Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 18
Fundamentos de Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
UFRN - ECT - BCT
Objetivos
Explicar o Movimento Harmônico Simples (MHS).
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Reconhecer o MHS em diversos fenômenos naturais e experimentos.
Analisar o movimento do sistema massa-mola:
- Equação do movimento.
- Função do movimento.
- Gráficos do movimento.
Bibliografia
Tipler & Mosca
Capítulo: 14
Seção: 14.1
Fonte: TiplerAssociar o MHS ao MCU.
Veja exercícios indicados no SIGAA.
Movimento harmônico...
Fonte: https://www.magnusmundi.comMotivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
O balanço no fim do mundo...
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
O que nos permite ouvir?
Curva de Fletcher-Munson: LINK.
Fonte: G1Nossos ouvidos são capazes de detectar oscilações na faixa de frequência de 20 Hz a 20 kHz.
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
O que nos permite enxergar?
Hue-Teste: LINK
Fonte: https://coralplaza.com.br/Nos nossos olhos há moléculas que nos permitem detectar ondas eletromagnéticas em uma faixa de comprimento de onda muito limitada (~ 400 – 700 nm).
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
Como nos comunicamos, compartilhamos informações e percebemos a nós e o mundo?
Ondas eletromagnéticas: Imagem, Comunicações, Transporte de energia.
Ondas mecânicas: Som e imagem
Ligações moleculares
Luz visível
GPS
WiFi - Bluetooth
Transporte de enegia
Música - Voz
Imagem por ultrassom
Propriedades dos materiais
A energia radiativa é transmitida do sol para a Terra como ondas eletromagnéticas. O sol fornece a maior parte da energia do mundo.
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
O espectro eletromagnético
O espectro eletromagnético é composto por todas as frequências de radiação eletromagnética que propagam energia e viajam pelo espaço na forma de ondas. É usado para todas as formas de comunicação sem fio, incluindo: telefone celular, transmissão de rádio e televisão, localização de posição GPS, navegação de rádio aeronáutica e marítima e comando e controle de satélite.
Fonte: Nasa
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
Em algum lugar acima de você agora, um avião está transmitindo sua localização, velocidade e rumo em 1090 MHz . Um satélite meteorológico geoestacionário a 35 mil quilômetros da Terra está transmitindo mapas meteorológicos detalhados em 1.694,1 MHz .Um satélite GPS voando a 13.000 quilômetros por hora está enviando um sinal para o seu telefone a 1.575,42 MHz . Um carro passando por sua casa está transmitindo um sinal com a leitura da pressão de um de seus pneus em 315 MHz .
Fonte: Nasa
O espectro eletromagnético
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
Osciladores harmônicos fornecem a base física para entender as oscilações e ondas.
Massa-mola
Pêndulo
Cordas
Vigas
Fonte: https://karamba3d.com
Nesse curso vamos estudar as oscilações. Em cursos futuros vocês devem estudar as ondas.
Qual a diferença entre oscilações e ondas?
Motivação
Sistemas mecânicos oscilam
Sem amortecimento a oscilação é mantida no tempo.
Com amortecimento a oscilação diminui no tempo.
Fonte: Adaptado de PHETFonte: Adaptado de PHETMotivação
Os sistemas elétricos oscilam
Indutores
Capacitores
Resistores
Os indutores, capacitores e resistores controlam a distribuição de energia nos circuitos elétricos.
Quais os análogos eletro-mecânicos?
m
m
L
L
k
k
1/C
1/C
x
x
q
q
Motivação
O clima oscila
A Oscilação do Sul é a diferença na pressão do ar medida entre as regiões orientais (Tahiti) e ocidentais (Darwin, Austrália) do Oceano Pacifico. Quando a pressão é elevada em Darwin é baixa no Tahiti e vice-versa.
Valores negativos elevados em vermelho representam episódios de El Niño enquanto que valores positivos elevados a azul se referem a condições de La Niña.
FONTE: http://enos.cptec.inpe.br
As pontes oscilam
Amplitude máxima:
Período do evento:
A=±60 cm
A = \pm 60\text{ cm}
T=7 min
T = 7\text{ min}
Fonte: https://youtu.be/mOsazjJkqCc
Motivação
Motivação. O movimento harmônico está ao nosso redor.
A compreensão das vibrações e ondas é essencial para a compreensão do nosso mundo físico.
Muito do que vemos e ouvimos só é possível por causa de vibrações e ondas.
Cientistas e engenheiros aprenderam a usar ondas para entender melhor nosso ambiente e compartilhar informações ao redor do mundo.
MODELAGEM FÍSICA E MATEMÁTICA
Os sistemas oscilatórios podem ser modelados como uma mola ou um pêndulo com a finalidade de analisar o movimento.
Procuramos uma lei física para prever o movimento periódico.
A hipótese é que o deslocamento a partir do equilíbrio varie pouco para uma dada força aplicada.
O movimento harmônico simples é um tipo especial de movimento repetitivo, exibido por um pêndulo ou um objeto sobre uma mola.
Real
Modelo
U(x)
U(x)
−U(0)
-U(0)
x0
x_0
x
x
F(x)
F(x)
x
x
x0
x_0
F=−dxdU≈−k(x−x0)
F=-\frac{dU}{dx}\approx -k (x-x_0)
U=A+B(x−x0)2
U=A+B(x-x_0)^2
Equilíbrio estável
;k=2B
;k=2B
Umin=A<0
U_{min}=A<0
+C(x−x0)3
+C(x-x_0)^3
+D(x−x0)4
+D(x-x_0)^4
A Lei de Hooke. Movimento próximo do equilíbrio.
Fonte: PHET
No equilíbrio a força que a mola exerce sobre o pivô é nula.
A força que a mola exerce sobre o pivô sempre atua no sentido de restaurar o equilíbrio.
O sentido da força que a mola exerce sobre o pivô é sempre contrário ao do deslocamento a partir do ponto de equilíbrio.
Esse tipo de força de natureza elástica é dita uma força restauradora.
A Lei de Hooke. Movimento próximo do equilíbrio.
Fonte: PHET
A lei de Hooke (pequenas deformações) é escrita como uma força restauradora:
A constante elástica (k) é a dureza da mola (dimensão força/comprimento : N/m).
A posição (x0) é o comprimento de equilíbrio da mola (dimensão de comprimento: m).
A posição (x) é o comprimento de deformação da mola (dimensão de comprimento: m).
F(x)=−k(x−x0)
F(x)=-k(x-x_0)
F(x)=−kx
F(x)=-kx
ou
Qual é o valor de k?
x0=1,000 m
x=1,400 m
O movimento harmônico simples. A equação do MHS:
A lei de Hooke define completamente o movimento do objeto para pequenos deslocamentos próximo do equilíbrio:
Sendo a força resultante atuando sobre o objeto, então, pela 2a. lei de Newton:
F=−kx
F=-kx
Aplicando o cálculo:
ma=−kx
ma=-kx
dt2d2x=−ω02x
\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x
O parâmetro ω0 é definido como frequência angular porque sua dimensão é do inverso do tempo. No Sistema Internacional é o rad/s.
ω02=mk
\omega_0^2 = \frac{k}{m}
onde
Algo notável sobre a Lei de Hooke é que a força não é constante. Ela muda de magnitude e sentido!
Fonte: TiplerUma vez construído um sistema oscilatório do tipo massa-mola, a frequência angular fica definida pela própria construção do sistema.
O movimento harmônico simples. A equação do MHS:
O movimento desse sistema massa-mola é modelado por meio de uma Equação Diferencial de Segunda Ordem (EDO):
A solução da equação é a função de movimento que fornece a posição do objeto (x) para qualquer tempo (t). A solução da equação é uma função x(t).
Qual é a função, x, que satisfaz a EDO?
dt2d2x=−ω02x
\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x
Deve ser uma função que derivada duas vezes no tempo seja a própria função!
dt2d2x∝x
\frac{d^2x}{dt^2}\propto x
O movimento harmônico simples. A função do MHS:
A solução da EDO deve ser uma função periódica no tempo. Uma possibilidade (entre outras) é:
Como verificar que essa função é uma solução da EDO?
x(t)=x0cos(ω0t+δ)
x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)
Posição
dt2d2x=−ω02x
\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2x
TESTE:
1) Derive uma vez no tempo:
dtdx(t)=−ω0x0 sen(ω0t+δ)
\frac{dx(t)}{dt} = -\omega_0x_0\text{ sen}(\omega_0t+\delta)
Velocidade
2) Derive duas vezes no tempo:
dt2d2x(t)=−ω02x0 cos(ω0t+δ)
\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x_0\text{ cos}(\omega_0t+\delta)
Aceleração
3) Substitua na EDO:
dt2d2x(t)=−ω02x(t)
\frac{d^2x(t)}{dt^2} = -\omega_0^2x(t)
ax(t)=−ω02x(t)
a_x(t)= -\omega_0^2x(t)
F=−kx
F= -kx
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
O movimento harmônico simples é modelado pela equação
A solução é uma função periódica no tempo. Exemplo:
x(t)=x0cos(ω0t+δ)
x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)
Quais os significados dos parâmetros: A,ω0,δ?
dt2d2x(t)+ω02x(t)=0
\frac{d^2x(t)}{dt^2} +\omega_0^2x(t) = 0
Equação
Função
São esses os objetivos da aula.
fase
Constante de fase
Frequência angular
Amplitude
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
Amplitude do MHS: A ou xmax ou x0.
Representa a deformação máxima (∣xmax∣=A) a partir da posição de equilíbrio.
A amplitude não é função do tempo.
A amplitude tem dimensão de comprimento.
x(t)=x0cos(ω0t+δ)
x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t +\delta)
+A
+A
−A
-A
amplitude
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
O período no MHS: T
Está relacionado ao tempo de ida e volta do objeto ao completar uma oscilação.
O tempo para uma oscilação completa tem o nome de Período, T.
A dimensão do período é o tempo e a unidade no Sistema Internacional é o segundo.
Fonte: GeogebraT
T
T
T
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
O objeto retornou a sua posição inicial e o tempo avançou do período T. Sua posição é a mesma nos tempos t+T e t:
x(t+T)=x(t)
x(t+T) = x(t)
x0cos[ω0(t+T)+δ]=x0cos[ω0t+δ]
x_0\cos[\omega_0 (t+T) +\delta]=
x_0\cos[\omega_0 t +\delta]
x0cos[ω0t+ω0T+δ]=x0cos[ω0t+δ]
x_0\cos[\omega_0 t +\omega_0 T+\delta]=
x_0\cos[\omega_0 t +\delta]
Uma vez que cos(θ+2πn)=cos(θ), a igualdade anterior é satisfeita quando:
ω0T=2πn
\omega_0 T = 2\pi n
O período T é o tempo para completar um ciclo (n=1):
T=ω02π
T=\frac{2\pi}{\omega_0}
T=mk2π
T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}
T=2πkm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
≡elaˊsticainercial
\equiv\frac{inercial}{elástica}
O período no MHS: T
t
t
t+T
t+T
t
t
t+T
t+T
O período é pequeno para objetos com pequena massa e é grande para objetos com grande massa se a propriedade elástica é a mesma.
x(t)
x(t)
x(t+T)
x(t+T)
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
Frequência angular do MHS: ω0
Está relacionada à rapidez em uma oscilação completa.
A frequência angular ω0 é proporcional ao recíproco do período T.
A frequência angular e o período não dependem da amplitude do MHS.
ω0=T2π
\omega_0=\frac{2\pi}{T}
Tem unidade de radianos/segundo (rad/s).
ω0=mk
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}
Fonte: GeogebraT=2πkm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
Frequência do MHS: f0
A frequência angular, ω0 pode ser relacionada à frequência de oscilação, f0:
A frequência é numericamente igual ao número de oscilações completadas em 1 s.
f0=2πω0
f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}
Tem dimensão de 1/s, ou hertz (Hz)
f0=T1
f_0=\frac{1}{T}
f0=ω02π1
f_0=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega_0}}
Para o sistema massa-mola:
ω0=mk
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
T=2πkm
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
f0=2π1mk
f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
Não importa como colocamos o bloco preso a mola para oscilar! O tempo para completar um ciclo (ir e voltar) será sempre o mesmo para o sistema massa-mola porque depende apenas das características do sistema: {m, k}.
Você compreende esta afirmação?
Deveria!
O movimento harmônico simples. Parâmetros do MHS.
A constante de fase MHS: δ ou φ0
É uma condição inicial do sistema massa-mola.
Está relacionada ao estágio onde o objeto é encontrado num tempo t tomado como inicial. Usualmente, t = 0.
A constante de fase é dada em radianos.
Todos os valores da constante de fase entre 0 e π rad correspondem a uma partícula na metade superior do círculo que se desloca para a esquerda (a partir de t = 0).
Todos os valores da constante de fase entre π e 2π rad correspondem a uma partícula na metade inferior do círculo que se desloca para a direita (a partir de t = 0).
Fonte: GeogebraO movimento harmônico simples. Cinemática.
A posição, velocidade e aceleração são lidos no eixo vertical para cada instante de tempo que é lido no eixo horizontal.
As funções x(t),v(t),a(t) são os modelos matemáticos para um objeto oscilando no tempo.
x(t)=Acos(ω0t+ϕ0)
x(t) = A\,\text{cos}\left(
\omega_0 t+\phi_0
\right)
Fonte: GeogebraAs funções permitem descrever o movimento sem a necessidade de desenhar.
v(t)=−ω0Asen(ω0t+ϕ0)
v(t) = -\omega_0 A\text{sen}\left(
\omega_0 t+\phi_0
\right)
a(t)=−ω02Acos(ω0t+ϕ0)
a(t) = -\omega_0^2 A\text{cos}\left(
\omega_0 t+\phi_0
\right)
No MHS você sempre vai obter a relação de recorrência:
a(t)=−ω02x(t)
a(t)=-\omega_0^2 x(t)
O movimento harmônico simples. Cinemática.
Cada imagem registra uma posição e um instante de tempo. Deslocando as imagens vemos que o movimento é periódico no tempo.
Conhecida a função movimento, nós obtemos toda a informação do movimento.
No equilíbrio (FR=0):
Nos pontos de retorno:
x=0
x=0
v=±vmax=±ω0A
v=\pm v_{max}=\pm\omega_0A
a=0
a=0
x=±A
x=\pm A
v=0
v=0
a=±amax=±ω02A
a=\pm a_{max}=\pm \omega_0^2A
Fonte: Eric Mazurvmax
\vec v_{max}
a=0
\vec a = \vec 0
amax
\vec a_{max}
v=0
\vec v = \vec 0
amax
\vec a_{max}
v=0
\vec v = \vec 0
a=0
\vec a = \vec 0
vmax
\vec v_{max}
amax
\vec a_{max}
v=0
\vec v = \vec 0
Você será avaliado se sabe dizer estas direções em um tempo t qualquer do movimento do objeto.
FR=−kx
F_R=-kx
retorno
retorno
equilíbrio
retorno
equilíbrio
equilíbrio
O movimento harmônico simples. Cinemática.
Os gráficos da cinemática fornecem diversas informações sobre o movimento.
Em quais intervalos a velocidade é negativa e positiva em um gráfico x(t)?
A inclinação da reta tangente (ou secante) determina o sinal da velocidade?
v<0
v<0
v=0
v=0
v>0
v>0
negativa
nula
positiva
Em quais instantes a velocidade é nula em um gráfico x(t)?
negativa
nula
positiva
a<0
a<0
a>0
a>0
Para quais intervalos a aceleração é positiva, nula e negativa?
O movimento harmônico simples. Cinemática.
Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.
No círculo, a posição é dado pelo ângulo de fase:
φ=ω0t+δ
\varphi = \omega_0 t +\delta
No eixo x, é dada pela projeção do fasor R na reta:
x(t)=Rcos(ω0t+δ)
x(t) = R\cos\left(
\omega_0 t+\delta
\right)
onde R=A, a amplitude do deslocamento.
Fonte: GeogebraA posição da partícula de massa m.
cosφ=Rx(t)
\cos\varphi=\frac{x(t)}{R}
O movimento harmônico simples. Cinemática.
A velocidade da partícula de massa m.
No círculo é dado pelo vetor tangente:
v(t)
\vec{\text{v}}(t)
No eixo x, é dada pela projeção do vetor, v(t), na reta:
vx(t)=v cos(2π−(ω0t+δ))
v_x(t) =\text{v }\text{cos}\left(
\frac{\pi}{2}-(\omega_0 t+\delta)
\right)
onde v=ωR é a amplitude da velocidade.
Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.
Fonte: Geogebravx
v_x
cosθ=vvx(t)
\text{cos}\theta=\frac{v_x(t)}{\text{v}}
v=ω0R
{\text{v}}=\omega_0R
vx(t)
v_x(t)
θ
\theta
que faz um ângulo θ=π/2−φ com a horizontal.
φ
\varphi
vx(t)=v sen(ω0t+δ)
v_x(t) =\text{v }\text{sen}
(\omega_0 t+\delta)
θ
\theta
O movimento harmônico simples. Cinemática.
A aceleração da partícula de massa m.
No círculo é dado pelo vetor radial:
a(t)
\vec a(t)
No eixo x, é dada pela projeção do vetor na reta:
ax(t)=a cos(ω0t+δ)
a_x(t) =\text{a }\text{cos}\left(
\omega_0 t+\delta
\right)
onde a=ω02R é a amplitude da aceleração.
Existe uma correspondência entre o MHS e o MCU.
Fonte: Geogebraax
a_x
a=ω02R
{\text{a}}=\omega_0^2R
ax(t)
a_x(t)
φ
\varphi
cosφ=aax(t)
\text{cos}\varphi=\frac{a_x(t)}{\text{a}}
φ
\varphi
RESUMO
Inicie o tutorial ao lado.
Visualize as simulações e a correspondência entre o movimento, gráficos e equações.
Questão 1
Dada a função que representa um sistema massa-mola:
x(t)=4,0cos(2πt+23π)
x(t) = 4,0 \cos\left(
\frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2}
\right)
a) Qual a frequência angular?
b) Qual a frequência?
c) Qual o período?
Considere a posição em metros e o tempo em segundos.
(a) No tempo indicado, em que posição está o objeto?
(e) Em que tempo o objeto passará novamente por essa posição?
(b) Qual é a amplitude?
(c) Qual é o período?
(d) Qual é a constante de fase?
x(t)=Acos(ω0t+ϕ0)
x(t) = A\cos\left(
\omega_0 t+\phi_0
\right)
Questão 2
Dada a função que representa um sistema massa-mola:
x(t)=4,0cos(2πt+23π)
x(t) = 4,0 \cos\left(
\frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2}
\right)
a) Qual a constante de fase?
b) O objeto está se deslocando no sentido positivo ou negativo do eixo x?
Considere a posição em metros e o tempo em segundos.
c) Qual a posição e a velocidade no instante t = 2,0 s?
d) Qual a posição e a velocidade no instante t = 0 s?
Questão 3
Questão 4
Dada a função que representa um sistema massa-mola:
x(t)=4,0cos(2πt+23π)
x(t) = 4,0 \cos\left(
\frac{\pi}{2}t+\frac{3\pi}{2}
\right)
a) Qual a posição da massa no tempo t = 2,0 s?
b) Qual a velocidade da massa no tempo t = 2,0 s?
c) Qual a aceleração da massa no tempo t = 2,0 s?
Considere a posição em metros e o tempo em segundos.
d) Se a massa tem valor m=2,0 kg, qual a constante da mola?
A inclinação da reta tangente determina o sinal e a magnitude da velocidade em um instante de tempo.
v1 e v2>0
v_1 \text{ e } v_2 > 0
A partícula está desacelerando, pois v>0 e a<0.
v3 e v4<0
v_3\text{ e }v_4 < 0
A partícula está acelerando, pois v<0 e a<0.
(a) Qual é a função movimento do sistema massa-mola mostrado no gráfico abaixo?
t1
t_1
t2
t_2
t3
t_3
t4
t_4
Questão 5
(b) Qual é a função velocidade do sistema massa-mola mostrado no gráfico abaixo?
Questão 6
Uma mola de constante elástica k = 56,0 N/m tem um peso de chumbo, com massa de 1,00 kg, preso na extremidade. O peso é puxado em +5,5 cm a partir do ponto de equilíbrio e depois é solto de modo a adquirir uma velocidade inicial de -0,32 m/s. Qual é a equação de movimento da oscilação resultante?
Antes de resolver:
No instante acima, qual o sentido da força elástica sobre o bloco?
No instante acima, qual o sentido da aceleração sobre o bloco?
No instante acima, a velocidade aumenta ou diminui em magnitude?
Em que região, a aceleração e velocidade têm sentidos contrários ao soltar a massa? A velocidade vai aumentar ou diminuir?
Questão 7
Um bloco de 1,55 kg desliza sobre um plano horizontal ligado a uma mola horizontal de constante elástica k = 2,55 N/m. O bloco é puxado para a direita por uma distância d = 5,75 cm e liberado a partir do repouso. Qual será a velocidade do bloco 1,50 s após ser liberado?
Fonte: Wolfgang & BauerQuestão 8
Astronautas no espaço não conseguem se pesar ficando em pé sobre uma balança comum de banheiro. Em vez disso, eles determinam sua massa oscilando presos a uma grande mola. Suponha que uma astronauta prenda a extremidade de uma grande mola a seu cinto e a outra extremidade a um gancho fixado no interior da nave espacial. Outro astronauta a puxa na direção oposta ao gancho e a solta. O comprimento da mola em função do tempo é mostrado na figura.
a. Qual é a massa da astronauta se a constante elástica for de 240 N/m?
b. Qual é sua velocidade quando o comprimento da mola for de 1,2 m?
Fonte: Randall KnightQuestão 9
(c) Escreva a equação para x(t).
(a) Determine que gráfico mostra apropriadamente a posição da bola como uma função do tempo.
(b) Determine a frequência e o período do movimento.
(d) Se a massa da bola é 2 kg, qual é a constante elástica?
Questão 10
(b) Escreva a equação para vx(t).
(a) Determine que gráfico mostra apropriadamente a velocidade da bola como uma função do tempo.
(c) Qual é a energia mecânica total do sistema (próxima aula).
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Oscilações. Movimento Harmônico Simples (MHS). Sistema massa-mola. Cinemática no MHS.
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