Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 15
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Aula 15
Conceituar a massa inercial.
Obter a expressão para o momento linear.
Enunciar a lei da conservação do momento linear.
Aplicar a lei da conservação do momento linear.
Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 8. Seção 8.1
Verifique no SIGAA questões recomendadas
Massa inercial
A partir da colisão entre dos carros padrões é possível construir o gráfico da posição versus o tempo.
Aqui temos uma simulação (idealizada) do que ocorre nos laboratórios de física.
Massa inercial
Gráficos da velocidade versus tempo
Massa inercial
As curvas x(t) para cada carro podem ser colocados em um mesmo gráfico.
A região sombreada mostra o intervalo de tempo durante o qual a colisão ocorreu. Aproximadamente por 20 ms.
Nessa região a velocidade de cada carro deixa de ser constante.
v2
\vec v_2
v1=0
\vec v_1 = \vec 0
v1
\vec v_1
v2
\vec v_2
v2=0
\vec v_2 = \vec 0
v1
\vec v_1
Quais as velocidades de cada carro antes e depois da colisão?
Lembre-se que num gráfico x por t a inclinação das curvas mostra a velocidade!
Antes
Colisão
Depois
Exemplo 1 (A4.P1-02)
Informe as velocidades antes e depois da interação.
Calcule as variações das velocidades para os carrinhos 1 e 2.
1,004
1,004
0,980
0,980
0,960
0,960
0,936
0,936
0,972
0,972
0,972
0,972
v1,i=0,60m/s
v_{1,i} = 0,60\text{m/s}
v2,i=0m/s
v_{2,i} = 0\text{m/s}
v1,f=0m/s
v_{1,f} = 0\text{m/s}
v2,f=0,60m/s
v_{2,f} = 0,60\text{m/s}
Massa inercial
Para dois carros idênticos (padrões) há uma troca de velocidades devido a colisão.
v2=0
\vec v_2 = \vec 0
v1
\vec v_1
v1′
\vec v'_1
v2′
\vec v'_2
v2
\vec v_2
v1=0
\vec v_1 = \vec 0
v1=+0,60 m/s
v_1=+0,60\text{ m/s}
v2=0 m/s
v_2=0\text{ m/s}
v2=+0,60 m/s
v_2=+0,60\text{ m/s}
v1=0 m/s
v_1=0\text{ m/s}
ANTES
DEPOIS
Massa inercial
v1=+0,62 m/s
v_1=+0,62\text{ m/s}
v2=+0,14 m/s
v_2=+0,14\text{ m/s}
v2=+0,62 m/s
v_2=+0,62\text{ m/s}
v1=+0,14 m/s
v_1=+0,14\text{ m/s}
Não importa se um dos carros está em movimento ou em repouso. Há troca de velocidades devido à colisão entre eles.
v1
\vec v_1
v2
\vec v_2
v1
\vec v_1
v2
\vec v_2
ANTES
DEPOIS
Questão 2 (A4.P1-03)
Qual é a variação na velocidade do:
(a) carrinho 1 ?
(b) do carrinho 2 ?
(c) O que você nota sobre suas duas respostas?
v1,i=+0,62 m/s
v_{1,i}=+0,62\text{ m/s}
v1,f=+0,14 m/s
v_{1,f}=+0,14\text{ m/s}
Carro padrão 1:
→
\rightarrow
Carro padrão 2:
v2,i=+0,14 m/s
v_{2,i}=+0,14\text{ m/s}
v2,f=+0,62 m/s
v_{2,f}=+0,62\text{ m/s}
→
\rightarrow
Δv1=−0,48m/s
\Delta v_1 = -0,48 \text{m/s}
Δv2=+0,48m/s
\Delta v_2 = +0,48 \text{m/s}
Você pode repetir esse experimento com muitas velocidades iniciais diferentes, com os carros padrões se movendo no mesmo sentido ou em sentidos opostos, e sempre observará que a colisão intercambia as velocidades dos carros.
Se a velocidade de um carro padrão diminui em uma certa quantidade como resultado da colisão, a velocidade do outro carro padrão aumenta exatamente a mesma quantidade se as massas inerciais são iguais.
Massa inercial
A quantidade de material que compõe cada carrinho afeta o movimento?
v1,i=+0,62 m/s
v_{1,i}=+0,62\text{ m/s}
v1,f=+0,14 m/s
v_{1,f}=+0,14\text{ m/s}
→
\rightarrow
v2,i=+0,14 m/s
v_{2,i}=+0,14\text{ m/s}
v2,f=+0,62 m/s
v_{2,f}=+0,62\text{ m/s}
→
\rightarrow
ANTES
DEPOIS
VARIAÇÃO
Δv1=−0,48 m/s
\Delta v_1=-0,48\text{ m/s}
Δv2=+0,48 m/s
\Delta v_2=+0,48\text{ m/s}
→
\rightarrow
→
\rightarrow
Massa inercial
Para dois carros padrões idênticos (massas inerciais iguais) observamos que:
Δv1=−Δv2
\Delta \vec v_1 = -\Delta \vec v_2
Δv1=−0,60 m/s
\Delta v_1=-0,60\text{ m/s}
Δv2=+0,60 m/s
\Delta v_2=+0,60\text{ m/s}
Caso 1
Caso 2
Δv1=−0,48 m/s
\Delta v_1=-0,48\text{ m/s}
Δv2=+0,48 m/s
\Delta v_2=+0,48\text{ m/s}
∣Δv1∣∣Δv2∣=1
\frac{|\Delta \vec v_2|}{|\Delta \vec v_1|}=1
Δv1
\Delta \vec v_1
Δv2
\Delta \vec v_2
Δv1
\Delta \vec v_1
Δv2
\Delta \vec v_2
Prendemos dois carros padrões juntos para que o tamanho deste conjunto seja o dobro (d) do tamanho do outro carro padrão (p). Agora, as massas inerciais não são iguais.
Massa inercial
INICIAL
FINAL
vp,i=+0,60 m/s
v_{p,i} = +0,60\text{ m/s}
vd,i=0 m/s
v_{d,i} = 0\text{ m/s}
vp,f=−0,20 m/s
v_{p,f} = -0,20\text{ m/s}
vd,f=+0,40 m/s
v_{d,f} = +0,40\text{ m/s}
FINAL
INICIAL
vp
\vec v_p
vd=0
\vec v_d = \vec 0
vp
\vec v_p
vd
\vec v_d
Δvp=−0,80 m/s
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
final - inicial
Δvd=+0,40 m/s
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
final - inicial
O que significa esse sinal negativo?
O que significa esse sinal negativo?
Não importa como os carros se movam (ou não se movam) inicialmente, a variação de velocidade do carro duplo é diferente da variação da velocidade do carro padrão.
Massa inercial
vp
\vec v_p
vd=0
\vec v_d = \vec 0
vp
\vec v_p
vd
\vec v_d
∣Δvp∣∣Δvd∣=21
\frac{|\Delta v_d|}{|\Delta v_p|}=\frac{1}{2}
A variação de velocidade do carro padrão é negativa.
A variação da velocidade do carro duplo é positiva.
Δvp=−0,80 m/s
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
Δvd=+0,40 m/s
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
Para o carro duplo a magnitude da variação da velocidade é a metade da magnitude da variação da velocidade do carro padrão.
Δvp=Δvd
\Delta \vec v_p \neq \Delta \vec v_d
Δvp
\Delta \vec v_p
Δvd
\Delta \vec v_d
∣Δvd∣=21∣Δvp∣
{|\Delta v_d|}=\frac{1}{2}{|\Delta v_p|}
O carro com maior massa inercial tem uma menor variação da velocidade.
Cortamos um carro padrão ao meio para que o tamanho desta unidade seja a metade (m) do tamanho do outro carro padrão (p). Novamente, as massas inerciais são diferentes.
Massa inercial
INICIAL
FINAL
vp=+0,43 m/s
v_p = +0,43\text{ m/s}
vm=0 m/s
v_m = 0\text{ m/s}
vp=+0,14 m/s
v_p =+ 0,14\text{ m/s}
vm=+0,58 m/s
v_m = +0,58\text{ m/s}
FINAL
INICIAL
Δvp=−0,29 m/s
\Delta v_p = -0,29\text{ m/s}
final - inicial
Δvm=+0,58 m/s
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
final - inicial
vp
\vec v_p
vm
\vec v_m
vp
\vec v_p
vm=0
\vec v_m = \vec 0
Não importa como os carros se movam (ou não se movam) inicialmente, a variação da velocidade do meio-carro é diferente da variação da velocidade do carro padrão.
Massa inercial
∣Δvp∣∣Δvm∣=2
\frac{|\Delta v_m|}{|\Delta v_p|}=2
A variação da velocidade do carro padrão é negativa.
A variação de velocidade do meio-carro é positiva.
Δvp=−0,28 m/s
\Delta v_p = -0,28\text{ m/s}
Δvm=+0,58 m/s
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
Para o meio-carro a magnitude da variação da velocidade é o dobro da magnitude da variação da velocidade do carro padrão.
vp
\vec v_p
vm
\vec v_m
vp
\vec v_p
vm=0
\vec v_m = \vec 0
Δvp=Δvm
\Delta \vec v_p \neq \Delta \vec v_m
Δvp
\Delta \vec v_p
Δvm
\Delta \vec v_m
O carro com menor massa inercial tem uma maior variação da velocidade.
∣Δvm∣=2∣Δvp∣
{|\Delta v_m|}=2{|\Delta v_p|}
Questão 3 (A4.P1-04)
O componente x da velocidade final do carrinho padrão na figura é positivo.
Você pode torná-la negativa ajustando a velocidade inicial do carro padrão e mantendo o -carrinho metade inicialmente em repouso?
vp
\vec v_p
vm
\vec v_m
vp
\vec v_p
vm=0
\vec v_m = \vec 0
Massa inercial
Para dois carros que não são idênticos observamos que:
Δv1=Δv2
\Delta \vec v_1 \neq\Delta \vec v_2
Caso 3
Caso 4
∣Δvp∣∣Δvd∣=21
\frac{|\Delta \vec v_d|}{|\Delta \vec v_p|}=\frac{1}{2}
Δvp
\Delta \vec v_p
Δvd
\Delta \vec v_d
Δvp
\Delta \vec v_p
Δvm
\Delta \vec v_m
Δvp=−0,80 m/s
\Delta v_p = -0,80\text{ m/s}
Δvd=+0,40 m/s
\Delta v_d = +0,40\text{ m/s}
Δvp=−0,28 m/s
\Delta v_p = -0,28\text{ m/s}
Δvm=+0,58 m/s
\Delta v_m = +0,58\text{ m/s}
∣Δvp∣∣Δvm∣=2
\frac{|\Delta \vec v_m|}{|\Delta \vec v_p|}=2
⇒
\Rightarrow
⇐
\Leftarrow
A massa inercial parece ditar como serão as variações das velocidades antes e depois da colisão.
A razão inversa das velocidades dos dois carros é igual à razão de suas massas inerciais.
Massa inercial
| Experimento | Carro 1 | Carro 2 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 e 2 | padrão | padrão | 1,0 | 1,0 |
| 3 | padrão | dobro | 2,0 | 2,0 |
| 4 | padrão | metade | 0,5 | 0,5 |
Massa inercial (m)
Razão das inércias
Razão inversa da variação das velocidades
m2/m1
m_2/m_1
∣Δv1∣/∣Δv2∣
|\Delta v_1|/|\Delta v_2|
Verificamos "experimentalmente" que a massa inércia é uma medida da tendência de um objeto a resistir a qualquer variação em sua velocidade.
m1m2=∣Δv2∣∣Δv1∣
\frac{m_2}{m_1} = \frac{|\Delta v_1|}{|\Delta v_2|}
Massa inercial
Para qualquer colisão que fizemos é válida a seguinte relação.
mpmo≡−ΔvoΔvp
\frac{m_o}{m_p}\equiv -\frac{\Delta v_{p}}{\Delta v_{o}}
A razão das massas inerciais de dois objetos em colisão é igual ao inverso da razão da magnitude de suas variações de velocidade.
O sinal negativo existe porque observamos que enquanto a variação da velocidade de um corpo é positiva a do outro é negativa. Isso significa que a massa inercial é sempre uma quantidade positiva.
A massa inercial de qualquer objeto pode ser determinada medindo-se as variações das velocidades e comparando à massa inercial padrão:
mo≡−ΔvoΔvpmp
m_o\equiv -\frac{\Delta v_{p}}{\Delta v_{o}}{m_p}
Questão 4 (A4.P1-06)
Uma pequena pedra é presa ao topo de um carrinho de inércia padrão de 1 kg para formar uma combinação de inércia md desconhecida. Um segundo carrinho padrão é então lançado com uma velocidade inicial dada por v1,i = +0,46 m/s em direção à combinação que está inicialmente em repouso. Após a colisão, o componente x da velocidade do carrinho com a pedra é v2,f = +0,38 m/s e o do carrinho padrão é v1,f = -0,08 m/ s. Qual é a massa inercial da pedra?
v1,i
\vec v_{1,i}
v2,i=0
\vec v_{2,i}=\vec 0
v1,f
\vec v_{1,f}
v2,f
\vec v_{2,f}
Δv1
\Delta \vec v_1
Δv2
\Delta \vec v_2
Definição do momento linear
A partir do conceito de massa inercial na interação de dois objetos e da variação da velocidade:
obtemos outra quantidade física. Vamos reescrever a equação acima,
moΔvo+mpΔvp=0
m_o\Delta v_{o}+m_p\Delta v_{p}=0
mo(vo,f−vo,i)+mp(vp,f−vp,i)=0
m_o(v_{o,f}-v_{o,i})+m_p(v_{p,f}-v_{p,i})=0
(movo,f−movo,i)+(mpvp,f−mpvp,i)=0
(m_ov_{o,f}-m_ov_{o,i})+
(m_pv_{p,f}-m_pv_{p,i})=0
mpmo≡−ΔvoΔvp
\frac{m_o}{m_p}\equiv -\frac{\Delta v_{p}}{\Delta v_{o}}
O produto da massa inercial (m) e a velocidade (v) de um objeto é chamado de momento linear (p):
p≡mv
\vec p \equiv m \vec v
Como a massa inercial é um escalar e a velocidade é um vetor, o momento linear é um vetor cuja unidade no Sistema Internacional é:
kgsm≡N.s
\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}}
\equiv
\text{N}.\text{s}
O momento linear
é uma medida quantitativa da matéria em movimento: depende da quantidade de matéria em movimento e da rapidez com essa matéria está se movendo.
p≡mv
\vec p \equiv m \vec v
A partir da definição do momento linear:
(movo,f−movo,i)+(mpvp,f−mpvp,i)=0
(m_ov_{o,f}-m_ov_{o,i})+
(m_pv_{p,f}-m_pv_{p,i})=0
(po,f−po,i)+(pp,f−pp,i)=0
(p_{o,f}-
p_{o,i})+
(p_{p,f}-
p_{p,i})=0
Δpo+Δpp=0
\Delta p_{o}+\Delta p_{p}=0
A variação no componente x do momento linear para um objeto é sempre o negativo da variação para o outro. Isto é, a soma das variações dos momentos lineares de cada objeto é zero.
Δpo+Δpp=0
\Delta \vec p_{o}+\Delta \vec p_{p}=\vec 0
Definição do momento linear
Outra forma de verificar a lei da conservação do momento linear é considerar o sistema antes e depois da colisão.
A partir do resultado anterior:
(po,f−po,i)+(pp,f−pp,i)=0
(p_{o,f}-
p_{o,i})+
(p_{p,f}-
p_{p,i})=0
psis,i−psis,f=0
p_{sis,i} - p_{sis,f}=0
O momento linear final do sistema é sempre igual ao momento linear inicial do sistema. Isto é, o momento linear de um sistema isolado é conservado:
Δpo+Δpp=0
\Delta \vec p_{o}+\Delta \vec p_{p}=\vec 0
Definição do momento linear
(po,f+pp,f)−(po,i+pp,i)=0
(p_{o,f}+
p_{p,f})-
(p_{o,i}+
p_{p,i})=0
psis,i=psis,f
p_{sis,i} = p_{sis,f}
Δpsis=0
\Delta p_{sis} = 0
psis=p1+p2+⋯=const.
p_{sis}= p_1+p_2+\cdots =const.
Momento linear
A grandeza física que mede o movimento de uma dada massa inercial é o momento linear.
p=mv.
Superpetroleiros são os maiores navios já construídos. Eles podem ter massa de até 650.000 toneladas e transportar mais de dois milhões de barris (318 milhões de litros) de petróleo. Porém, suas dimensões grandes criam problema de ordem prática. A navegação de um navio desse tamanho é extremamente difícil. Por exemplo, quando o capitão dá a ordem de reverter os motores e parar, o navio pode continuar a se mover para frente por mais de 5 km, pois o sistema é quase isolado.
Fonte: Eric Mazur
Ciência & Tecnologia
Tevatron do laboratório Fermilab, próximo a Chicago, Illinois, EUA existe um detetor de partículas, o D-Zero
Fermilab
Tevatron
D-zero
O Tevatron está configurado de uma forma que os prótons e antiprótons se movem no anel de colisão em sentidos opostos com, para todos os fins práticos, vetores momento exatamente opostos.
Os engenheiros fizeram colidir prótons e antiprótons com energias totais de 1,96 TeV ( =3,1×10−7 J ).
Ciência & Tecnologia
Em uma ma colisão desse tipo o rastros das partículas são geradas por computadores a partir do sinal registrado pelo detector D-Zero.
Fermilab
O vetor momento inicial do próton aponta direto para a página, e o do antipróton aponta direto para fora da página.
Ciência & Tecnologia
Fermilab
O momento inicial total do sistema de prótons e antiprótons é zero.
Uma partícula que escapou sem ser detectada.
O momento final total do sistema não foi nulo (seta verde).
Os físicos do Fermilab conseguiram demonstrar que o momento perdido, no evento exibido, foi de uma partícula desconhecida – conhecida como quark top.
Ciência & Tecnologia
Por que desses estudos?
Ciência & Tecnologia
Supremacia energética!
Novas tecnologias!
Novos materiais!
Entre no site do SIRIUS e veja o que tem sido feito com feixes de elétrons.
Entre no site do CERNe veja o que tem sido feito com feixes de prótons.
Exemplo simples: pesquise sobre PET scan (matéria+antimatéria).
Qual a tecnologia e pessoas envolvidas no desenvolvimento;
Tudo começa com a base sólida e os fundamentos.
Questão 5 (A4.P1-06)
Uma bola de tênis de massa 58 g move-se com velocidade 50 m/s em direção a uma parede. Após ricochetear na parede, observa-se que a bola de tênis se move praticamente com mesma rapidez, no sentido oposto. (a) Desenhe um diagrama mostrando os momentos inicial e final da bola de tênis. (b) Qual a variação do momento da bola de tênis? (c) Compare a variação da magnitude do momento da bola de tênis com a magnitude da variação do momento da bola de tênis.
Questão 6 (A4.P1-07)
Uma patinadora cuja massa é 50 kg move-se com momento constante 400 kg·m/s. Em um instante particular de seu programa de patinação ela cruza a posição 3 m. Qual era sua posição um tempo 3 s mais cedo?
Questão 7 (A4.P1-08)
No instante t1 = 12 s, um carro de massa 1300 kg está localizado em x = 94 m e tem momento 4500 kg·m/s. O momento do carro não está variando. No instante t2 = 17 s, qual a posição do carro?
Questão 8 (A4.P1-09)
Compare a magnitude do momento de uma bala de 0,010 kg disparada de uma espingarda a 1300 m/s e uma bola de boliche de 6,5 kg se arrastando pelo chão a 4,0 m/s.
Questão 9 (A4.P1-10)
Um carrinho vermelho com uma velocidade inicial de 0,35 m/s colide com um carrinho padrão estacionário mred=1,0 kg. Após a colisão, o carrinho padrão se afasta a uma velocidade de 0,38 m/s.
(a) Qual é a variação do momento para cada carrinho?
(b) O experimento é repetido com um carrinho azul e agora a velocidade final do carrinho padrão é de 0,31 m/s. Qual é a variação do momento para cada carrinho nesta segunda colisão?
(c) Se nas colisões vred,f = +0,032 m/s e vblue,f= -0,039 m/s, quais são as inércias dos carros vermelho e azul?
Questão 10 (A4.P2-02)
(a) As variações de velocidade na figura são iguais em magnitude? Por que sim ou por que não? (b) Determine as variações de velocidade dos carrinhos e verifique se m1/m2=−∆v2/∆v1 nessa figura. (c) Determine o momento inicial e final dos dois carros. (d) Qual é o momento do sistema antes da colisão? (e) Após a colisão? (f) As variações de momento são iguais em magnitude e opostas em sentido? Por que sim ou por que não?
Dados:
m1=0,36 kg
m2=0,12 kg
Questão 11 (A4.P2-04)
Um próton (massa de 1 u) é lançado contra um núcleo-alvo com velocidade de 2,50 x 10^6 m/s. O próton ricocheteia com sua velocidade reduzida em 25%, enquanto o núcleo-alvo adquire uma velocidade de 3,12 x 10^5 m/s. Qual é a massa, em unidades de massa atômica, do núcleo-alvo?
Questão 12
Qual a variação do momento linear da bola?
Aqui temos uma simulação (idealizada) do que ocorre nos laboratórios de física.
Questão 13
O momento linear é conservado? Se sim ou se não calcule o erro relativo.
Aqui temos uma simulação (idealizada) do que ocorre nos laboratórios de física.
Questão 14
O momento linear é conservado? Se sim ou se não calcule o erro relativo.
Aqui temos uma simulação (idealizada) do que ocorre nos laboratórios de física.
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Momento linear. Definição de massa inercial. Definição do momento linear. Conservação do momento linear.
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