Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 17
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Calcular a velocidade e rapidez relativa entre dois objetos em movimento.
Definir as colisões elástica, inelástica e perfeitamente inelástica.
Classificar os tipos de colisão a partir da velocidade relativa.
Classificar os tipos de colisão a partir da energia cinética.
Referência: Tipler & Mosca. Capítulo 8. Seção 8.3 (página 253 até 260)
Verifique no SIGAA questões recomendadas
Velocidade relativa
Considere a colisão mostrada na figura abaixo.
Qual a variação da velocidade do carrinho 1?
Qual a variação da velocidade do carrinho 2?
Qual a diferença de velocidade entre os dois carrinhos antes da interação?
Qual a diferença de velocidade entre os dois carrinhos depois da interação?
\Delta v_1 = v_{1f}-v_{1i}=
\Delta v_2 = v_{2f}-v_{2i}=
v_{2i}-v_{1i} =
v_{2f}-v_{1f} =
+0,17\,\text{m/s}
-0,51\,\text{m/s}
+0,34\,\text{m/s}
-0,34\,\text{m/s}
v_{1i=0}
v_{1f=+0,17\text{m/s}}
v_{2i=+0,34\text{m/s}}
v_{2f=-0,17\text{m/s}}
Velocidade relativa
Chama-se de velocidade relativa a diferença entre as velocidades de dois carrinhos.
A velocidade relativa do carrinho 2 em relação ao carrinho 1.
\vec v_{12}=\vec v_{2}-\vec v_{1}
A velocidade relativa do carrinho 1 em relação ao carrinho 2.
\vec v_{21}=\vec v_{1}-\vec v_{2}
\vec v_{21}
é a velocidade do carrinho 1...
\vec v_{12}
é a velocidade do carrinho 2...
O último índice na velocidade relativa representa o objeto que estamos estudando.
Rapidez relativa
Chama-se de rapidez relativa a magnitude da diferença entre as velocidades de dois carrinhos.
A rapidez relativa do carrinho 2 em relação ao carrinho 1.
v_{12}=|\vec v_{2}-\vec v_{1}|
A rapidez relativa do carrinho 1 em relação ao carrinho 2.
v_{21}=|\vec v_{1}-\vec v_{2}|
v_{21}
é a rapidez relativa do carrinho 1...
v_{12}
é a rapidez relativa do carrinho 2...
O último índice na rapidez relativa representa o objeto que estamos estudando.
\vec v_{12} =\vec v_2 - \vec v_1
\vec v_{21} =\vec v_1 - \vec v_2
\vec v_{21} =-\vec v_{12}
v_{21} =v_{12}
Considere a colisão mostrada na figura abaixo entre dois carros padrões.
Calcule a rapidez relativa antes da colisão.
v_{12i}=|\vec v_{2}-\vec v_{1}|
v_{21f}=|\vec v_{1}-\vec v_{2}|
Calcule a rapidez relativa após da colisão.
Nessa colisão a rapidez relativa antes e depois da colisão é mesma.
v_{12i}=v_{21f}
=0,58\text{ m/s}
=0,58\text{ m/s}
carro 2 em relação ao carro 1
carro 1 em relação ao carro 2
v_{1i} = 0
v_{1f} = +0,58\text{ m/s}
v_{2i} = +0,58\text{ m/s}
v_{2f} = 0
Rapidez relativa
Calcule a rapidez relativa antes da colisão.
v_{21i}=|\vec v_{1}-\vec v_{2}|
v_{21f}=|\vec v_{1}-\vec v_{2}|
Calcule a rapidez relativa após da colisão.
v_{21i}=v_{21f}
=0,42\text{ m/s}
=0,42\text{ m/s}
Nesse colisão a rapidez relativa antes e depois da colisão é mesma.
Considere a colisão mostrada na figura abaixo entre dois carros.
carro 1 em relação ao carro 2
v_{1i} = 0
v_{1f} = +0,22\text{ m/s}
v_{2i} = +0,42\text{ m/s}
v_{2f} = -0,20\text{ m/s}
carro 1 em relação ao carro 2
Rapidez relativa
Colisão elástica
Chama-se de Colisão Elástica quando se observa experimentalmente que a rapidez relativa antes da colisão é a mesma rapidez relativa depois da colisão.
v_{12i}=v_{12f}
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12i}=5\text{ m/s}
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12f}=2\text{ m/s}
v_{12f}=5\text{ m/s}
v_{12f}=2\text{ m/s}
Inicial
final
1
v_1=5\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
v_1=3\text{ m/s}
2
v_2=5\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
v_1=3\text{ m/s}
2
v_2=2\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_2=0\text{ m/s}
1
v_1=0\text{ m/s}
2
v_2=2\text{ m/s}
+x
Colisão inelástica
Chama-se de Colisão Inelástica quando se observa experimentalmente que a rapidez relativa antes da colisão não é a mesma rapidez relativa depois da colisão.
v_{12i}\neq v_{12f}
Inicial
final
1
v_1=5\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
v_1=3,1\text{ m/s}
2
v_2=4,9\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
v_1=2,75\text{ m/s}
2
v_2=1,75\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_2=1,9\text{ m/s}
2
v_2=0\text{ m/s}
1
v_1=0,1\text{ m/s}
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12i}=5\text{ m/s}
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12f}=1,8\text{ m/s}
v_{12f}=4,5\text{ m/s}
v_{12f}=1,8\text{ m/s}
+x
Colisão totalmente inelástica
Chama-se de Colisão Totalmente Inelástica quando se observa experimentalmente que a rapidez relativa depois da colisão é nula. Isto é, os dois objetos se movem com a mesma velocidade após a colisão.
v_{12,i}\neq 0
v_{12,f} = 0
Inicial
final
1
v_1=5\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
2
v_1=v_2=4,0\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_2=3\text{ m/s}
1
2
v_1=v_2=0,5\text{ m/s}
1
v_1=2\text{ m/s}
2
v_1=v_2=1,0\text{ m/s}
2
v_2=0\text{ m/s}
1
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12i}=5\text{ m/s}
v_{12i}=2\text{ m/s}
v_{12f}=0\text{ m/s}
v_{12f}=0\text{ m/s}
v_{12f}=0\text{ m/s}
+x
Mas não levam em conta a inércia das partículas. Há uma grandeza física que considera a inércia, a velocidade e que ainda seja extensiva (contável)?
As velocidades relativas permitem classificar as colisões:
Elástica:
Inelástica:
Perfeitamente inelástica:
v_{12i}=v_{12f}
v_{12i}\neq v_{12f}
v_{12,f} = 0
Sim. O momento linear.
Mas o momento linear é sempre conservado em um sistema isolado e não permite classificar as colisões. Afinal: \(p_{s,f}=p_{s,i}\).
Classificando as colisões
\vec p = m\vec v
Energia cinética
K=\frac{1}{2}mv^2
\vec v
m
No Sistema Internacional, a unidade da energia é o joule (J):
\text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\equiv \text{joule}=\text{J}
Se uma partícula apenas se move de um ponto para o outro, podemos considerar apenas sua energia cinética. Uma partícula livre em movimento tem somente energia cinética!
Uma energia associada ao movimento que leva em conta a inércia, e claro a velocidade.
Uma grandeza extensiva! Não pode ser criada ou destruída, mas que pode ser alterada pelos processos de entrada e saída.
As colisões e a energia cinética
Considere a colisão mostrada na figura abaixo. As inércias são \(m_1 = \) 0,12 kg e \(m_2 = \) 0,36 kg.
Rapidez relativa
v_{12,i} =
Inicial:
Final:
v_{12,f} =
0,086\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,80\text{ m/s}
0,80\text{ m/s}
0
0,12\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,029\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,12\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,12\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,288\text{ kg.m/s}
0,288\text{ kg.m/s}
v_{1i} = 0
v_{1f} = +1,2\text{ m/s}
v_{2i} = +0,80\text{ m/s}
v_{2f} = +0,40\text{ m/s}
Momento linear do sistema
Inicial:
Final:
P_{s,i}=p_{1i}+p_{2i}=
P_{s,f}=p_{1f}+p_{2f}=
Energia cinética do sistema
Inicial:
Final:
K_{1i}=
K_{2i}=
K_{2f}=
K_{s,i}=
K_{s,f}=
Carro 1
Carro 2
Total
K_{1f}=
Colisão Elástica
Considere a colisão mostrada na figura abaixo. As inércias são \(m_1 = \) 0,12 kg e \(m_2 = \) 0,36 kg.
Rapidez relativa
v_{12,i} =
Inicial:
Final:
v_{12,f} =
0,80\text{ m/s}
0\text{ m/s}
0
0,115\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,12\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,086\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,288\text{ kg.m/s}
0,288\text{ kg.m/s}
Momento linear do sistema
Inicial:
Final:
P_{s,i}=p_{1i}+p_{2i}=
P_{s,f}=p_{1f}+p_{2f}=
Energia cinética do sistema
Inicial:
Final:
K_{1i}=
K_{2i}=
K_{s,i}=
K_{s,f}=
Carro 1
Carro 2
Total
K_{1f}=
K_{2f}=
v_{1i} = 0
v_{1f} = +0,60\text{ m/s}
v_{2i} = +0,80\text{ m/s}
v_{2f} = +0,60\text{ m/s}
Colisão Totalmente Inelástica
0,0216\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
0,0648\text{ kg.m$^2$/s$^2$}
As colisões e a energia cinética
Observamos nesses experimentos que:
O momento linear é sempre conservado para qualquer tipo de colisão.
A energia cinética é conservada nas colisões elásticas.
Para onde vai a energia cinética nas colisões inelásticas?
p_{sis,f}=p_{sis,i}\quad\Rightarrow \Delta p = 0
K_{sis,f}=K_{sis,i}\quad\Rightarrow \Delta K= 0
A energia cinética não é conservada nas colisões inelásticas.
K_{sis,f}\neq K_{sis,i}\quad\Rightarrow \Delta K\neq 0
Lembre-se que vai aparecer como energia interna!
As colisões e a energia cinética
Analisando as duas colisões notamos que:
Colisão elástica
Colisão totalmente inelástica
A energia cinética do sistema classifica a colisão como elástica (\(K_i=K_f\)) ou inelástica (\(K_i\neq K_f\)).
O momento linear do sistema é sempre conservado seja a colisão elástica ou inelástica.
A velocidade relativa:
v_{12i}=v_{12f}
Momento linear do sistema:
P_{s,i}=P_{s,f}
Energia cinética do sistema:
K_{s,i}=K_{s,f}
A velocidade relativa:
v_{12i}\neq v_{12f}
Momento linear do sistema:
P_{s,i}=P_{s,f}
Energia cinética do sistema:
K_{s,i}\neq K_{s,f}
0
As colisões e a energia cinética
Coeficiente de restituição
A colisão pode ser classificada comparando as velocidades relativas dos dois objetos.
Define-se o coeficiente de restituição:
A maioria das colisões está entre os dois extremos de elástico e totalmente inelástico.
e\equiv \frac{v_{12f}}{v_{12i}}
=-\frac{v_{2x,f}-v_{1x,f}}{v_{2x,i}-v_{1x,i}}
| Coefciente | Colisão | Relação |
|---|---|---|
| e = 0 | Totalmente Inelástica | |
| 0 < e < 1 | Inelástica | |
| e = 1 | Elástica |
v_{12,f}=0
0< v_{12,f}< v_{12,i}
v_{12,f} = v_{12,i}
A colisão pode ser classificada comparando a rapidez relativa dos dois objetos.
\vec v_{12} = \vec v_2 - \vec v_1
A velocidade relativa do carro 2 em relação ao carro 1:
A velocidade relativa do carro 1 em relação ao carro 2:
\vec v_{21} = \vec v_1 - \vec v_2
A colisão é elástica se a rapidez relativa não varia.
v_{12i}=-v_{12f}
Isto é, o coeficiente de restituição é \(e = 1\).
Coeficiente de restituição
Fonte: Phet
e=-\frac{1,00-0,50}{0,50-1,00}
e\equiv \frac{v_{12f}}{v_{12i}}
=-\frac{v_{2x,f}-v_{1x,f}}{v_{2x,i}-v_{1x,i}}
\Rightarrow
=-\frac{0,50}{(-0,50)}
K_{s,i} =K_{1,i}+K_{2,i}
A energia cinética antes da colisão:
A energia cinética depois da colisão:
Se você sabe que a colisão elástica (e=1), então iguale as energias cinéticas.
K_{s,f}=K_{s,i}
\frac{1}{2}m_1v_{1,i}^2+
\frac{1}{2}m_2v_{2,i}^2=
\frac{1}{2}m_1v_{1,f}^2
+\frac{1}{2} m_2v_{2,f}^2
K_{s,f} =K_{1,f}+K_{2,f}
Em uma colisão elástica a energia cinética é conservada.
\Delta K=0
Conservação do momento linear e da energia cinética
Fonte: Phet
J
K_{s,i} =K_{1,i}=\frac{m_1v_{1,i}^2}{2}
A energia cinética antes da colisão:
A energia cinética depois da colisão:
Para a colisão totalmente inelástica (e=0). A energia cinética não é conservada:
\frac{K_f}{K_i}=\frac{m_1}{m_1+m_2}
K_{s,f} =\frac{m_1+m_2}{2}v_f^2
Em uma colisão totalmente inelástica a energia cinética não é conservada.
\Delta E =\frac{m_2}{m_1+m_2}K_i
Conservação do momento linear e da energia cinética
J
K_{s,f}\neq K_{s,i}
O momento linear é conservado:
P_{s,f}= P_{s,i}
Podemos obter o quanto a energia cinética do sistema final difere da energia cinética do sistema inicial (ou de quanto é a variação da energia do sistema):
Fonte: Phet
VERIFIQUE
Separações explosivas
É possível ter um processo no qual a energia cinética é obtida à custa da energia interna?
Sim, em uma explosão, ou qualquer outro tipo de separação explosiva, onde os objetos se separam ou se quebram, a energia cinética aumenta e a energia interna diminui.
O canhão e a bala de canhão estão em repouso. Quando o canhão é disparado, a bala voa para fora do cano e o canhão recua na direção oposta.
O canhão e a bala de canhão ganham energia cinética às custas da energia química da pólvora.
v_{12,i}=0
\text{F}
v_{12,f}>0
\text{F}
\vec v_1
\vec v_2
Fonte: https://youtu.be/jEexefuB62c
Separações explosivas
A separação explosiva é um processo oposto à colisão inelástica (\(v_{12,i}>0\) e \(v_{12,f}=0\)).
Os carrinhos estão em repouso. A mola está comprimida. Após a explosão a mola se expande e os carrinhos entram em movimento.
A diminuição da energia interna da mola causa um aumento da energia cinética dos carros.
v_{12,i}=0
v_{12,f}>0
K
K
E_m
E_m
\Delta K
\Delta E_q
Separações explosivas
Na separação explosiva dos carrinhos é possível determinar as velocidades finais.
Note que o coeficiente de restituição: \(e=v_{12,f}/v_{12,i} \rightarrow \infty\), pois \(v_{12,i}=0\).
0=m_{1}v_{1x,f}+m_2v_{2x,f}
\Delta K + \Delta E_{int} = 0
Conservação do momento linear
Conservação da energia
\Delta E_{int} =-\left(\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 +\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2\right)
v_{2x,f}=-\frac{m_1v_{1x,f}}{m_2}
K_f + \Delta E_{int} = 0
Problemas dos livros
Usualmente, são utilizadas as seguintes equações quando há dois objetos.
\frac{1}{2}m_1v_{1x,i}^2+
\frac{1}{2}m_2v_{2x,i}^2=
\frac{1}{2}m_1v_{1x,f}^2
+\frac{1}{2} m_2v_{2x,f}^2
m_1v_{1x,i}+m_2v_{2x,i}=m_1v_{1x,f}+ m_2v_{2x,f}
v_{2x,i}-v_{1x,i}=-(v_{2x,f} - v_{1x,f})
São essas equações que deve memorizar. Mas os casos a seguir não têm como "decorar". São inúmeras as possibilidades. Deve apenas lembrar dos princípios de conservação. Então, aplicar as equações acima para dois objetos.
Rapidez relativa
Momento linear
Energia cinética
v_{21,i}=-v_{12,f}
p_{s,i}=p_{s,f}
K_{s,i}=K_{s,f}
Problemas dos livros.
Deduções implicam em manipulações algébricas das equações dessa aula.
(v_{2x,f} - v_{1x,f})=-(v_{2x,i}-v_{1x,i})
m_2(v_{2x,f}-v_{2x,i})=-m_1(v_{1x,f} - v_{1x,i})
v_{2x,f} + v_{2x,i}=v_{1x,f}+v_{1x,i}
m_2(v_{2x,f}-v_{2x,i})
(v_{2x,f}+v_{2x,i})
=-m_1(v_{1x,f} - v_{1x,i})(v_{1x,f}+v_{1x,i})
m_2v_{2x,f}^2-m_2v_{2x,i}^2
=-(
m_1v_{1x,f}^2-m_1v_{1x,i}^2)
\frac{1}{2}m_2v_{2x,f}^2-
\frac{1}{2}m_2v_{2x,i}^2
=
\frac{1}{2}m_1v_{1x,f}^2-
\frac{1}{2}m_1v_{1x,i}^2
Princípio da conservação do momento linear: \(\Delta p_{2}+\Delta p_{1}=0\).
Princípio da conservação da energia cinética: \(\Delta K_{s,i}+\Delta K_{s,f}=0\).
\Delta p_2 + \Delta p_1 = 0
\frac{1}{2}\left(m_2v_{2x,f}^2-m_2v_{2x,i}^2\right)
=-\frac{1}{2}\left(
m_1v_{1x,f}^2-m_1v_{1x,i}^2\right)
\Delta K_2 + \Delta K_1 = 0
Problemas dos livros
Os dois objetos estão em movimento. Você não precisa decorar. Não faça isso!
É possível mostrar que (faça isso!):
v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}+
\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}
+
\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_{2i}
As velocidades finais de (1) e (2) podem ser determinadas a partir das velocidades iniciais de (1) e (2).
Quais os sinais das velocidades finais de 1 e 2 se:
a) \(m_1 = m_2\) ?
b) \(m_1 > m_2\) ?
c) \(m_1 < m_2\) ?
d) \(m_1 >> m_2\) ?
e) \(m_1 << m_2\) ?
\frac{1}{2}m_1v_{1x,i}^2+
\frac{1}{2}m_2v_{2x,i}^2=
\frac{1}{2}m_1v_{1x,f}^2
+\frac{1}{2} m_2v_{2x,f}^2
m_1v_{1x,i}+m_2v_{2x,i}=m_1v_{1x,f}+ m_2v_{2x,f}
v_{2x,i}-v_{1x,i}=-(v_{2x,f} - v_{1x,f})
Problemas dos livros
O objeto 2 está em repouso.
\frac{1}{2}m_1v_{1x,i}^2
=
\frac{1}{2}m_1v_{1x,f}^2
+\frac{1}{2} m_2v_{2x,f}^2
m_1v_{1x,i}=m_1v_{1x,f}+ m_2v_{2x,f}
v_{1x,i}=-(v_{2x,f} - v_{1x,f})
É possível mostrar que (faça isso!):
v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}
As velocidades finais de (1) e (2) podem ser determinadas a partir da velocidade inicial de (1).
Quais os sinais das velocidades se:
a) \(m_1 = m_2\) ?
b) \(m_1 > m_2\) ?
c) \(m_1 < m_2\) ?
d) \(m_1 >> m_2\) ?
e) \(m_1 << m_2\) ?
Problemas dos livros
Os dois objetos ficam grudados após a colisão.
\frac{1}{2}m_1v_{1x,i}^2
+
\frac{1}{2}m_2v_{2x,i}^2
=
\frac{1}{2}(m_1+m_2)v_{x,f}^2
m_1v_{1x,i}+m_2v_{2x,i}=(m_1+m_2)v_{x,f}
É possível mostrar que (faça isso!):
v_{x,f}=\frac{m_1 v_{1x,i}+m_2v_{2x,i}}{m_1+m_2}
A velocidade final pode ser determinada a partir das velocidades iniciais de (1) e (2) e vice-versa.
Quais os sinais das velocidades se:
a) \(m_1 = m_2\) ?
b) \(m_1 > m_2\) ?
c) \(m_1 < m_2\) ?
d) \(m_1 >> m_2\) ?
e) \(m_1 << m_2\) ?
Exercício 1 (A5.P1-02)
As seguintes colisões são elásticas, inelásticas ou totalmente inelásticas?
(a) Uma bola de bilhar vermelha movendo-se a \(v_{v,i}\) = +2,2 m/s bate uma bola de bilhar branca inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola vermelha fica em repouso e a bola branca move-se a uma velocidade \(v_{b,f}\) = +1,9 m/s.
(b) Um carrinho movendo-se ao longo de uma pista a \(v_{1,i\) = +1,2 m/s bate no carrinho 2 inicialmente em repouso. Após a colisão, os dois carros se movem a \(v_{1,f}\) = +0,4 m/s e \(v_{2,f}\) = +1,6 m/s.
(c) Um pedaço de massa movendo-se a \(v_{m,i}\) = +22 m/s atinge um bloco de madeira em movimento a \(v_{b,i}\) = +1,0 m/s. Após a colisão, os dois se movem em \(v_f\) = +1,7 m/s.
Exercício 2 (A5.P1-05)
Dois carros, um de inércia \(m_1\) = 0,25 kg e outro de inércia \(m_2\) = 0,40 kg, percorrem uma pista horizontal reta com velocidades \(v_{1,i}\) = +0,20 m/s e \(v_{2,i}\) = -0,050 m/s. Quais são as velocidades dos carrinhos após colidirem elasticamente?
Exercício 3 (A5.P1-06)
Uma bola de borracha de inércia \(m_b\) = 0,050 kg é disparada ao longo de uma pista em direção a um carrinho estacionário de inércia \(m_c\) = 0,25 kg. A energia cinética do sistema após os dois colidirem elasticamente é de 2,5 J. (a) Qual é a velocidade inicial da bola? (b) Quais são as velocidades finais da bola e do carrinho?
Exercício 4 (A5.P1-07)
Um carro branco de inércia de 1200 kg que se move a uma rapidez de 7,2 m/s bate na traseira de um carro azul de inércia de 1000 kg que está inicialmente em repouso. Imediatamente após a colisão, o carro branco tem uma rapidez de 3,6 m/s. Qual é o coeficiente de restituição para esta colisão?
Exercício 5 (A5.P1-08)
O carrinho 1 tem inércia \(m_1\) = 0,25 kg e rapidez \(v_1\) = 2,0 m/s. O carrinho 2 tem inércia \(m_2\) = 0,50 kg e rapidez \(v_2\) = 1,0 m/s. Cada carrinho na figura recebe metade da energia da mola? Por que ou por que não?
Exercício 6 (A5.P1-09)
Um foguete de dois estágios está viajando a 4000 m/s antes que os estágios se separem. O primeiro estágio de 3000 kg é empurrado para fora do segundo estágio com uma carga explosiva, após o que o primeiro estágio continua a viajar na mesma direção a uma rapidez de 2500 m/s. ( a ) Com que rapidez e em que direção o segundo estágio de 1500 kg viaja após a separação? ( b ) Quanta energia é liberada pela separação explosiva dos dois estágios?
Exercício 7 (A5.P2-03)
Um carrinho em movimento colide com um carrinho idêntico, inicialmente em repouso em uma pista de baixo atrito, e os dois travam juntos. Que fração da energia cinética inicial do sistema permanece nessa colisão totalmente inelástica
Exercício 8 (A5.P2-06)
Um carrinho em movimento colide com um carrinho idêntico, inicialmente em repouso em uma pista de baixo atrito, e os dois travam juntos. Que fração da energia cinética inicial do sistema permanece nessa colisão totalmente inelástica
Exemplo 9 (H9.51)
Uma bala de 3,50 g é disparada horizontalmente contra dois blocos inicialmente em repouso em uma mesa sem atrito. A bala atravessa o bloco 1 (com 1,20 kg de massa) e fica alojada no bloco 2 (com 1,80 kg de massa). A velocidade final do bloco 1 é \(v_{1f}\) = 0,630 m/s, e a do bloco 2 é \(v_{2f}\)= 1,40 m/s. Desprezando o material removido do bloco 1 pela bala, calcule a velocidade da bala (a) ao sair do bloco 1 e (b) ao entrar no bloco 1.
Exemplo 10 (H9.52)
Uma bala de 10 g que se move verticalmente para cima a 1000 m/s se choca com um bloco de 5,0 kg inicialmente em repouso, passa pelo centro de massa do bloco e sai do outro lado com uma velocidade de 400 m/s. Qual é a altura máxima atingida pelo bloco em relação à posição inicial?
Exemplo 11 (H9.60)
O bloco A (com massa de 1,6 kg) desliza em direção ao bloco B (com massa de 2,4 kg) ao longo de uma superfície sem atrito. Os sentidos de três velocidades antes (i) e depois (f) da colisão estão indicados; as velocidades escalares correspondentes são \(v_{Ai}\) = 5,5 m/s, \(v_{Bi}\) = 2,5 m/s e \(v_{Bf}\) = 4,9 m/s. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para a esquerda ou para a direita) da velocidade \(v_{Af}\). (c) A colisão é elástica?
Exemplo 12 (H9.64)
Uma bola de aço, de massa 0,500 kg, está presa em uma extremidade de uma corda de 70,0 cm de comprimento. A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando a corda está na horizontal. Na parte mais baixa da trajetória, a bola se choca com um bloco de metal de 2,50 kg inicialmente em repouso em uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. Determine (a) a velocidade escalar da bola e (b) a velocidade escalar do bloco, ambas imediatamente após a colisão.
Exemplo 13 (H9.68)
O bloco 1, de massa \(m_1\), desliza a partir do repouso em uma rampa sem atrito a partir de uma altura h = 2,50 m e colide com o bloco 2, de massa \(m_2\) = 2,00 \(m_1\), inicialmente em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de atrito cinético μk é 0,500 e para, depois de percorrer uma distância d nessa região. Qual é o valor da distância d se a colisão for (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica?
Sistema de massa variável
Como pode?
Sistema de massa variável
O foguete tem inércia M = (m + dm), onde dm representa uma pequena quantidade de combustível ainda a bordo, mas prestes a ser expelida. Este é o instante inicial t.
A velocidade do foguete de inércia M é vrocket no tempo t.
v(t_i) = v_i = v_{rocket}
Em seguida, uma pequena quantidade de combustível (dm) é ejetada do foguete (dentro do sistema) em um instante t + dt, pouco tempo depois.
O foguete se move a uma velocidade ligeiramente maior nesse tempo futuro:
v(t_i+dt) = v_f = v_{rocket}+dv_{rocket}
Sistema de massa variável
A velocidade do elemento de massa ejetado é
\vec v_{dm}=\vec v_{fuel}+\vec v_{rocket}
O sistema é isolado:
\vec P_{sis,i}=\vec P_{sis,f}
(m+dm)\vec v_{rocket}=dm(\vec v_{fuel} +\vec v_{rocket})+m(\vec v_{rocket}+d\vec v_{rocket})
d\vec v_{rocket}=-\vec v_{fuel}\frac{dm}{m}
Sistema de massa variável
Essa equação descreve uma equação diferencial da variação da velocidade do foguete que ocorre um curto intervalo de tempo
d\vec v_{rocket}=-\vec v_{fuel}\frac{dm}{m}
Para determinar a variação da velocidade do foguete, integramos:
\vec v_{rocket,f}-
\vec v_{rocket,i}
=
-
\vec v_{fuel}\ln\left(
\frac{m_f}{m_i}
\right)
A velocidade do foguete é sempre oposta ao sentido da velocidade do combustível ejetado.
A inércia inicial do foguete mais o combustível é sempre maior que a inércia final.
Assim, o logaritmo é sempre um número positivo, e a rapidez do foguete está sempre aumentado.
Quando o combustível acaba \(v_{rocket}\) é constante!
Sistema de massa variável
Exemplo:
\vec v_{rocket,f}-
\vec v_{rocket,i}
=
-
\vec v_{fuel}\ln\left(
\frac{m_f}{m_i}
\right)
m_i = 200\times 10^3\text{ kg}
m_f = 200\times 10^3\text{ kg} - 9,00\times 10^3 \text{ kg}=191\times 10^3\text{ kg}
v_f = 500 \text{m/s}
\Delta v_{rocket} =500\ln\left(
\frac{200\times 10^3}{191\times 10^3}
\right)=23 \text{ m/s}
Sistema de massa variável
Exemplo:
A partir do vídeo (LINK):
t=\frac{1}{24}\times 100=4,2\text{ s}
Qual é a aceleração nesses 60 m de subida inicial?
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
a=\frac{2\Delta x}{t^2}
a=6,8\text{ m/s}^2
A velocidade final nesse intervalo:
\Delta v = at
\Delta v = 29\text{ m/s}
LINK
FM - Aula 17
By Ronai Lisboa
FM - Aula 17
Momento linear. Velocidade e rapidez relativa. Colisões elástica, inelástica e totalmente inelástica. Coeficiente de restituição. Separação explosiva. A conservação do momento linear e da energia cinética.
