Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 16
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Definir a grandeza física impulso.
Estabelecer as ideias de contorno, a vizinhança e sistema (isolado).
Verificar que a variação do momento linear se dá por meio do impulso.
Reconhecer o impulso como a variação do momento linear.
Verificar o princípio da conservação do momento linear.
Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 8. Seção 8.1 (novamente) e 8.3 (até página 253)
Verifique no SIGAA questões recomendadas
A conservação do momento tem aplicações muito mais amplas. Governa tudo o que acontece no universo.
A conservação do momento linear é usada para resolver muitos problemas científicos e de engenharia:
- do cálculo das forças de impacto durante colisões de veículos;
- traajetórias dos satélites;
- lançamento de foguetes;
- capacidades de carga de membros artificiais.
Princípio fundamental da natureza
O momento linear é sempre conservado nos sistemas isolados.
A conservação do momento se aplica a átomos e partículas elementares na escala subatômica, as estrelas e galáxias na escala cósmica e a tudo o que está no meio.
Em muitas situações reais, o momento linear de um objeto em movimento está variando continuamente devido a sua interação com sua vizinhança, pois o sistema não é isolado.
Para predizer o movimento de um sistema nós devemos ser capazes de expressar matematicamente a relação entre interação e a variação do momento linear.
O Princípio do Impulso faz uma conexão quantitativa entre a interação e variação do momento linear.
Para construir esse conceito vamos precisar identificar o que é um contorno, vizinhança, sistema, interação e impulso.
Princípio fundamental da natureza
Qualquer objeto ou grupo de objetos que possamos separar com um <contorno>, em nossa imaginação, do ambiente circundante ou <vizinhança> é um <sistema>.
Na colisão entre dois carros em um trilho de baixo atrito, os dois carros juntos são o sistema. O trilho é a vizinhança.
Se estamos interessados no movimento do carro 1, ele pode ser o sistema. O carro 2 e o trilho são vizinhança.
Depois de decidir incluir um determinado objeto no sistema, ele deve permanecer assim durante toda a análise.
vizinhança
sistema
contorno
sistema
contorno
vizinhança
O resultado físico independe dessa escolha, mas as escolhas adequadas podem simplificar o cálculo!
Sistema isolado x não isolado
Qual a variação do momento linear do ciclista (sistema)?
Δpc=−700 kg.m/s
\Delta p_c = -700\text{ kg.m/s}
Δpc=−875 kg.m/s
\Delta p_c = -875\text{ kg.m/s}
O momento linear do ciclista variou.
O que provocou a variação do momento linear do ciclista?
Pedalando a v = 45 km/h. Então, colide no muro e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
Pedalando a v = 36 km/h. Então, colide no muro e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
Qual a variação do momento linear do ciclista (sistema)?
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
Δp=−750 kg.m/s
\Delta p = -750\text{ kg.m/s}
O momento linear do ciclista variou.
O que provocou a variação do momento linear do ciclista?
Pedalando a v = 36 km/h. Então, colide no muro e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
Pedalando a v = 36 km/h com uma mochila nas costas. Então, colide no muro e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=75 kg
m=75\text{ kg}
v
\vec v
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
O momento linear do ciclista variou.
O que provocou a variação do momento linear do ciclista?
colchão
Pedalando a v = 36 km/h. Então, colide no muro e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
Pedalando a v = 36 km/h. Então, colide no colchão e tem a rapidez reduzida para v = 0.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
Qual a variação do momento linear do ciclista (sistema)?
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
O momento linear é uma propriedade intrínseca dos objetos (do ciclista).
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
Então, porque é preferível colidir no colchão?
A variação do momento linear é a mesma.
m=70 kg
m=70\text{ kg}
m=70 kg
m=70\text{ kg}
v
\vec v
v
\vec v
v=36 km/h
v=36\text{ km/h}
v=36 km/h
v=36\text{ km/h}
Porque a variação do momento ocorre a uma taxa mais lenta.
Para uma mesma variação do momento linear quanto maior o tempo da interação, menor será força do impacto.
colchão
Portanto, para uma mesma inércia e velocidade tanto faz colidir no muro ou no colchão.
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
O que determina a magnitude da força do impacto não é o valor absoluto da variação do momento linear, mas a taxa na qual essa variação acontece.
Fext=ΔtΔpo
F_{ext} = \frac{\Delta p_o}{\Delta t}
Fext=ΔtΔpo
F_{ext} = \frac{\Delta p_o}{\Delta t}
=5 s−700 kg.m/s
= \frac{-700\text{ kg.m/s}}{5\text{ s}}
=−140s2 kg.m
= -140 \frac{\text{ kg.m}}{{\text{s}^2}}
Fext=ΔtΔpo
F_{ext} = \frac{\Delta p_o}{\Delta t}
=10 s−700 kg.m/s
= \frac{-700\text{ kg.m/s}}{10\text{ s}}
=−70s2 kg.m
= -70 \frac{\text{ kg.m}}{{\text{s}^2}}
A força exercida no cilclista é a taxa de variação no tempo no momento do ciclista.
Força do impacto
Variação do momento do objeto
Variação do tempo da interação = Taxa
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
Δt=5 s
\Delta t = 5\text{ s}
Δt=10 s
\Delta t = 10\text{ s}
Δp=−700 kg.m/s
\Delta p = -700\text{ kg.m/s}
colchão
Fext
\vec F_{ext}
Δp
\Delta \vec p
Fext
\vec F_{ext}
Δp
\Delta \vec p
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
Considerando o ciclista como o sistema e o muro como a vizinhança percebemos que a força que o muro exerce no ciclista varia o momento linear do ciclista.
Fext=ΔtΔpo
F_{ext} = \frac{\Delta p_o}{\Delta t}
Taxa de variação do momento linear e força resultante
Δpo=FextΔt
\Delta p_o = F_{ext} \Delta t
⇒
\Rightarrow
Δpo=0
\Delta p_o =0
po,f=po,i
p_{o,f} = p_{o,i}
Δpo=FextΔt
\Delta p_o =F_{ext}\Delta t
po,f=po,i+FextΔt
p_{o,f} = p_{o,i} +F_{ext}\Delta t
Sem interação
Com interação
Fonte: https://super.abril.com.br
Sistema não isolado
A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
x
x
y
y
pi
\vec p_i
pi
\vec p_i
pf
\vec p_f
A mudança do momento linear é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
x
x
y
y
pf
\vec p_f
pi
\vec p_i
pf
\vec p_f
Δp
\Delta \vec p
a segunda lei de Newton
Princípio fundamental da natureza
e
pf=pi+FextΔt
\vec p_f = \vec p_i +\vec F_{ext}\Delta t
Fext=ΔtΔp
\vec F_{ext}=\frac{\Delta \vec p}{\Delta t}
Fext=mΔtΔv
\vec F_{ext}=m\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
Fext=ma
\vec F_{ext}=m\vec a
Vamos definir a lei do impulso, I:
Δp=I
\Delta \vec p = \vec I
pf=pi+I
\vec p_f = \vec p_i+ \vec I
obemos a equação do impulso:
I=FRΔt
\vec I = \vec F_R\Delta t
No Sistema internacional a unidade do impulso (ou variação do momento linear) é redefinida para:
O impulso entregue a um objeto durante um intervalo de tempo Δt - é igual ao produto da soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto e a duração do intervalo de tempo.
⇒
\Rightarrow
1N.s≡1skg.m
1\text{N.s}\equiv 1\frac{\text{kg.m}}{\text{s}}
A partir da relação entre variação do momento linear, força e intevalo de tempo.
Δp=FRΔt
\Delta \vec p =\vec F_R\Delta t
pf=pi+FRΔt
\vec p_f = \vec p_i +\vec F_R\Delta t
⇒
\Rightarrow
como a variação no momento de um sistema ou objeto como o impulso entregue a ele.
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Para um sistema isolado, a conservação do momento linear significa:
Δps=0
\Delta \vec p_s = \vec 0
⇒ps,f=ps,i
\Rightarrow \vec p_{s,f} = \vec p_{s,i}
O impulso pode aumentar (entrada: I>0) ou diminuir (saída: I<0) a magnitude do momento do linear sistema. Para um sistema isolado, o impulso é zero (I=0).
Como o momento linear é um vetor, o impulso também é um vetor e tem unidade de N.s
Para um sistema não isolado, temos:
Δps=I
\Delta \vec p_s = \vec I
onde I é o impulso e significa uma transferência de momento da vizinhança para o sistema.
⇒ps,f=ps,i+I
\Rightarrow \vec p_{s,f} = \vec p_{s,i} + \vec I
I=FRΔt
\vec I = \vec F_R\Delta t
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Forças impulsivas são forças que atuam por um dado instante de tempo:
dp=FRdt
d \vec p =\vec F_{R} d t
Fonte: Tipler & Mosca
∫p1p2dp=∫t1t2FR(t)dt
\int_{p_1}^{p_2} d\vec p =\int_{t_1}^{t_2} \vec F_{R}(t)\,dt
Se a força não é nula, então a variação do momento linear num intervalo de tempo [t1,t2] é
I=Δp=∫FR(t)dt
\vec I = \Delta \vec p =\int \vec F_R(t)\,dt
Define-se como impulso da força resultante aplicada durante um intervalo de tempo, o vetor:
A unidade do impulso é o N.s.
Devido a definição, o impulso é numericamente igual à área sob a curva no gráfico de F x t.
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Uma força impulsiva é tal que,
F≈0set∈/[ti,tf]
\vec F \approx \vec 0 \quad \text{se}\quad t \notin[t_i,t_f]
Fonte: Tipler & Mosca
F≈Fmedset∈/[ti,tf]
\vec F \approx \vec F_{med} \quad \text{se}\quad t \notin[t_i,t_f]
A força média impulsiva é:
Fmed=ΔtI=ΔtΔp
\vec F_{med}=\frac{\vec I}{\Delta t}=\frac{\Delta \vec p}{\Delta t}
Devido a definição, o impulso pode ser calculado aproximadamente por:
I=FmedΔt
\vec I = \vec F_{med}\Delta t
onde a força média está a meia altura da força impulsiva.
I=2FmaxΔt
\vec I =\frac{ \vec F_{max}}{2}\Delta t
Fmax
F_{max}
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Fmed
F_{med}
O papel do air-bag é vital. Na colisão a variação do momento linear é o mesmo. Os carros partem com a mesmo momento inicial pi=0 e finalizam com pf=0.
Quanto maior a elasticidade dos materiais do carro maiores as chances da manutenção da vida.
Para uma mesma variação do momento linear, quanto maior o tempo da interação menor será a força do impacto. Isso salva vidas!
Fext=ΔtΔpo
\vec F_{ext}=\frac{\Delta \vec p_o}{\Delta t}
FextΔt=Δpo
\vec F_{ext}\Delta t={\Delta \vec p_o}
I=Δpo
\vec I={\Delta \vec p_o}
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Os engenheiros avaliam a segurança dos carros a partir de vídeo-análise do movimento do carro e do motorista
O carro apresenta uma aceleração máxima de 200 m/s2. O impulso:
O motorista com airbag tem uma aceleração máxima de 280 m/s2. O impulso I = 1680 N.S.
O motorista sem airbag tem uma aceleração máxima de 400 m/s2. O impulso I = 1820 N.S.
FONTE: Revista Brasileira de Ensino de F ́ısica, v. 36, n. 1, 1501 (2014)
mcarro=1250kg
m_{carro} = 1250\text{kg}
mmotorista=70kg
m_{motorista} = 70\text{kg}
Δt=0,16 s
\Delta t = 0,16\text{ s}
Δt=0,13 s
\Delta t = 0,13\text{ s}
Δt=0,16 s
\Delta t = 0,16\text{ s}
I=FmΔt
I=F_m\Delta t
I=2FmaxΔt
I=\frac{F_{max}}{2}\Delta t
I=2(1250 kg)(200m/s2)0,16s=20000 N.s
I=\frac{(1250\text{ kg})(200\text{m/s}^2)}{2}0,16\text{s}=20000\text{ N.s}
Depois da colisão a cabeça do motorista sem airbag volta para trás (descalara) o que é um segundo risco.
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Profissionais que trabalham com atletas de alto desempenham trabalham com video-análise para melhorar o rendimento dos atletas.
I=FmedΔt
I=F_{med}{\Delta t}
I=2FmaxΔt
I=\frac{F_{max}}{2}{\Delta t}
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
Para ensinar um robô a andar é necessário entender como andamos.
I=ΔtFmed
I=\frac{F_{med}}{\Delta t}
Princípio do impulso: Teorema impulso-momento linear
O momento pode ser transferido de um objeto para outro, mas não pode ser criado ou destruído em um sistema isolado.
Essa afirmação é um dos princípios mais fundamentais da física e é frequentemente chamada de conservação do momento linear.
Δpsistema=0
\Delta \vec p_{sistema}=\vec 0
ps=constante
\vec p_{s}=constante
Δp1+Δp2=0
\Delta \vec p_{1}+\Delta \vec p_{2}=\vec 0
(p1,f−p1,i)+(p2,f−p2,i)=0
(\vec p_{1,f}-\vec p_{1,i})
+
(\vec p_{2,f}-\vec p_{2,i})=\vec 0
p1,f+p2,f=p1,i+p2,i
\vec p_{1,f}
+
\vec p_{2,f}=\vec p_{1,i}+\vec p_{2,i}
⇒ps,i=ps,f
\Rightarrow \vec p_{s,i}=\vec p_{s,f}
p1+p2=constante
\vec p_{1}+\vec p_2=constante
Princípio da conservação do momento linear
Considere as velocidades em uma interação entre dois carrinhos arbitrários 1 e 2 que constituem um sistema isolado.
m1=0,36 kg
m_1 = 0,36 \text{ kg}
Inércias
m2=0,12 kg
m_2 = 0,12 \text{ kg}
Velocidades
v1,i=
v_{1,i} =
v1,f=
v_{1,f} =
v2,i=
v_{2,i} =
v2,f=
v_{2,f} =
carro 1
carro 2
Variação das velocidades
Δv1,x=v1,f−v1,i=
\Delta v_{1,x} = v_{1,f}-v_{1,i}
=
Δv2,x=v2,f−v2,i=
\Delta v_{2,x} = v_{2,f}-v_{2,i}
=
A velocidade não é grandeza conservada
Δvs=Δv1,x+Δv2,x=0
\Delta v_{s} = \Delta v_{1,x}+\Delta v_{2,x}\neq 0
0
0
+0,17 m/s
+0,17\text{ m/s}
−0,20 m/s
-0,20\text{ m/s}
+0,34 m/s
+0,34\text{ m/s}
+0,17 m/s
+0,17\text{ m/s}
−0,54 m/s
-0,54\text{ m/s}
Princípio da conservação do momento linear
m1=0,36 kg
m_1 = 0,36 \text{ kg}
Inércias
m2=0,12 kg
m_2 = 0,12 \text{ kg}
Momento Linear
p1,i=
p_{1,i} =
p1,f=
p_{1,f} =
p2,i=
p_{2,i} =
p2,f=
p_{2,f} =
carro 1
carro 2
Variação dos momentos
Δp1,x=p1,f−p1,i=
\Delta p_{1,x} = p_{1,f}-p_{1,i}
=
Δp2,x=p2,f−p2,i=
\Delta p_{2,x} = p_{2,f}-p_{2,i}
=
O momento linear é grandeza conservada
Δps=Δp1,x+Δp2,x=0
\Delta p_{s} = \Delta p_{1,x}+\Delta p_{2,x}=0
0
0
+0,061 kg.m/s
+0,061\text{ kg.m/s}
−0,0204kg.m/s
-0,0204\text{kg.m/s}
+0,0408kg.m/s
+0,0408\text{kg.m/s}
+0,061 kg.m/s
+0,061\text{ kg.m/s}
−0,061 kg.m/s
-0,061\text{ kg.m/s}
Considere os momentos lineares em uma interação entre dois carrinhos arbitrários 1 e 2 que constituem um sistema isolado.
Princípio da conservação do momento linear
m1=0,36 kg
m_1 = 0,36 \text{ kg}
Inércias
m2=0,12 kg
m_2 = 0,12 \text{ kg}
Momento Linear
p1,i=
p_{1,i} =
p1,f=
p_{1,f} =
p2,i=
p_{2,i} =
p2,f=
p_{2,f} =
carro 1
carro 2
Soma dos momentos
psis,i=p1,i+p2,i=
p_{sis,i} = p_{1,i}+p_{2,i}
=
O momento linear é grandeza conservada
psis,i=psis,f
p_{sis,i}=p_{sis,f}
0
0
+0,061 kg.m/s
+0,061\text{ kg.m/s}
−0,0204kg.m/s
-0,0204\text{kg.m/s}
+0,0408kg.m/s
+0,0408\text{kg.m/s}
+0,0408 kg.m/s
+0,0408\text{ kg.m/s}
Considere os momentos lineares em uma interação entre dois carrinhos arbitrários 1 e 2 que constituem um sistema isolado.
Princípio da conservação do momento linear
psis,f=p1,f+p2,f=
p_{sis,f} = p_{1,f}+p_{2,f}
=
+0,0408 kg.m/s
+0,0408\text{ kg.m/s}
Δpsis,i=0
\Delta p_{sis,i}=0
e a primeira lei de Newton
Momento linear nulo ou constante na ausência de interações.
x
x
y
y
p
\vec p
Princípio fundamental da natureza
e
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele.
Δps=0
\Delta \vec p_s = \vec 0
pf,s=pi,s
\vec p_{f,s} = \vec p_{i,s}
psis=constante
\vec p_{sis} = constante
vsis=constante/m
\vec v_{sis} = constante/m
Todo corpo possui momento linear nulo ou constante, em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele.
Interação em um sistema isolado
O movimento de dois carrinhos (sistema) que colidem em um trilho (vizinhança) de baixo atrito.
O movimento de dois carrinhos (sistema) que colidem em um trilho (vizinhança) de baixo atrito.
As velocidades não são constantes durante a colisão.
As acelerações não são nulas durante a colisão.
v1
\vec v_1
v2
\vec v_2
sistema
vizinhança
contorno
Interação em um sistema isolado
Carro 1
Carro 2
Colisão elástica!
Inicial
Durante
Final
Variação da velocidade
Δv1=
\Delta v_1 =
Δv2=
\Delta v_2 =
+0,73 m/s
+0,73 \text{ m/s}
−0,37 m/s
-0,37 \text{ m/s}
m1=0,12 kg
m_1 = 0,12\text{ kg}
m2=0,24 kg
m_2 = 0,24\text{ kg}
A variação da velocidade do carro 1 é o dobro da variação da velocidade do carro 2.
v1i=0 m/s
v_{1i}=0\text{ m/s}
v1f=+0,73 m/s
v_{1f}=+0,73 \text{ m/s}
v2i=+0,55 m/s
v_{2i}=+0,55 \text{ m/s}
v2f=+0,18 m/s
v_{2f}=+0,18 \text{ m/s}
Δv2,c=
\Delta v_{2,c} =
Δv1,c=
\Delta v_{1,c} =
+0,70 m/s
+0,70\text{ m/s}
−0,35 m/s
-0,35\text{ m/s}
ANTES
DEPOIS
DURANTE
Interação em um sistema isolado
Carro 1
Carro 2
Durante a interação
Inicial
Durante
Final
a1i=
a_{1i}=
a1f=
a_{1f}=
a2i=
a_{2i}=
a2f=
a_{2f}=
0
0
0
0
0
0
0
0
a1≈
a_1\approx
a2≈
a_2\approx
Δt1Δv1=+20 ms0,73 m/s=+36 m/s2
\frac{\Delta v_1}{\Delta t_1} = +\frac{0,73\text{ m/s}}{20\text{ ms}}=+36\text{ m/s}^2
Δt2Δv2=−20 ms0,37 m/s=−18 m/s2
\frac{\Delta v_2}{\Delta t_2} =- \frac{0,37\text{ m/s}}{20\text{ ms}}=-18\text{ m/s}^2
A aceleração é nula antes e depois da colisão. EXCETO DURANTE A INTERAÇÃO
A aceleração do carro 1 é o dobro da aceleração do carro 2 durante a colisão.
a2a1=−m1m2
\frac{a_1}{a_2}=-\frac{m_2}{m_1}
m1=0,12 kg
m_1 = 0,12\text{ kg}
m2=0,24 kg
m_2 = 0,24\text{ kg}
Interação em um sistema isolado
Inicial
Durante
Final
Sem interação as velocidades são constantes. Logo, as acelerações são nulas.
Com alguma interação o movimento é acelerado. A relação entre as acelerações e as massas inerciais é:
A aceleração é diferente de zero quando se observa alguma interação.
Objetos aceleram porque estão interagindo com outros objetos!
m1m2=−a2a1
\frac{m_2}{m_1}=-\frac{a_1}{a_2}
a1=a2≡0
a_1=a_2\equiv 0
Interação em um sistema isolado
Sempre que dois objetos isolados interagem, eles trocam momento linear:
O intervalo de tempo durante o qual a variação de momento ocorre é a mesma para os dois objetos:
ΔtΔp1=−ΔtΔp2
\frac{\Delta \vec p_1}{\Delta t}
= -
\frac{\Delta \vec p_2}{\Delta t}
Se as inércias m1 e m2 dos dois objetos não forem alteradas pela interação, temos, a partir da definição p=mv:
Δtm1Δv1=−Δtm2Δv2
\frac{m_1\Delta \vec v_1}{\Delta t}
= -
\frac{m_2\Delta \vec v_2}{\Delta t}
F12=−F21
\vec F_{12}=- \vec F_{21}
m1a1=−m2a2
m_1a_{1}=-m_2a_{2}
Δp1=−Δp2
\Delta \vec p_1 = -\Delta \vec p_2
As forças internas se cancelam aos pares e não alteram o momento linear do sistema:
F12+F21=0
\vec F_{12}+ \vec F_{21}=\vec 0
Interação em um sistema isolado
Δpsis=0
\Delta \vec p_{sis} =\vec 0
∑Fint=0
\sum \vec F_{int} =\vec 0
F21=−F12
\vec F_{21}=-\vec F_{12}
Sempre que dois objetos interagem, exercem um sobre o outro forças que são iguais em magnitude e direção, mas opostas em sentido.
O par de forças que dois objetos em interação exercem um sobre o outro é chamado par de interação.
A conclusão de que objetos em interação exercem forças iguais na mesma direção, mas em sentidos opostos um sobre o outro é um resultado direto da lei da conservação do momento e da nossa definição de força.
Δp1+Δp2=0
\Delta \vec p_{1}+\Delta\vec p_{2} = 0
(F21+F12)Δt=0
(\vec F_{21}+\vec F_{12})\Delta t=0
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
I1+I2=0
\vec I_1+\vec I_2=0
não há força externa resultante!
há força internas que são um par de interação!
F12
\vec F_{12}
F21
\vec F_{21}
forças internas não alteram o momento linear do sistema
Interação em um sistema isolado
A toda ação há sempre oposta uma reação igual, ou, as ações mútuas de dois corpos, um sobre o outro, são sempre iguais e dirigidas a partes opostas.
x
x
y
y
p1,f
\vec p_{1,f}
p1,i
\vec p_{1,i}
p2,f
\vec p_{2,f}
x
x
y
y
p2,f
\vec p_{2,f}
p1,i+p2,i=p2,f+p2,f
\vec p_{1,i} + \vec p_{2,i}
=
\vec p_{2,f} + \vec p_{2,f}
e a terceira lei de Newton
Princípio fundamental da natureza
e
Δp1=−Δp2
\Delta \vec p_{1}
=-
\Delta \vec p_{2}
F12Δt=−F21Δt
\vec F_{12}\Delta t
=-
\vec F_{21}\Delta t
I1=−I2
\vec I_{1}
=-
\vec I_{2}
A variação de momento do carrinho 1 é compensada por uma variação no momento do carrinho 2. Vejamos a interação do sistema isolado dos carros com mola.
Δp1,c/m=+0,096 kg.m/s
\Delta p_{1,c/m}=+0,096\text{ kg.m/s}
Fpor 2 em 1=ΔtΔp1,c/m
F_{\text{por 2 em 1}} = \frac{\Delta p_{1,c/m}}{\Delta t}
=0,010 s+0,096 kg.m/s=+9,6 N
=\frac{+0,096\text{ kg.m/s}}{0,010\text{ s}}=+9,6\text{ N}
Δp2,c/m=−0,096 kg.m/s
\Delta p_{2,c/m}=-0,096\text{ kg.m/s}
Fpor 1 em 2=ΔtΔp2,c/m
F_{\text{por 1 em 2}} = \frac{\Delta p_{2,c/m}}{\Delta t}
=0,010 s−0,096 kg.m/s=−9,6 N
=\frac{-0,096\text{ kg.m/s}}{0,010\text{ s}}=-9,6\text{ N}
carro 1
carro 2
Sistema Isolado dos carros com mola
Δp1,c/m+Δp2,c/m=0
\Delta p_{1,c/m}+\Delta p_{2,c/m} = 0
(F21+F12)Δt=0
(F_{21}+F_{12})\Delta t=0
F21=−F12
F_{21}=-F_{12}
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
Δt=10 ms
\Delta t = 10\text{ ms}
I
I
F21
\vec F_{21}
F12
\vec F_{12}
Aplicando os conceitos
Em ambas as colisões a variação de momento do carrinho 1 é compensada por uma variação no momento do carrinho 2. Vejamos a interação do sistema de carros sem mola.
Δp1,s/m=+0,096 kg.m/s
\Delta p_{1,s/m}=+0,096\text{ kg.m/s}
Fpor 2 em 1=ΔtΔp1,s/m
F_{\text{por 2 em 1}} = \frac{\Delta p_{1,s/m}}{\Delta t}
=0,001 s+0,096 kg.m/s=+96 N
=\frac{+0,096\text{ kg.m/s}}{0,001\text{ s}}=+96\text{ N}
Δp2,s/m=−0,096 kg.m/s
\Delta p_{2,s/m}=-0,096\text{ kg.m/s}
Fpor 1 em 2=ΔtΔp2,s/m
F_{\text{por 1 em 2}} = \frac{\Delta p_{2,s/m}}{\Delta t}
=0,001 s−0,096 kg.m/s=−96 N
=\frac{-0,096\text{ kg.m/s}}{0,001\text{ s}}=-96\text{ N}
carro 1
carro 2
Sistema Isolado dos carros sem mola
Δt=1 ms
\Delta t = 1\text{ ms}
Δp1,s/m+Δp2,s/m=0
\Delta p_{1,s/m}+\Delta p_{2,s/m} = 0
(F21+F12)Δt=0
(F_{21}+F_{12})\Delta t=0
F21=−F12
F_{21}=-F_{12}
⇒
\Rightarrow
⇒
\Rightarrow
I
I
F21
\vec F_{21}
F12
\vec F_{12}
Aplicando os conceitos
Na colisão de dois carrinhos o impulso de cada carrinho pode ser medido facilmente:
I1=Δp1
I_1 = \Delta p_1
Carro 1: m1=3 kg
Carro 2: m2=1 kg
I1=(3 kg)(0,20 m/s)
I_1 =(3\text{ kg})(0,20\text{ m/s})
I2=Δp2
I_2 = \Delta p_2
I2=−0,60 N.s
I_2 = -0,60\text{ N.s}
I1=m1Δv1
I_1 =m_1 \Delta v_1
I1=0,60 N.s
I_1 =0,60\text{
N.s}
Δv1
\Delta v_1
I2=m2Δv2
I_2 =m_2 \Delta v_2
I2=(1,0 kg)(−0,60 m/s)
I_2 =(1,0 \text{ kg})(-0,60\text{ m/s})
Δv2
\Delta v_2
Δp1+Δp2=0
\Delta p_1 + \Delta p_2 = 0
⇒
\Rightarrow
A inércia do carro 2 é menor do que a inércia do carro 1. Por tal motivo, tem uma maior variação da velocidade. Contudo, a variação dos momentos de cada um são iguais em módulo. O impulso resultante é nulo uma vez que há somente forças internas (interação de par) durante a colisão.
Aplicando os conceitos
Inicial
Final
Momento linear do sistema
O momento linear do sistema é o mesmo antes, durante e depois da colisão.
p1i=
p_{1i} =
p1f=
p_{1f} =
p2i=
p_{2i} =
p2f=
p_{2f} =
+0,088 kg.m/s
+0,088\text{ kg.m/s}
+0,13 kg.m/s
+0,13\text{ kg.m/s}
+0,043 kg.m/s
+0,043\text{ kg.m/s}
ps,i=
p_{s,i}=
+0,13 kg.m/s
+0,13\text{ kg.m/s}
ps,f=
p_{s,f}=
+0,13 kg.m/s
+0,13\text{ kg.m/s}
Δps=0
\Delta p_s=0
0
0
Momento linear do sistema
Durante a colisão
a
a
a
a
ps,a=
p_{s,a}=
ps,b=
p_{s,b}=
b
b
b
b
0,04 kg.m/s+0,09 kg.m/s=+0,13 kg.m/s
0,04\text{ kg.m/s}+
0,09\text{ kg.m/s}=
+0,13\text{ kg.m/s}
0,08 kg.m/s+0,05 kg.m/s=+0,13 kg.m/s
0,08\text{ kg.m/s}+
0,05\text{ kg.m/s}=
+0,13\text{ kg.m/s}
∣Δv2∣∣Δv1∣≡m1m2
\frac{|\Delta v_1|}{|\Delta v_2|}\equiv\frac{m_2}{m_1}
Δps=0
\Delta p_s=0
Considere a interação entre dois objetos. Seja o gráfico do momento linear em função do tempo.
Aplicando os conceitos
Exemplo 1 (A9.P1-01)
Suponha que você tenha de escolher entre agarrar uma bola 1 de 0,50 kg que se desloca a 4,0 m/s ou uma bola 2 de 0,10 kg que se desloca a 20 m/s.
Qual das duas bolas seria mais fácil de agarrar?
Exemplo 2 (A9.P1-02)
Dois barcos que deslizam no gelo, apostam corrida sobre um lago horizontal sem atrito. Os barcos possuem massas m e 2m, respectivamente. A vela de um barco é idêntica à do outro, de modo que o vento exerce a mesma força constante sobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linha de chegada é igual a d. (a) Qual dos dois barcos chegará ao final da linha com a maior energia cinética? (b) Qual deles atravessa a linha de chegada com o maior momento linear? (c) Qual deles chegará primeiramente
Exemplo 3 (A4.P2-02)
(a) As variações de velocidade na figura são iguais em magnitude? Por que sim ou por que não?
(b) Determine as variações de velocidade dos carrinhos e verifique se m1/m2=−Δv2/Δv1 nessa figura.
(c) Determine o momento inicial e final dos dois carros.
(d) Qual é o momento do sistema antes da colisão?
(e) Após a colisão?
(f) As variações de momento são iguais em magnitude e opostas em sentido? Por que sim ou por que não?
Exemplo 4 (A4.P2-03)
(a) Qual é a magnitude do impulso entregue ao carrinho 1 na figura?
(b) Escreva o impulso entregue ao carrinho 1 em forma de vetor.
(c) O fato de a variação no momento do carrinho 1 ser diferente de zero significa que o momento não é conservado?
Exemplo 5 (A4.P2-04)
Um próton (massa de 1 u) é lançado contra um núcleo-alvo com velocidade de 2,50×106 m/s. O próton ricocheteia com sua velocidade reduzida em 25%, enquanto o núcleo-alvo adquire uma velocidade de 3,12×105 m/s. Qual é a massa, em unidades de massa atômica, do núcleo-alvo?
Exemplo 6 (A4.P2-05)
Uma bala de massa m é atirada contra um bloco de massa M inicialmente em repouso na beira de uma mesa sem atrito de altura h. A bala permanece no bloco, e depois do impacto o bloco aterrissa a uma distância d da parte inferior da mesa. Determine a velocidade escalar inicial da bala.
Exemplo 7 (A4.P2-06)
A força Fx(t)=10sin(2πt/4,0)é exercida durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 2,0 s sobre uma partícula de 250 g. Se a partícula parte do repouso, quanto vale sua velocidade em t = 2,0 s?
Exemplo 8 (A4.P2-07)
Em um instante, um trenó de 17,5 kg está se movendo em uma superfície horizontal de neve a 3,50 m/s. Depois de passados 8,75 s, o trenó para. Utilize uma abordagem de momento para encontrar a força de atrito média sobre o trenó enquanto ele estava se movendo.
Exemplo 9 (A4.P2-08)
Uma partícula de massa m encontra-se em repouso em t = 0. Para t > 0, seu momento é dado por p(t)=6t2, onde t está em s. Determine uma expressão para F(t), a força exercida sobre a partícula em função do tempo.
Exemplo 10 (A4.P2-10)
Uma bola de borracha de 0,20 kg é largada de uma altura de 2,0 m sobre um piso duro e salta para cima a uma altura de 1,50 m. A figura mostra o impulso recebido do piso. Qual é a força máxima que o piso exerce sobre a bola?
Exemplo 11 (A4.P2-11)
Testes experimentais mostraram que o osso será fraturado se estiver sujeito a uma densidade de força de 1,03×108 N/m^2. Suponha que uma pessoa de 70 kg esteja andando de patins e sem querer uma viga de metal atinja sua testa e pare completamente seu movimento para a frente. Se a área de contato com a testa do patinador for de 1,5 cm^2, qual é a maior velocidade com que ele pode atingir a parede sem quebrar algum osso se sua cabeça estiver em contato com a viga por 10,0 ms?
Exemplo 12 (A4.P2-12)
Uma bola de 0,060 g é atirada diretamente contra uma parede com uma rapidez de 10 m/s. Ela rebate de volta com uma rapidez de 8,0 m/s.
(a) Qual é o impulso exercido sobre a parede?
(b) Se a bola está em contato com a parede por 3,0 ms, qual é a força média exercida sobre a parede pela bola?
(c) A bola rebatida é pegada por uma jogadora que a leva ao repouso. No processo, sua mão se move 0,50 m para trás. Qual é o impulso recebido pela jogadora?
(d) Qual é a força média exercida sobre a jogadora pela bola?
Aula 16 Fundamentos de Mecânica Prof. Ronai Lisbôa UFRN - ECT - BCT
FM - Aula 16
By Ronai Lisboa
FM - Aula 16
Momento linear. Sistema isolado. Conservação do momento linear. Teorema do impulso-momento linear.
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