Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 11
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Aplicar o teorema trabalho-energia cinética quando a força é variável.
Força elástica (variável).
Forças constantes (peso e normal)
Força de atrito (distribuída).
Força elástica
Crédito: https://youtu.be/JhJzdtzl6KYCrédito: https://youtu.be/0EEHuh5q2p8Simulação
Mundo real
Força elástica
Como chegar até lá? Passo 1: Aprender o básico porque é uma boa ideia para medir forças.
No intervalo elástico a deformação é proporcional à força elástica.
Felaˊstica=−k(x−x0)
F_{\text{elástica}} =- k(x-x_0)
É possível combinar molas para obter forças e deformações distintas.
A constante da mola k é uma medida quantitativa da rigidez da mola. Tem unidade S.I. de newton/metro: N/m.
Diferentes molas têm valores diferentes de k, dependendo de como elas respondem à compressão e ao alongamento.
A força elástica (uma força de contato)
É possível alterar a constante mola associando molas.
O gráfico mostra o componente x do deslocamento da extremidade livre da mola de sua posição relaxada em x0 versus a força aplicada à mola.
regime elástico
regime plástico
ponto de ruptura
k=ΔxΔF
k=\frac{\Delta F}{\Delta x}
k=0,01m25 N
k=\frac{25\text{ N}}{0,01\text{m}}
k=2,5×103 N/m
k=2,5\times 10^3\text{ N/m}
Na verdade é uma bola bastante rígida!
Intervalo elástico
x−x0 (cm)
Fa (N)
A força elástica (uma força de contato)
Mola macia
Mola dura
Poste de aço
Fmtc
\vec F^c_{mt}
Fmtc
\vec F^c_{mt}
Fmtc
\vec F^c_{mt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
FTtg
\vec F^g_{Tt}
Para uma mesma força aplicada (peso) a deformação é maior para a mola macia
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Podemos modelar qualquer superfície como um conjunto de molas. Quanto mais rígida a superfície maior o valor da constante elástica e menor será a deformação para uma mesma força aplicada.
Fec=kΔx
F^c_{e}=k\Delta x
kmacia<kdura<kac¸o
k_{\text{macia}} < k_{\text{dura}} < k_{\text{aço}}
Δxmacia>Δxdura>Δxac¸o
\Delta x_{\text{macia}} > \Delta x_{\text{dura}} > \Delta x_{\text{aço}}
Δx=kmg
\Delta x=\frac{mg}{k}
A força elástica (uma força de contato)
Exemplo 1
Um livro de inércia de 1,2 kg é colocado no topo da mola na figura. Qual é o deslocamento da extremidade superior da mola da posição relaxada quando o livro está parado em cima da mola de constante de mola k=2,5×103 N/m?
Fmlc
\vec F^c_{ml}
FTlg
\vec F^g_{Tl}
⋅a=0
\cdot \quad\vec a =0
+x
+x
x0
x_0
x
x
Δx
\Delta x
∑F=mla
\sum \vec F = m_l\vec a
Fmlc+FTlg=mla
\vec F^c_{ml}+\vec F^g _{Tl}= m_l\vec a
Fe−P=ml0
F_e-P= m_l0
Fe−P=0
F_e-P= 0
−kΔx−mg=0
-k\Delta x-mg= 0
Δx=−kmg
\Delta x = -\frac{mg}{k}
Δx=−2,5×103 N/m(1,2 lg)(9,8m/s2)=
\Delta x = -\frac{(1,2\text{ lg})(9,8\text{m/s}^2)}{2,5\times 10^3\text{ N/m}}=
−4,7×10−3 m
-4,7\times 10^{-3}\text{ m}
O deslocamento é negativo, pois houve uma compressão da mola.
Fonte: Tipler & Mosca
O trabalho de forças variáveis (força elástica)
Se as forças não são constantes ou se não podemos determinar o deslocamento da força, os resultados obtidos não se aplicam.
A força elástica varia com a compressão ou alongamento do comprimento de um mola.
Para forças variáveis (elásticas) precisamos usar o cálculo diferencial/integral para determinar o trabalho da força elástica.
F=−kx
F=-kx
W=∫xixfFx(x)dx
W=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)dx
W=∫xixf(−kx)dx
W=\int_{x_i}^{x_f}(-kx)dx
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
W=−(21kxf2−21kxi2)
W=-(\frac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2)
Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:
Vemos que é possível alterar a energia cinética do sistema por meio do trabalho da força elástica.
W=ΔK
W=\Delta K
No gráfico da força dependente da posição (deformação) em um função da posição (deformação), a área é numericamente igual ao trabalho.
Wn=F(xn)δxF
W_{n} = F(x_n)\delta x_F
Aplicamos a equação do trabalho e somamos para todos os n retângulos sob a curva:
W≈∑nWn
W \approx \sum_n W_{n}
Wn=∑nF(xn)δxF
W_{n} = \sum _nF(x_n)\delta x_F
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
Área do retângulo ≡ trabalho feito durante o passo n: Fx(xn)δxF
Área sob a curva ≡ trabalho realizado
Se permitirmos que o δxF se aproxime de zero (e o número de pequenos deslocamentos se aproximam do infinito n→∞),
W=limδxF→0∑nF(xn)δxF
W = \lim_{\delta x_F \rightarrow 0} \sum _nF(x_n)\delta x_F
⇒
\Rightarrow
W=∫xixfF(x)dx≡Aˊrea sob a curva
W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx \equiv \text{Área \,sob\, a\, curva}
O trabalho de forças variáveis (força elástica)
Exercício 2 (A10.P2-07)
Uma partícula de massa m se move ao longo do eixo x. Sua posição varia no tempo de acordo com
x=2t3+4t2,
onde x está em metros e t está em segundos.
Determine:
(a) a velocidade e a aceleração da partícula como funções de t,
(b) a potência fornecida à partícula em função de t e
(c) o trabalho realizado pela força resultante entre t = 0 e t = t1.
Considere um bloco deslizando sobre um trilho de ar inclinado (atrito é desprezível).
P
\vec P
x
x
y
y
a
\vec a
x
x
y
y
N
\vec N
Py
\vec P_{y}
Px
\vec P_{x}
Aplicando: 1) a independência dos movimento de Galileu; 2) o princípio de superposição; 3) A segunda lei de Newton:
∑Fy=0
\sum F_y=0
∑Fx=mbax
\sum F_x=m_ba_x
θ
\theta
θ
\theta
Px=+mg sen θ
P_x=+mg\text{ sen }\theta
A força gravitacional pode ser decomposta em duas componentes no referencial adotado.
py=−mg cos θ
p_y=-mg\text{ cos }\theta
⇒+mbg sen θ=mbax
\Rightarrow +m_b g\text{ sen }\theta = m_b a_x
⇒ax=g sen θ
\Rightarrow a_x = g\text{ sen }\theta
Essa é nossa equação de movimento. A partir dela sabemos contar toda a história do bloco!
O trabalho de forças constantes
As componentes da força de contato (N) e força peso (Py) são perpendiculares ao deslocamento da força. Assim, não realizam trabalho.
WN≡0
W_{N}\equiv 0
WPy≡0
W_{P_y}\equiv 0
e
O trabalho realizado no bloco realizado pelo componente da força da gravidade ao longo do deslocamento é:
W=PxΔxf
W=P_x\Delta x_f
W=(+mgsenθ)(senθ+h)=mgh
W= (+mg\text{sen}\,\theta)
\left(
\frac{+h}{\text{sen}\,\theta}
\right)=mgh
Isso faz sentido, porque é o componente x da força da gravidade que causa o deslocamento do bloco e faz todo o trabalho nele. As forças na direção y não causam deslocamento e, portanto, não realizam trabalho sobre o bloco.
x
x
y
y
Δx
\Delta \vec x
θ
\theta
P
\vec P
N
\vec N
Py
\vec P_y
Px
\vec P_x
W=Ph
W=Ph
W=mgh
W=mgh
O trabalho de forças constantes
O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: A⋅B=AB cos ϕ
O trabalho realizado pela força peso é:
W=P⋅ΔrF
W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=PΔxF cos ϕ
W=P\Delta x_F \text{ cos }\phi
W=mg(sen θh)cos ϕ
W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{cos }\phi
Nesse exemplo, ϕ=π/2−θ. Então, cos(π/2−θ)=sen θ. O trabalho da força da gravidade é:
∣ΔrF∣=ΔxF
|\Delta r_F|=\Delta x_F
pois
W=mgh
W=mgh
x
x
y
y
a
\vec a
θ
\theta
P
\vec P
ΔrF
\Delta \vec r_F
ϕ
\phi
O problema se resumiu ao produto usual da força peso (mg) pelo deslocamento na vertical (h)!
→W=mg(sen θh)sen θ
\rightarrow W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{sen }\theta
O trabalho de forças constantes
As superfícies inclinadas podem ser aproximadas por uma série de superfícies inclinadas.
O trabalho resultante somente contabiliza o trabalho da força peso (vertical) ao longo dos deslocamentos de queda (vertical).
O trabalho da força peso para deslocamentos na horizontal é nulo, pois.
W=mgΔy1+mgΔy2+mgΔy3+mgΔy4=mgΔy
W =
mg\Delta y_1 +
mg\Delta y_2 + mg\Delta y_3 + mg\Delta y_4 =
mg\Delta y
P⊥Δxi^
\vec P \bot \Delta x\hat i
Δx1i^
\Delta x_1\hat i
Δx2i^
\Delta x_2\hat i
Δx3i^
\Delta x_3\hat i
Δx4i^
\Delta x_4\hat i
FG
\vec F^G
Δy1j^
\Delta y_1\hat j
Δy2j^
\Delta y_2\hat j
Δy3j^
\Delta y_3 \hat j
Δy4j^
\Delta y_4\hat j
Δyj^
\Delta y \hat j
Para obter uma melhor aproximação, podemos dividir a superfície em mais superfícies inclinadas menores, mas cada vez que vemos que o trabalho total realizado no bloco é igual a mgh.
W=P⋅ΔrF
W=\vec P\cdot \Delta \vec r_F
W=Pj^⋅(Δxi^+Δyj^)
W=P \hat j \cdot (\Delta x\hat i+ \Delta y \hat j)
W=Pj^⋅Δyj^
W=P \hat j \cdot \Delta y \hat j
W=PΔy
W=P \Delta y
O trabalho de forças constantes
As forças normal e de atrito estático são forças que provocam deformações elásticas.
As deformações elásticas são reversíveis. O piso não ficará arranhado ao remover a força aplicada antes do bloco iniciar o movimento.
Fonte: Chabay & Sherwood
A força de atrito cinético são forças que provocam deformações permanentes. Está relacionada à energia térmica.
As deformações permanentes são irreversíveis. O piso e o bloco ficarão arranhados por mais cuidadoso que seja o empurrão.
Fonte: Chabay & Sherwood
A força do atrito cinético não é uma força elástica e, portanto, causa dissipação de energia. A força do atrito estático é uma força elástica e, portanto, não causa dissipação de energia.
O trabalho das forças de atrito
O trabalho das forças dissipativas é negativo e leva ao aumento da energia térmica:
ΔEter=−Wintnc
\Delta E_{ter}=
-W^{nc}_{int}
onde a variação da energia térmica é:
O trabalho da força de atrito é não conservativo porque diminui a energia cinética do sistema:
Wintnc
W^{nc}_{int}
Δr=defetivo
\Delta r = d_{efetivo}
Fat,c
\vec F_{at,c}
Fap
\vec F_{ap}
ΔEter=−Fat,c⋅Δref
\Delta E_{ter}=-\vec F_{at,c}\cdot \Delta \vec r_{ef}
ΔEter=+Fat,cd
\Delta E_{ter}=+F_{at,c} d
Wintnc=−Fat.cd
W^{nc}_{int} =-F_{at.c}d
Sendo uma variação positiva e, portanto aumenta.
ΔK=−Fat.cd
\Delta K =-F_{at.c}d
⇒
\Rightarrow
O trabalho das forças de atrito
A força de atrito estático realiza trabalho em um sistema?
pessoa
pacote
Fspn
\vec F^n_{sp}
Fspe
\vec F^e_{sp}
FTpG
\vec F^G_{Tp}
y
y
x
x
O atrito estático não envolve nenhum movimento das duas superfícies em relação uma à outra
O trabalho requer um deslocamento do ponto de aplicação da força diferente de zero
W=FRΔrF
W=F_R\Delta r_F
Nos dois casos, o sistema ganha energia cinética. De onde vem essa energia e qual é o papel do atrito estático em cada caso?
Fspc
\vec F^c_{sp}
O trabalho das forças de atrito
A força de atrito estático realiza trabalho em um sistema?
pessoa
pacote
Fspn
\vec F^n_{sp}
Fspe
\vec F^e_{sp}
FTpG
\vec F^G_{Tp}
y
y
x
x
Fspc
\vec F^c_{sp}
Há somente a componente horizontal da aceleração:
FRp=mpap⇒ap=mpFspe
F_{Rp} = m_p a_p\Rightarrow a_p = \frac{F^e_{sp}}{m_p}
O deslocamento da força de atrito estático não é nulo para o pacote: ΔrF=d. Daí
W=FRpd
W=F_{Rp}d
O deslocamento da força de atrito estático é nulo para a pessoa: ΔrF=0. Daí
W=FRpΔrF≡0
W=F_{Rp}\Delta r_F\equiv 0
ΔrF=vΔt
\Delta r_F = v\Delta t
0
0
Δrf
\Delta \vec r_f
v=0
v=0
W=(mpa)pd
W=(m_pa)_pd
O trabalho das forças de atrito
Exemplo 3 (A9.P12-03 )
Um bloco de madeira de 0,50 kg que viaja inicialmente a 1,0 m/s desliza 0,50 m em um piso horizontal antes de atingir o repouso. Qual é a taxa média na qual a energia térmica é gerada?
Exemplo 4 (A9.P12-04 )
Um carro requer 300 kJ de energia para superar a resistência do ar e manter uma velocidade constante de 20 m/s por uma distância de 1,0 km. Qual é a força da resistência do ar exercida no carro?
Exercício 5 (A9.P12-09)
Uma partícula de 3,0 kg, que se move ao longo do eixo x, tem uma velocidade de 2,0 m/s quando passa pela origem. Ela está sujeita a uma força única, Fx, que varia com a posição como mostrada na Figura.
(a) Qual é a energia cinética da partícula quando ela passa pela origem?
(b) Qual é o trabalho realizado pela força, enquanto a partícula se move de x = 0,0 m até x = 4,0 m?
(c) Qual é a rapidez da partícula quando ela está em x = 4,0 m?
Exercício 6 (A9.P12-08)
Uma partícula, de massa m, está inicialmente posicionada no eixo x positivo, em x=xi, e sujeita a uma força repulsiva Fx, exercida pela partícula b. A posição da partícula b está fixa, na origem. A força Fx é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre as partículas. Isto é, Fx=A/x2, onde A é uma constante positiva. A partícula a é largada do repouso e fica livre para se mover sob a influência da força. Encontre uma expressão para o trabalho realizado pela força sobre a partícula, como função de x. Encontre a energia cinética e a rapidez de a no limite em que x tende a infinito.
Exercício 7 (A10.P2-09)
Uma caixa de massa M está em repouso na base de um plano inclinado sem atrito. A caixa está presa a um fio que a puxa com uma tensão constante T.
(a) Determine o trabalho realizado pela tensão T, enquanto a caixa é puxada por uma distância x ao longo do plano.
(b) Determine a rapidez da caixa como função de x.
(c) Determine a potência desenvolvida pela tensão do fio como função de x.
Exercício 8 (A10.P2-11)
Um bloco de 6,0 kg escorrega 1,5 m abaixo sobre um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo de 60° com a horizontal.
(a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o bloco e encontre o trabalho realizado por cada força, enquanto o bloco escorrega 1,5 m (medidos ao longo do plano inclinado).
(b) Qual é o trabalho total realizado sobre o bloco?
(c) Qual é a rapidez do bloco após ter escorregado 1,5 m, se ele parte do repouso?
Exemplo 9
Abaixo, é mostrado um bloco de 30,0 kg em repouso sobre uma rampa sem atrito inclinada a 60° em relação à horizontal. O bloco é sustentado por uma mola esticada 5,0 cm. Qual é a constante de força da mola?
Fonte: OpenStax
Exercício 10
Por um curto período de tempo, o guindaste na figura levanta a viga de 2,50 Mg com uma força de F = (28 + 3y) kN. Determine a rapidez da viga quando ela subiu y = 3 m. Além disso, quanto tempo leva para atingir essa altura a partir do repouso?
Aula 11 Fundamentos de Mecânica Prof. Ronai Lisbôa UFRN - ECT - BCT
FM - Aula 11
By Ronai Lisboa
FM - Aula 11
Energia. Trabalho da forças constantes e variáveis.
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