Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 12
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Aplicar o teorema trabalho-energia cinética quando a força é variável.
Força variável (elástica).
Forças constantes (peso, normal, tração)
Bibliografia.
Tipler - Cap. 6
Seções: 6.2 e 6.4
- Refaça os exercícios resolvidos.
Força distribuída (atrito).
O mínimo obrigatório é estudar a referência e a lista de exercícios (veja SIGAA)
Para usar I.A. você deve saber ou ter ideia do que está fazendo. Se não é só informação fugaz.
Força elástica
Crédito: https://youtu.be/JhJzdtzl6KYCrédito: https://youtu.be/0EEHuh5q2p8Simulação
Mundo real
É uma força variável porque depende da deformação.
Força elástica
A força elástica é proporcional à deformação desde que a deformação seja "pequena".
A força elástica é obtida a partir da experimentação.
O gráfico mostra o componente \(x\) do deslocamento da extremidade livre da mola de sua posição relaxada em \(x_0\) versus a força aplicada à mola.
regime elástico
regime plástico
ponto de ruptura
k=\frac{\Delta F}{\Delta x}
k=\frac{25\text{ N}}{0,01\text{m}}
k=2,5\times 10^3\text{ N/m}
Na verdade é uma bola bastante rígida!
Intervalo elástico
\(x-x_0\) (cm)
\(F_a\) (N)
A força elástica (uma força de contato)
No regime elástico
k=\frac{\Delta F}{\Delta x}
A força elástica é proporcional à deformação desde que a deformação seja "pequena".
F_{\text{elástica}} =- k(x-x_0)
Mola macia
Mola dura
Poste de aço
\vec F^c_{e}
\vec F^c_{e}
\vec F^c_{e}
\vec F^g_{Tt}
Para uma mesma força aplicada (peso) a deformação é maior para a mola macia
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Podemos modelar qualquer superfície como um conjunto de molas.
Quanto mais rígida a superfície maior o valor da constante elástica e menor será a deformação para uma mesma força aplicada.
F^c_{e}=-k\Delta x
k_{\text{macia}} < k_{\text{dura}} < k_{\text{aço}}
\Delta x_{\text{macia}} > \Delta x_{\text{dura}} > \Delta x_{\text{aço}}
A força elástica (uma força de contato)
\vec P
\vec P
\vec P
\Delta x=-\frac{mg}{k}
F^c_{e}-P=0
-k\Delta x = mg
Exemplo 1
Um livro de inércia de 1,2 kg é colocado no topo da mola na figura. Qual é o deslocamento da extremidade superior da mola da posição relaxada quando o livro está parado em cima da mola de constante de mola \(k = 2,5 \times 10^3\) N/m?
\vec F^c_{ml}=\vec F_e
\vec F^g_{Tl}=\vec P
\cdot \quad\vec a =0
+x
x_0
x
\Delta x
Fonte: Tipler & Mosca
O trabalho de forças variáveis (força elástica)
O trabalho feito por uma força é a integral da força em relação ao deslocamento ao longo do caminho do deslocamento:
W_{AB}=\int_A^B \vec F\cdot d\vec r
O trabalho é calculado via uma integral de caminho (ou integral de linha).
Fonte: OpenStaxPara uma força constante:
W_{AB}=\vec F\cdot \Delta \vec r
Para uma força variável, a função \(\vec F \) deve ser conhecida como função da posição.
caminho
O trabalho de forças variáveis (força elástica)
A força elástica varia com a compressão ou alongamento do comprimento de um mola.
O trabalho da força elástica vem da integral de caminho. Em uma dimensão:
F_e=-kx
W_e=\int_{x_i}^{x_f}F_x(x)dx
\Rightarrow
W_e=-(\frac{1}{2}kx_f^2-\frac{1}{2}kx_i^2)
Aplicando o teorema trabalho-energia cinética:
Vemos que é possível alterar a energia cinética da massa por meio do trabalho da força elástica.
\Delta K_{bloco}=W_e
F_x<0
F_x>0
F_x=0
Fonte: TiplerO trabalho da força elástica depende apenas das posições inicial e final ao longo do caminho.
No gráfico, em que a força é função da deformação, a área é numericamente igual ao trabalho.
W_{n} = F(x_n)\Delta x
Aplicamos a equação do trabalho e somamos para todos os \(n\) retângulos sob a curva:
W \approx \sum_n W_{n}
W = \sum _nF(x_n)\Delta x
\Rightarrow
\Rightarrow
Se permitirmos que o \(\Delta x\) se aproxime de zero (e o número de pequenos deslocamentos se aproximam do infinito \(n\rightarrow \infty\)),
W = \lim_{\Delta x_F \rightarrow 0} \sum _nF(x_n)\Delta x
\Rightarrow
W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx \equiv \text{Área \,sob\, a\, curva}
O trabalho de forças variáveis (força elástica)
Fonte: Tipler
Exemplo 2
Um bloco de 4,0 kg está sobre uma mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal com k 400 N/m. A mola é inicialmente comprimida de 5,0 cm. Encontre (a) o trabalho realizado sobre o bloco pela mola enquanto o bloco se move de \(x_1 =-5,0\) cm até sua posição de equilíbrio \(x_2 = 0\) cm, e (b) a rapidez do bloco em \(x_2\).
Fonte: TiplerExemplo 3
Um objeto move-se ao longo de uma trajetória parabólica de trajetória \(y = 0,5 x^2\), onde \(x\) e \(y\) estão em metros. A origem está em \((x,y)=(0,0)\) m. O ponto final está em \(x,y)=(2,2) \) m. O objeto move-se sob ação de uma força \(\vec F(x,y) = 5,0 y \hat i + 10 x \hat j\), onde a força está em newtons. Calcule o trabalho realizado pela força.
Fonte: OpenStax
Exercício 4 (A9.P12-08)
Uma partícula, de massa m, está inicialmente posicionada no eixo x positivo, em \(x = x_i\), e sujeita a uma força repulsiva \(F_x\), exercida pela partícula b. A posição da partícula b está fixa, na origem. A força \(F_x\) é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre as partículas. Isto é, \(F_x= A/x^2\), onde \(A\) é uma constante positiva. A partícula a é largada do repouso e fica livre para se mover sob a influência da força. Encontre uma expressão para o trabalho realizado pela força sobre a partícula, como função de x. Encontre a energia cinética e a rapidez de a no limite em que x tende a infinito.
O trabalho pode ser definido a partir de um produto escalar entre dois vetores: \(\vec A\cdot\vec B = AB\text{ cos }\phi\)
O trabalho realizado pela força peso é:
W=\vec P\cdot \Delta \vec r
W=P\Delta x \text{ cos }\phi
W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{cos }\phi
O trabalho da força peso é:
|\Delta r|=\Delta x
pois
W=mgh
x
y
\vec a
\theta
\vec P
\Delta \vec r
\phi
O problema se resumiu ao produto usual da força peso (mg) pelo deslocamento na vertical (h)!
W=mg\left(
\frac{h}{\text{sen }\theta}
\right)\text{sen }\theta
O trabalho de forças constantes
pois
\phi = \frac{\pi}{2}-\theta
pois
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\text{sen}(\theta)
W=mg(y_f-y_i)
\Rightarrow
h
\Delta x
\theta
No plano inclinado, as componentes da força de contato (\(N\)) e força peso (\(P_y\)) são perpendiculares ao deslocamento da força. Assim, não realizam trabalho.
W_{N}\equiv 0
W_{P_y}\equiv 0
e
O trabalho realizado no bloco realizado pelo componente da força da gravidade ao longo do deslocamento é:
W_{P_x}=P_x\Delta x
W_{P_x}= (+mg\text{sen}\,\theta)
\left(
\frac{+h}{\text{sen}\,\theta}
\right)=mgh
Isso faz sentido, porque é o componente x da força da gravidade que causa o deslocamento do bloco e faz todo o trabalho nele. As forças na direção y não causam deslocamento e, portanto, não realizam trabalho sobre o bloco.
x
y
\Delta \vec x
\theta
\vec P
\vec N
\vec P_y
\vec P_x
O trabalho de forças constantes
W_{P_y}=P_y\Delta x\cos(90^o)
W_{P_y}=0
Exemplo 5
Você move um livro de biblioteca grande, pesando 20 N, cerca 1 m verticalmente para baixo de uma prateleira, e o carrega 3 m horizontalmente até uma mesa.
(a) Quanto trabalho a gravidade faz no livro?
(b) Quando terminar de ler o livro, você move o livro em linha reta de volta ao seu lugar original na prateleira. Qual foi o trabalho total feito contra a gravidade, afastando o livro de sua posição original na prateleira e voltando?
Fonte: OpenStax
Exemplo 6
Você e uma amiga estão em uma estação de esqui que tem duas pistas, a pista para iniciantes e a pista para veteranos. As duas pistas começam no topo da colina e terminam na base da colina. Seja h a descida vertical para as duas pistas. A pista para iniciantes é mais longa e menos íngreme do que a pista para veteranos. Você e sua amiga, que é muito melhor esquiadora do que você, estão testando esquis experimentais sem atrito. Para tornar as coisas interessantes, você propõe a ela uma aposta: que se ela tomar a pista de veteranos e você tomar a pista de iniciantes, a rapidez dela ao final não será maior do que a sua. Não se dando conta de que você é um estudante de física, ela aceita a aposta. As condições são que vocês dois partam do repouso no topo da colina, deixando que os esquis deslizem sem outra interferência. Quem vence a aposta?
Fonte: TiplerAs forças normal e de atrito estático são forças que provocam deformações elásticas.
As deformações elásticas são reversíveis. O piso não ficará arranhado ao remover a força aplicada antes do bloco iniciar o movimento. A força de atrito estático provoca deformações elásticas.
Fonte: Chabay & Sherwood
A força de atrito cinético são forças que provocam deformações permanentes. Está relacionada à energia térmica.
As deformações permanentes são irreversíveis. O piso e o bloco ficarão arranhados por mais cuidadoso que seja o empurrão.
Fonte: Chabay & Sherwood
A força do atrito cinético não é uma força elástica e, portanto, causa dissipação de energia. A força do atrito estático é uma força elástica e, portanto, não causa dissipação de energia.
O trabalho das forças de atrito
O trabalho das forças dissipativas é negativo e leva ao aumento da energia térmica:
\Delta E_{ter}=
-W^{nc}_{int}
onde a variação da energia térmica é:
A partir do teorema trabalho-energia cinética, vemos que trabalho da força de atrito cinético diminui sempre vai diminuir a energia cinética do sistema:
W^{nc}_{int}
\Delta r = d_{efetivo}
\vec F_{at,c}
\vec F_{ap}
\Delta E_{ter}=-\vec F_{at,c}\cdot \Delta \vec r
\Delta E_{ter}=-F_{at,c} d\cos(180^o)=F_{at,c}d>0
Sendo uma variação positiva e, portanto aumenta.
\Delta E_{ter} = -\Delta K < 0
O trabalho das forças de atrito cinético
pessoa
pacote
\vec N
\vec F_{at,est}
\vec P
y
x
\vec F^c
Há somente a componente horizontal da aceleração (pessoa ou pacote)
F_{Rp} = m_p a_p\Rightarrow a_p = \frac{F_{at,est}}{m_p}
O deslocamento da força de atrito estático não é nulo para o pacote: \(\Delta r = d\). Daí
W=F_{Rp}d
O deslocamento da força de atrito estático é nulo para a pessoa: \(\Delta r_F = 0\). Daí,
W=F_{Rp}\Delta r\equiv 0
\Delta r = v\Delta t
0
\Delta \vec r_f
v=0
W=(m_pa)_pd
O trabalho das forças de atrito estático
O atrito estático não envolve nenhum movimento das duas superfícies de uma em relação a outra.
Exemplo 7
Você decide mover seu sofá para uma nova posição no chão horizontal da sua sala de estar. A força normal no sofá é de 1 kN e o coeficiente de atrito é de 0,6. (a) Primeiro você empurra o sofá 3 m paralelo a uma parede e depois 1 m perpendicular à parede (A a B na Figura). Quanto trabalho é feito pela força de atrito? (B) Você não gosta da nova posição, então você move o sofá de volta à sua posição original (B para A na Figura 7.4). Qual foi o trabalho total feito contra o atrito movendo o sofá para longe de sua posição original e para trás novamente?
Fonte: OpenStaxExemplo 8
Um estagiário do exército de 80 kg faz flexões em uma barra horizontal (Figura). O estagiário leva 0,8 segundos para elevar o corpo de uma posição mais baixa para onde o queixo está acima da barra. Quanta força os músculos do estagiário fornecem movendo seu corpo da posição inferior para onde o queixo está acima da barra? (Dica: Faça estimativas razoáveis para quaisquer quantidades necessárias.)
Fonte: OpenStax
Exemplo 9 (A9.P1-04 )
Um carro requer 300 kJ de energia para superar a resistência do ar e manter uma velocidade constante de 20 m/s por uma distância de 1,0 km. Qual é a força da resistência do ar exercida no carro?
Exemplo 10
A pista sem atrito para um carro de brinquedo inclui um loop-the-loop de raio R. Quão alto, medido a partir da parte inferior do loop, o carro deve ser colocado para começar do repouso na seção de aproximação da pista e contornar todo o loop?
Fonte: OpenStax
Exercício 11
Por um curto período de tempo, o guindaste na figura levanta a viga de 2,50 Mg com uma força de F = (28 + 3y) kN. Determine a rapidez da viga quando ela subiu y = 3 m. Além disso, quanto tempo leva para atingir essa altura a partir do repouso?
Fonte: Hibeller
FM - Aula 12
By Ronai Lisboa
FM - Aula 12
Energia. Trabalho da forças constantes (peso, tensão, normal), variáveis (elástica) e distribuídas (atrito).
