delta y_1 +
mg\Delta y_2 + mg\Delta y_3 + mg\Delta y_4 =
mg\Delta y
\vec P \bot \Delta x\hat i
\Delta x_1\hat i
\Delta x_2\hat i
\Delta x_3\hat i
\Delta x_4\hat i
\vec F^G
\Delta y_1\hat j
\Delta y_2\hat j
\Delta y_3 \hat j
\Delta y_4\hat j
\Delta y \hat j
Para obter uma melhor aproximação, podemos dividir a superfície em mais superfícies inclinadas menores, mas cada vez que vemos que o trabalho total realizado no bloco é igual a mgh.
W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=P \hat j \cdot (\Delta x\hat i+ \Delta y \hat j)
W=P \hat j \cdot \Delta y \hat j
W=P \Delta y
O plano inclinado
O trabalho realizado pelas seguintes forças consideradas é nulo.
(a) a força exercida por uma mão que comprime uma mola;
(b) a força exercida pela Terra em uma bola lançada para cima;
(c) a força exercida pelo solo sobre você no instante em que você pula para cima;
(d) a força exercido pelo piso de um elevador em você, à medida que o elevador se move para baixo a uma velocidade constante.
Exemplo 5
3) Uma bola é lançada verticalmente para cima e há duas situações:
(a) À medida que avança, diminui a velocidade sob a influência da gravidade.
(b) Após atingir sua posição mais alta, a bola se move para baixo, ganhando velocidade.
Qual opção é correta?
1) Em (a) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é negativo. Em (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é positivo.
2) Em (a) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é positivo. Em (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esse movimento é negativo.
3) Em (a) e (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esses movimentos são negativos.
4) Em (a) e (b) o trabalho realizado pela força gravitacional exercida na bola durante esses movimentos são positivos.
Exemplo 6
O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: \(\vec A\cdot\vec B = AB\text{ cos }\phi\)
O trabalho como o produto de dois vetores.
Força centrípeta
W=\vec F_{cp}\cdot \Delta \vec r
W=\vec F_{cp}\cdot \Delta \vec r
W=\vec F_{cp}\cdot \vec v_t \Delta t
W = F_{cp}v_t\cos(90^o)\Delta t
W = 0
\vec v_t
\vec F_{cp}
Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:
W = \Delta K \Rightarrow
0 = \Delta K \Rightarrow K_f = K_i
A força centrípeta não realiza trabalho; logo, não varia a magnitude da velocidade tangencial.
Potência
A taxa na qual a energia é transferida ou convertida é chamada de potência.
Se a energia de um sistema variar em uma quantidade \(\Delta E\) durante um intervalo de tempo \(\Delta t\), a potência média é definida como:
P_{m}=\frac{\Delta E}{\Delta t}
A unidade SI de potência é o watt (W), que é igual a 1 J de energia por segundo: 1 W = 1 J/s.
A potência instantânea é:
P = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{dE}{dt}
que fornece a taxa na qual a energia de um sistema varia.
Potência
Considere uma situação em que a energia de um sistema é alterada por uma força externa constante
A partir do trabalho de uma força constante:
W = F_{ext}\Delta x
A potência média é:
P_{m}=F_{ext}
\left(
\frac{\Delta x}{\Delta t}
\right)
ou, com a definição de velocidade média,
P_{m}=F_{ext}v_{m}
onde \(v_{m}\) é o componente x da velocidade média do ponto de aplicação da força (e como o objeto é rígido, também é o componente x da velocidade média do objeto).
A potência como um produto de dois vetores
De forma geral, o trabalho é o produto escalar de dois vetores:
A potência (W) é a energia por unidade de tempo (J/s). Então:
\vec F\cdot \Delta \vec r =W
\vec F\cdot \vec v\,\Delta t =W
\vec F\cdot \vec v=\frac{W}{\Delta t}
\vec v
\vec F
\vec v
\vec F
P= \vec F\cdot \vec v
P=Fv\cos( \theta)
P=(F\cos( \theta ))v
P=F_{\|}v
\vec F_{\|}
Somente a componente da força na direção da velocidade contribui para a potência.
O teorema trabalho-energia cinética
O teorema trabalho e energia cinética é obtido a partir da definição do trabalho de uma força.
Na forma diferencial (local):
dW = \vec F \cdot d\vec r
dW = m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v \,dt
dW = m
\left(\frac{1}{2}
\frac{dv^2}{dt}
\right)dt
dW =
d\left(\frac{1}{2}
mv^2
\right)
dW =
dK
m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v = m\frac{d(\vec v\cdot \vec v)}{dt}-m\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}
2m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v =
m\frac{d\vec v\cdot \vec v}{dt}
m\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v =
\frac{1}{2}m\frac{dv^2}{dt}
O trabalho infinitesimal é igual à energia cinética infinitesimal.
O teorema trabalho-energia cinética
O teorema trabalho e energia cinética é obtido a partir da definição do trabalho de uma força.
Na forma integral (global):
W_{A \rightarrow B} = \int_A^B \vec F \cdot d\vec r
W_{A \rightarrow B} = \int_A^B m\frac{d\vec v}{dt} \cdot \vec v dt
W_{A \rightarrow B} = \int_A^B m\vec v \cdot d\vec v
W_{A \rightarrow B} = m\int_A^B v d v
W_{A \rightarrow B} = \left(
\frac{mv_B^2}{2}-
\frac{mv_A^2}{2}
\right)
W_{A \rightarrow B} = \Delta K
O trabalho é numericamente igual à integral de linha
O trabalho de um ponto A para um ponto B é igual à variação da energia cinética entre A e B.
Exercício 1 (A9.P12-08)
Uma partícula, de massa m, está inicialmente posicionada no eixo x positivo, em \(x = x_i\), e sujeita a uma força repulsiva \(F_x\), exercida pela partícula b. A posição da partícula b está fixa, na origem. A força \(F_x\) é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre as partículas. Isto é, \(F_x= A/x^2\), onde \(A\) é uma constante positiva. A partícula a é largada do repouso e fica livre para se mover sob a influência da força. Encontre uma expressão para o trabalho realizado pela força sobre a partícula, como função de x. Encontre a energia cinética e a rapidez de a no limite em que x tende a infinito.
Exercício 2 (A9.P12-09)
Uma partícula de 3,0 kg, que se move ao longo do eixo x, tem uma velocidade de 2,0 m/s quando passa pela origem. Ela está sujeita a uma força única, Fx, que varia com a posição como mostrada na Figura.
(a) Qual é a energia cinética da partícula quando ela passa pela origem?
(b) Qual é o trabalho realizado pela força, enquanto a partícula se move de x = 0,0 m até x = 4,0 m?
(c) Qual é a rapidez da partícula quando ela está em x = 4,0 m?
Exercício 3 (A9.P12-10)
Uma caixa de 7,5 kg está sendo levantada por uma corda leve que passa por uma única polia, leve e sem atrito, que está presa ao teto.
(a) Se a caixa está sendo levantada com uma rapidez constante de 2,0 m/s, qual é a potência desenvolvida pela pessoa que puxa a corda?
(b) Se a caixa é levantada, com uma aceleração constante, a partir do repouso no chão, até a uma altura de 1,5 m acima do chão, em 0,42 s, qual é a potência média desenvolvida pela pessoa que puxa a corda?
Exercício 4 (A9.P12-11)
Um canhão colocado na beirada de um penhasco de altura H, dispara uma bala diretamente para cima, com uma rapidez inicial \(v_0\). A bala se eleva, cai de volta (errando o canhão por uma pequena margem) e chega ao pé do penhasco.
Desconsiderando a resistência do ar, calcule a velocidade \(v\) como função do tempo e mostre explicitamente que a integral temporal de \(F_{res}v\) , enquanto a bala está em vôo, é igual à variação da energia cinética da bala no mesmo tempo.
Exercício 5 (A10.P2-05)
Uma partícula de 2,0 kg sofre um deslocamento Durante esse deslocamento de
Durante esse deslocamento, uma força constante
atua sobre a partícula.
(a) Determine o trabalho realizado por essa força para esse deslocamento.
(b) Determine a componente da força na direção desse deslocamento.
\Delta \vec r = [(3,0\hat i)+(3,0\hat j)+(-2,0\hat k)] \text{m}
\vec F = [(2,0 \hat i) + (-1,0 \hat j) + (1,0 \hat k)]\text{ N}
Exercício 6 (A10.P2-06)
Determine a potência desenvolvida por uma força F que atua sobre uma partícula que se move com velocidade v, onde
(a)
(b)
\vec F = [(4,0\hat i) + (3,0\hat k)]\text{ N}
\vec v = (6,0\hat i)\text{ m/s}
\vec F = [(6,0\hat i) + (-5,0\hat j)]\text{ N}
\vec v = [+(-5,0\hat i)+(+4,0\hat j)]\text{ m/s}
Exercício 7 (A10.P2-07)
Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo x. Sua posição varia no tempo de acordo com
\(x = 2t^3 + 4t^2\),
onde x está em metros e t está em segundos.
Determine:
(a) a velocidade e a aceleração da partícula como funções de t,
(b) a potência fornecida à partícula em função de t e
(c) o trabalho realizado pela força resultante entre t = 0 e t = t1.
Exercício 8 (A10.P2-09)
Uma caixa de massa M está em repouso na base de um plano inclinado sem atrito. A caixa está presa a um fio que a puxa com uma tensão constante T.
(a) Determine o trabalho realizado pela tensão T, enquanto a caixa é puxada por uma distância x ao longo do plano.
(b) Determine a rapidez da caixa como função de x.
(c) Determine a potência desenvolvida pela tensão do fio como função de x.
Exercício 9 (A10.P2-11)
Um bloco de 6,0 kg escorrega 1,5 m abaixo sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo de 60° com a horizontal.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco e encontre o trabalho realizado por cada força, enquanto o bloco escorrega 1,5 m (medidos ao longo do plano inclinado).
(b) Qual é o trabalho total realizado sobre o bloco?
(c) Qual é a rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m, se ele parte do repouso?
Exercício 10 (Engenharia)
Por um curto período de tempo, o guindaste na figura levanta a viga de 2,50 Mg com uma força de F = (28 + 3y) kN. Determine a rapidez da viga quando ela subiu y = 3 m. Além disso, quanto tempo leva para atingir essa altura a partir do repouso?
Exercício 11 (Engenharia)
A plataforma P, mostrada na figura, tem massa insignificante e é amarrada para que os cabos de 0.4 m de comprimento mantenham uma mola de 1 metro de comprimento comprimida de 0,6 m quando não há nada na plataforma. Se um bloco de 2 kg for colocado na plataforma e liberado do repouso depois que a plataforma for empurrada para baixo 0,1 m , determine a altura máxima h o bloco subir no ar, medida a partir do solo.
Exercício 12 (Engenharia)
O menino de 40 kg na figura desliza pelo escorregador de água suave. Se ele começar do repouso em A, determine sua velocidade quando atingir B e a reação normal que o escorregador exerce sobre o menino nesta posição.
FM - Aula 11
By Ronai Lisboa
FM - Aula 11
Trabalho. Trabalho de forças externas (1D). Diagramas de energia. Trabalho como um produto escalar (2D). Potência de uma força.
