Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 01
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Aula 1
Relatar grandezas físicas derivadas.
Realizar a análise dimensional de equações físicas.
Operar ordens de grandeza (magnitude).
Associar a potência de dez aos respectivos prefixos.
Converter unidades não decimais para unidades decimais.
Efetuar operações obedecendo as normas técnicas dos algarismo significativos.
Bibliografia:
Tipler - Cap. 1
Seções 1.1 a 1.5 (pag. 2 a 12 )
-/-/-
Ao final do capítulo há os exercícios separados por seções. Alguns são indicados na lista para estudos.
Relatar grandezas físicas derivadas.
Reconhecer as grandezas físicas fundamentais.
O mínimo obrigatório é estudar a referência e a lista de exercícios (veja SIGAA)
Grandezas físicas fundamentais
As práticas comerciais datam de 3000 a.C. e como não existia nenhum sistema monetário, os fenícios realizavam suas transações na base da troca.
Como as pessoas tinham produtos diferentes, claramente havia a necessidade de um sistema de medidas mais seguro e universal, sobretudo para facilitar e tornar mais justas as transações comerciais, além de garantir a coerência e confiança das medições.
“O homem é a medida de todas as coisas”
Protágoras de Abdera (2400 a.c.)
Grandezas físicas fundamentais
O quadrado mostrado abaixo é pequeno ou grande?
Para responder essa questão você precisa de um padrão para comparar.
O padrão precisa ser de mesma natureza. Em relação ao padrão, o quadrado mostrado é grande.
padrão
Grandezas físicas fundamentais
A partir da Revolução Francesa, a Academia de Ciências de Paris, fundada em 1790 decidiu estabelecer um sistema nacional de unidades (sistema métrico) a fim de substituir as unidades existentes até essa data (o homem deixou de ser a medida de todas as coisas).
1\text{ metro} = \frac{10}{1000000} \text{meridiano}
Essa medida ocorreu entre os anos de 1792 e 1798 e foi adotada em 1799.
Portal no Castelo de Sortelha, em Portugual.
Fachada do Ministério da Justiça em Paris
Em 1879, fabricou-se uma barra padrão de alumínio, que media 1 metro, guardada em condições controladas e que era replicada para outros lugares.
Grandezas físicas fundamentais
Até 1960, os valores das constantes fundamentais eram determinados a partir de observações, experimentos e protótipos. O sistema métrico (MKS):
O tempo era definido a partir de uma fração de um dia terrestre. Um segundo era 1/86.400 de um dia terrestre.
O comprimento era definido a partir do comprimento de uma barra feita de platina-irídio.
A massa era definida a partir de um cilindro produzido a partir de platina-irídio.
Fonte: https://www.nist.gov
Grandezas físicas fundamentais
O novo SI, tem todas as unidades definidas a partir de constantes fundamentais, foi adotado oficialmente a partir de 20 de maio de 2019, uma data muito simbólica: o Dia Mundial da Metrologia, o aniversário da Convenção do Metro.
Fonte: https://metrologia.org.br/
Fonte: https://codata.org!pip install pycodata
#!/usr/bin/env python
r"""EXAMPLE in PYTHON"""
import sys
sys.path.insert(0, "../src/")
import pycodata
print("########## EXAMPLE IN PYTHON ##########")
print("# VERSION")
print(f"version = {pycodata.__version__}")
print("# Constants")
print(f"c =", pycodata.SPEED_OF_LIGHT_IN_VACUUM["value"])
print("# UNCERTAINTY")
print(f"u(c) = ", pycodata.SPEED_OF_LIGHT_IN_VACUUM["uncertainty"])Fonte: https://github.com/MilanSkocic/codata. COLAB. LINK.massa
comprimento
tempo
corrente
temperatura
matéria
luminosidade
Fonte: https://www.nist.gov/Grandezas físicas fundamentais
O quilograma tem seu valor é estabelecido fixando-se o valor numérico da constante de Planck, h, exatamente igual a \(6,62607015\times 10^{-34}\) m\(^2\).kg.s\(^{-1}\) ou J·s e definito a partir da balança de Watt.
A unidade padrão da massa (M) no Sistema Internacional é o quilograma (kg).
Fonte: https://www.nist.gov
Fonte: https://youtu.be/oST_krdqLPQ
Grandezas físicas fundamentais
Fonte: https://pubs.aip.org/
Fonte: https://www.scielo.br
Grandezas físicas fundamentais
A definição do segundo é reescrita ao se fixar o valor numérico da frequência de transição hiperfina do estado fundamental não perturbado do átomo de césio 133, \(\Delta f_{Cs} = \) 9 192 631 770 Hz ou (s\(^{-1}\)).
A unidade padrão do tempo (T) no Sistema Internacional é o segundo (s).
Fonte: https://ipemsp.wordpress.com
Fonte: Imagem: geogif / Shutterstock.com
Fonte: https://images.app.goo.gl1\text{ s} = 9\,192\,631\,770\times \frac{1}{\Delta f}
Grandezas físicas fundamentais
O metro é definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de \(\Delta t = \) ( 1 / 299 792 458) s.
A unidade padrão do comprimento (L) no Sistema Internacional é o metro (m).
Fonte: https://www.nist.gov
Fonte: https://br.investing.com/1\text{ m} = 299\,792\,458\text{ m/s}\times{\Delta t}
Grandezas físicas fundamentais
Fonte: https://tecnoblog.netO termo "2 nanômetros" ou, alternativamente, "20 angstrom" se referir a uma nova geração aprimorada de chips semicondutores de silício em termos de aumento na densidade de transistores (ou seja, um maior grau de miniaturização), aumento de velocidade e redução do consumo de energia.
8\text{ nm}
42\text{ nm}
Grandezas físicas fundamentais
Comprimento (L): A Miniaturização dos Transistores
- O tamanho dos transistores em processadores modernos está na escala de nanômetros (nm), como os chips da IBM e concorrentes.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
Fonte: http://www.oled-a.org
- Quanto menor o transistor, mais deles cabem no chip, tornando o processador mais rápido e eficiente.
- O comprimento também afeta a distância que os elétrons percorrem, reduzindo a dissipação de calor e aumentando a velocidade.
Grandezas físicas fundamentais
- A redução do comprimento (L) dos transistores melhorou a velocidade e eficiência dos processadores.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
- A redução da massa (M) dos materiais permitiu dispositivos mais leves e compactos.
- O tempo (T) influencia tanto a performance do chip quanto o tempo necessário para sua fabricação e vida útil.
Fonte: http://www.oled-a.org
Fonte: Illustration of the IBM chipsetGrandezas físicas fundamentais
Massa (M): Uso de Materiais Avançados
- A fabricação de chips envolve materiais como silício, grafeno e novos semicondutores que impactam a massa e a estrutura do processador.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
Fonte: http://www.oled-a.org- Reduzir a massa dos materiais permite fabricar chips mais leves e finos, usados em dispositivos compactos como smartphones e wearables.
- A massa também afeta a resistência mecânica, importante para evitar que os chips se quebrem durante a produção ou o uso.
Grandezas físicas fundamentais
Tempo (T): Velocidade e Eficiência Energética
- O tempo de comutação de um transistor determina a velocidade do processador. Chips menores permitem que os elétrons percorram distâncias menores, resultando em tempos de resposta mais rápidos.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
- O tempo também influencia a produção: fabricar um único wafer de silício pode levar semanas, devido aos processos de deposição, litografia e gravação de circuitos.
- O tempo de degradação dos materiais impacta a durabilidade do chip, o que é crucial para garantir seu funcionamento por anos.
Fonte: http://www.oled-a.orgAnálise dimensional
Para fornecer uma descrição quantitativa dos fenômenos físicos, precisamos de um procedimento para medi-los. Usamos três grandezas físicas fundamentais na mecânica básica:
Comprimento (L)
Tempo (T)
Massa (M)
É possível comparar somente grandezas físicas de mesma dimensão (L,T,M).
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Para quantificar é necessário ter uma unidade padrão.
Metro
Quilograma
Segundo
Grandezas físicas derivadas
A partir das grandezas físicas fundamentais: Comprimento (L), Massa (M) e Tempo (T), outras grandezas físicas podem ser obtidas (derivadas).
Análise dimensional
Somente podemos comparar, somar e subtrair grandezas físicas com mesma dimensão.
É uma equação coerente ou homogênea dimensionalmente. Pode ou não ser correta.
comparando
somando
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
[m]
[m]
\frac{[m]}{[s]}
[s]
\frac{[m]}{[s]^2}
[s]^2
=
+
+
\Rightarrow
[m]=[m]
Análise dimensional
Mas podemos multiplicá-las sem problema algum.
multiplicando
h=v_0-\frac{1}{2}gt^2
subtraindo
comparando
É uma equação incoerente ou não homogênea dimensionalmente. Certamente é incorreta.
[m]
\frac{[m]}{[s]}
=
-
\frac{[m]}{[s]^2}
[s]^2
[m]\neq \frac{[m]}{[s]}-[m]
\Rightarrow
Análise dimensional
Somente podemos comparar, somar e subtrair grandezas físicas com mesma dimensão.
Mas podemos multiplicá-las sem problema algum.
multiplicando
a + \frac{k}{m} x = 0
somando
comparando
É uma equação coerente ou homogênea dimensionalmente. Pode ou não ser correta.
[m]
\frac{[m]}{[s]^2}
?
\frac{[m]}{[s]^2}
Análise dimensional
Somente podemos comparar, somar e subtrair grandezas físicas com mesma dimensão.
Mas podemos multiplicá-las sem problema algum.
dividindo e multiplicando
Análise dimensional
Quiz 1. Essa atividade também é encontrada no Google Classroom.
zzi.sh/dmc58834
Qual foi o problema que ocorreu com a Mars Climate Orbiter, Nasa, 1999?
Uma equipe da Lockheed Martin fornecia dados de força em lbf·s (libras-força por segundo).
O software da NASA esperava receber esses valores em N·s (newtons-segundo).
Como 1 lbf = 4,45 N, todos os cálculos de trajetória estavam incorretos.
Isso fez a sonda entrar na atmosfera de Marte muito mais baixa que o planejado (~57 km ao invés de ~226 km), causando sua destruição.
Conversão de unidades
As espaçonaves Voyager 1 e 2 foram lançadas no ano de 1977.
A missão era de explorar o sistema solar externo. O espaço Interestelar.
Repare nas datas em que a Voyager 2 visitou os planetas do sistema solar.
Conversão de unidades
Crédito: NASA/JPL/CALTEC
Em direção às estrelas a uma velocidade de 50.000 km/h, a Voyager 2 levaria cerca de 100.000 anos para chegar a Alpha Centauri a 4,4 anos-luz (se estivesse indo nessa direção).
As viagens interestelares convenientes permanecem muito além da nossa tecnologia atual.
Aqui, encontramos um fator de conversão entre ano.luz e quilômetro. Quanto são 4,4 a-c em km?
É a distância que a luz pode percorrer em 1 ano.
O que é o ano-luz? Qual a dimensão física? Qual a unidade SI?
1\text{ ano.luz} = velocidade\, da\, luz\, no \,vácuo \times tempo\, de\, 1\, ano
1\text{ano.luz} = \frac{[L]}{[T]}\times[T]=[L]
1\text{ano.luz} = 9\,454\,254\,955\,488\,000\text{ m}
comprimento
Conversão de unidades
Fonte: https://support.casio.com
Cerca de 10 trilhões de quilômetros.
m/s
d_{4,4 ac}=4,15987\times 10^{13} \text{km}
A luz viaja a uma velocidade finita de c = 299 792,458 km/s.
A partir de um astro qualquer quanto tempo a luz leva para chegar até a Terra?
Conversão de unidades
Aqui, podemos obter os fatores de conversão entre diferentes unidades de tempo.
1 \text{ min} = 60 \text{ s}
1 \text{ ano} \approx \pi \times 10^7\text{ s}
Um número de unidades tradicionais, não-SI, é usado na engenharia. Exemplos são polegadas, pés, jardas, milhas, acres, onças, galões e onças fluidas.
Essas unidades são não-decimais, o que dificulta sua conversão.
Ao resolver problemas neste curso, comece sempre convertendo quaisquer quantidades fornecidas em unidades não-SI para equivalentes SI.
\frac{1\,\text{in}}{25,4\,\text{mm}}=1
fator de conversão:
4,5\,\text{in}
=4,5\,\text{in}
\frac{25,4\,\text{mm}}{1\,\text{in}}
\frac{25,4\,\text{mm}}{1\,\text{in}}=1
ou
=4,5\times 25,4\,\text{mm}
=1,1\times 10^2\,\text{mm}
Quanto vale 4,5 in em mm?
Conversão de unidades
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
Crédito: Roberto Ziche
Ordens de Grandeza
Em uma escala em que o Sol é do tamanho de uma bola de basquete, a Lua é do tamanho de um grão de areia, orbitando a Terra a uma distância de 21 cm.
MINHA VÓ TEM MUITAS JOIAS, SÓ USA NO PESCOÇO"
Para o fator de escala F, a dimensão real D, terá a dimensão do modelo:
Se o Sol tivesse 0,75 m de diâmetro, o fator de escala (F):
d_{escala}=FD
F=0,75\text{ m}:1\, 391\, 000\, 000\text{ m}
F=0,000\,000\,000\,539\,180
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
Crédito: https://zenite.nu/astro-escala
Ordens de Grandeza
Se o Sol tivesse 0,75 m de diâmetro, o fator de escala (F):
d_{escala}=FD
F=0,000\,000\,000\,539\,180
Cada planeta terá então o diâmetro que é um múltiplo desse fator de escala.
Atenção: O fator de escala foi computado para metro, apesar de ser adimensional.
Conversão de unidades
Quiz 2. Essa atividade também é encontrada no Google Classroom.
zzi.sh/dmc58834
Exemplo 1: Um grama de água contém:
33 427 800 000 000 000 000 000 moléculas, ou
\(33 427 8 \times 10^{17}\) moléculas.
\(3,3 427 8 \times 10^{22}\) moléculas.
3,342 78 \times 10^{22}\,\text{moléculas}
Mantissa
potência de dez
Na notação científica, a mantissa é um número entre 1 e 10.
Ordens de Grandeza
A ordem de grandeza de um número \(N\) é, por definição, a potência \(10^n\) próxima de \(N\).
A ordem de grandeza do número é
N=10^{23}\,\text{moléculas}
A Física trabalho com números muito pequenos ou muito grandes.
Exemplo 1: Um ano-luz é a distância que a luz viajam em 1 ano.
1 a-c = 9 454 254 955 488 km
= \(9454 \times 10^{9}\) km.
9,454 \times 10^{12}\,\text{km}
Mantissa
potência de dez
Na notação científica, a mantissa é um número entre 1 e 10.
Ordens de Grandeza
= \(9,454 \times 10^{12}\) km.
A ordem de grandeza do número é
N=10^{13}\,\text{km}
~ 10 trilhões de km
A ordem de grandeza de um número \(N\) é, por definição, a potência \(10^n\) próxima de \(N\).
Número: |
Ordem: |
|---|---|
0,3 < N < 3,0
10^0
3 < N < 30
10^1
Exemplo 1: 3 minutos são N = 180 s, que podem ser escritos como \(1,8 \times 10^2\) s. A mantissa, 1,8 é arredondada para 1 e, portanto, o ordem de magnitude é N = \( 1 \times 10^2\) s = \(10^2\) s.
Exemplo 2: O número N = 680, que pode ser escrito como N = \(6,8 \times 10^2\) s. A mantissa, 6,8 é arredondada para 10 e, portanto, o ordem de magnitude é N = \(10 \times 10^2\) s = \(10^3\) s.
30 < N < 300
10^2
10^n
N
300 < N < 3000
10^3
\log 1 = 0
\log 10 = 1
\log 3= 0,48
Por quê, 3; 30, 300,....?
Ordens de Grandeza
R_T = 6,64\times 10^6\,\text{m}
M_T = 5,97\times 10^{24}\,\text{kg}
R_V = 6,05\times 10^6\,\text{m}
M_V = 4,87\times 10^{24}\,\text{kg}
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
\sim10^7\,\text{m}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^7\,\text{m}
A Terra e Vênus têm a mesma ordem de grandeza para o raio, massa e volume.
R_V \sim R_T
M_V \sim M_T
V_V \sim V_T
Ordens de Grandeza
R_T = 6,64\times 10^6\,\text{m}
M_T = 5,97\times 10^{24}\,\text{kg}
R_S = 6,05\times 10^8\,\text{m}
M_S = 1,99\times 10^{30}\,\text{kg}
\sim10^7\,\text{m}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^9\,\text{m}
\sim10^{30}\,\text{kg}
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
A Terra pode ser tratada como uma partícula em alguns cálculos se comparada ao Sol.
R_S \sim 10^2 R_T
M_S \sim 10^5 M_T
V_S \sim 10^6 V_T
Ordens de Grandeza
Prefixos. Costuma-se usar prefixos quando as potências são múltiplos de três.
Fonte: https://tnsolution.com.br/
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Prefixo |
Abreviação |
Prefixo |
Abreviação |
||
|---|---|---|---|---|---|
- |
- |
||||
| kilo- | k |
mili- |
|||
mega- |
M |
micro- |
|||
giga- |
G | nano- |
|||
| tera- | T |
pico- |
|||
peta- |
P | fento- |
|||
exa- |
E |
atto- | |||
zetta- |
Z |
zepto- | |||
yotta- |
Y |
yocto- | |||
| ronna- | R | ronto- | |||
| quetta- | Q | quecto- |
10^n
10^n
10^0
10^3
10^6
10^9
10^{12}
10^{15}
10^{18}
10^{-3}
10^{-6}
10^{-9}
10^{-12}
10^{-15}
10^{-18}
10^{21}
10^{24}
10^{-21}
10^{-24}
\mu
\text{n}
\text{p}
\text{f}
\text{a}
\text{z}
\text{y}
\text{m}
Ordens de Grandeza
Fonte: https://pt.wikipedia.org/10^{27}
10^{30}
10^{-27}
10^{-30}
q
r
Fonte: Sears e Zemansky
Prefixos. Costuma-se usar prefixos quando as potências são múltiplos de três.
Ordens de Grandeza
Ordens de grandeza
Quiz 3. Essa atividade também é encontrada no Google Classroom.
zzi.sh/dmc58834
Algarismos Significativos
Exatos.
Eu tenho 14 livros na minha mesa.
Não exatos.
A folha de papel mede 21,3 mm no seu lado menor.
Vemos que não temos certeza sobre o último dígito.
Esse último dígito é duvidoso.
21\,\text{mm}
22\,\text{mm}
21,3 tem 3 algarismos significativos.
21 tem 2 algarismos significativos.
0,037 tem 2 algarismos significativos.
0,602 tem 3 algarismos significativos.
25,10 tem 4 algarismos significativos.
zeros à esquerda, após a vírgula não são significativos
Regras de Arredondamento
Termômetro em centésimo de grau. Incerteza é 0,05 graus.
Termômetro em décimo de grau. Incerteza é 0,5 graus.
36,85
36,8
O algarismo 36,8 é lido com certeza.
O algarismo 5 é lido sem certeza.
5 é o número duvidoso.
O algarismo 36 é lido com certeza.
O algarismo 8 é lido sem certeza.
8 é o número duvidoso.
7900 é ambíguo!
=7,900 x 10\(^3\) tem 4 algarismos significativos.
=7,90 x 10\(^3\) tem 3 algarismos significativos.
=7,9 x 10\(^3\) tem 2 algarismos significativos.
Algarismos Significativos
Fonte:Wolfgane and Bauer
Regras de Arredondamento
Se em uma medida os algarismos que vierem após o primeiro algarismo duvidoso formarem números superiores a 5, 50, 500, 5000, etc, aumenta-se de uma unidade o primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
787,672 => 787,7
24,9287 => 24,93
0,0026154 => 0,00262
72 > 50
87 > 50
54 > 50
05 < 50
31 < 50
305 < 500
Se os algarismos a serem desprezados numa quantidade formarem números inferiores a 5, 50, 500, 5000, etc., os algarismos significativos que restam não se modificam.
761,05 => 761
0,0931 => 0,09
6,9305 => 6,9
Algarismos Significativos
Regras de Arredondamento
Se os algarismos a serem desprezados numa quantidade formarem números iguais a 5, 50, 500, 5000, etc., faz-se com que o número fique par. Caso o último número que fica seja ímpar, soma-se a ele uma unidade para torná-lo par.
2,73500 => 2,74
0,0755 => 0,076
539,50 => 540
45,185 => 45,18
96500 => 9,6 x \(10^4\)
0,0285 => 0,028
500 é desprezado. Mas, 2,73 é ímpar. Soma-se 1 ao número 3 para se obter o número par 2,74.
5 é desprezado. Mas, 0,075 é ímpar. Soma-se 1 ao número 5 para se obter o número par 0,076.
50 é desprezado. Mas, 539 é ímpar. Soma-se 1 ao número 9 para se obter o número par 540.
5 é desprezado. Mas, 45,18 é par. Já temos o número par.
500 é desprezado. Mas, \(9,6\times 10^4\) é par. Já temos o número par.
5 é desprezado. Mas, 0,028 é par. Já temos o número par.
Algarismos Significativos
Regras de Arredondamento
Regras de adição e subtração. (passe o mouse sobre os números)
O resultado é representado com o número de casas decimais da parcela mais pobre.
1,21342 - 1,040 = 0,17342 = 0,173
27,8 + 1,326 + 0,66 = 29,786 = 29,8
(três casas decimais)
(uma casa decimal)
42<50
86>50
O resultado é representado com o número de algarismos significativos do termo mais pobre.
Regras de multiplicação e divisão
9,11 x \((2,99792458)^2\) = 81,87659678 = 81,9
63,72 / 23 = 2,770434782 = 2,8
(três algarismos significativos)
(dois algarismos significativos)
7659678>5000000
70434782>50000000
Regras de Arredondamento
Regras de arredondamento
Quiz 4. Essa atividade também é encontrada no Google Classroom.
zzi.sh/dmc58834
Aplicação
Nanopartículas:
Têm dimensão menor que 100 nm pelo menos.
Podem ser enroladas em uma única camada, multicamadas e outras estruturas.
Nanoesferas de ouro
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
*Foram descobertos em 1985 por Harold Kroto (descoberta que lhe valeu o Prêmio Nobel de Química em 1996)
C_{60}
C_{70}
D = 7,114\text{ nm}
D = 7,648\text{ nm}
Fulerenos*
A esfera
Volume
Área
V = \frac{4}{3}\pi r^3
A = 4\pi r^2
Se o raio vale \(r=2,32 \text{cm}\), quais os valores e unidades das grandezas \(V\) e \(A\)?
V=52,3061\text{ cm}^3
A=67,6372\text{ cm}^2
Qual o valor e unidade da razão \(A/V\) ?
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
\rightarrow V=52,3\text{ cm}^3
\rightarrow A=67,6\text{ cm}^2
\frac{A}{V}=1,2931\frac{1}{\text{cm}}
\rightarrow \frac{A}{V}=1,29\frac{1}{\text{cm}}
O cubo
Volume
Área
V = L^3
A = 6L^2
Se o lado vale \(L=2,32 \text{ cm}\), quais os valores e unidades das grandezas \(V\) e \(A\)?
V=12,4872\text{ cm}^3
A=32,2944\text{ cm}^2
Qual o valor e unidade da razão \(A/V\) ?
L
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
\rightarrow V=12,5\text{ cm}^3
\rightarrow A=32,3\text{ cm}^2
\frac{A}{V}=2,5862\frac{1}{\text{cm}}
\rightarrow \frac{A}{V}=2,59\frac{1}{\text{cm}}
O cubo
\frac{A}{V}=2,59\frac{1}{\text{cm}}
L
A esfera
\frac{A}{V}=1,29\frac{1}{\text{cm}}
A dimensão da razão A/V é o inverso do comprimento (centímetro).
Se \(L = r\) a razão \(A/V\) é maior para o cubo.
Qual das imagens da mesma cenoura possui maior razão \(R=A/V\)?
R_3>R_2>R_1
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
O cubo
L
A esfera
A = 4\pi r^2
V = \frac{4}{3}\pi r^3
R = \frac{3}{r}
A = 6L^2
V = L^3
R = \frac{6}{L}
A razão entre a área superficial e o volume para um material ou substância feita de nanopartículas tem um efeito significante nas propriedades do material.
Seja qual for a geometria da nanopartícula, a razão \(A/V\) tem a dimensão do inverso do comprimento.
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
Se \(r=L\), o cubo terá uma maior razão \(A/V\) em comparação à esfera. Para \(r=L=2,32\text{ cm}\):
\frac{A}{V}_{esfera}=1,29\frac{1}{\text{cm}}
\frac{A}{V}_{cubo}=2,59\frac{1}{\text{cm}}
>
R = \frac{3}{r}
A relação entre a área da superfície e o volume aumenta à medida que o raio da esfera diminui.
Se o raio (\(r\)) da partícula diminui, a área superficial aumenta.
A razão \(R=A/V\) aumenta uma ordem de grandeza quando o raio diminui uma ordem de grandeza.
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
Uma nanopartículas tem maior razão \(R=A/V\).
Os materiais feitos de nanopartículas têm uma área de superfície relativamente maior quando comparados ao mesmo volume de material feito de partículas maiores.
Quando um determinado volume de material é composto de partículas menores, a área de superfície do material aumenta.
Para uma microesfera de raio \(r = 10 \mu \text{m}\):
R_{\mu} = 30\times 10^6\text{m}^{-1}
Para uma nanoesfera de raio \(r = 10 n \text{m}\):
R_n = 30\times 10^9\text{m}^{-1}
À medida que ocorrem reações químicas entre partículas que estão na superfície, uma determinada massa de nanomaterial será muito mais reativa do que a mesma massa de material composta de partículas grandes.
Fonte: https://www.intechopen.comNanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
R = \frac{3}{r}
R = \frac{3}{r}
\Rightarrow
R = \frac{3}{r}
\Rightarrow
A forma da nano partícula afeta a razão entre superfície e volume.
Reações químicas ocorrem quando as partículas reactantes (substância que é parte do material inicial necessária para uma reação química) entram em contato uma com a outra para formar novas partículas.
| A (cm^2) | V (cm^ 3) | R (cm^-1) | |
|---|---|---|---|
| Cubo | 24 | 8 | 3 |
| Paralelepípedo | 88 | 48 | 1,8 |
| Esfera | 100,5 | 33,5 | 3 |
| Cilndro | 348,5 | 33,5 | 10,4 |
Como a razão área/volume aumenta, uma maior quantidade da substância entre em contato com o material circundante. Isso resulta em uma grande porção do material inicialmente exposto para o potencial de reação.
Caso seja necessário enviar uma maior quantidade de medicação para uma célula contaminada com o SARS-Covid-19 por meio de uma molécula (nanomolécula), qual seria a melhor forma molecular?
Nanotecnologia - análise dimensional e regras de arredondamento.
Os exercícios a seguir estão resolvidos no SIGAA.
Exercício 1
Considere a equação
v = \frac{1}{3}zxt^2
As dimensões das variáveis v, x e t são [L]/[T], [L] e [T], respectivamente. O fator numérico 3 é adimensional.
Quais devem ser as dimensões da variável z, de modo que os dois lados da equação tenham a mesma dimensão? Mostre como você chegou à sua resposta.
Exercício 2
Nas equações seguintes, a distância x está em metros, o tempo t está em segundos e a velocidade v está em metros por segundo.
Quais são as unidades SI das constantes C1 e C2?
x=C_1+C_2t
x=\frac{1}{2}C_1t^2
v^2=2C_1x
x=C_1\cos(C_2t)
v^2=2C_1v-(C_2x)^2
Exercício 3
Quando um objeto cai no ar, existe uma força resistiva que depende do produto da área de seção reta do objeto e do quadrado de sua velocidade, isto é, \(F_{ar}=CAv^2\) , onde C é uma constante.
Determine a dimensão de C.
Exercício 4
Quantos algarismos significativos (A.S.) e casas decimais (C.D) existem em cada um dos números abaixo?
a) 2,150
b) 0,000215
c) 215,00
d) 0,215000
e) 0,215+0,21
f) 1,23/3,4661
Exercício 5
Qual o resultado da operação abaixo em notação científica e em ordens de grandeza?
a) \((7,0\times 10^{27})\times (7,0\times 10^9)\)
b) \( (2,78\times 10^{-8}) - (3,51\times 10^{-9})\)
c) \(27,6+(5,99\times 10^2)\)
d) \(63,45 / (4,17 \times 10^{-3})\)
Exercício 6
Complete o seguinte:
a) 100 km/h em minhas por hora (mi/h).
b) 60 cm em polegadas (in).
c) 100 yd (jardas) em metros (m).
d) \(1,296 \times 10^{5}\) km/h\(^2\) em metros por segundo ao quadrado m/s\(^2\).
3) 60 mi/h em metros por segundo (m/s).
Exercício 8
Um núcleo de ferro tem um raio de \(5,4 \times 10^{-15}\) m e uma massa de \(9,3\times 10^{-26}\) kg.
(a) Qual é sua massa por unidade de volume, em kg/m3?
(b) Se a Terra tivesse a mesma massa por unidade de volume, qual seria seu raio? (A massa da Terra é \(5,98 \times 10^{24}\) kg.)
Exercício 9
O oleoduto canadense de Norman Wells estende-se de Norman Wells, nos Territórios do Noroeste, até Zama, em Alberta. O oleoduto, de \(8,68\times 10^{5}\) m de extensão, tem um diâmetro interno de 12 in e pode ser abastecido com óleo a 35 L/s.
(a) Qual é o volume de óleo no oleoduto quando ele está cheio?
(b) Quanto tempo levaria para encher o oleoduto de óleo com ele inicialmente vazio?
Exercício 10
Aproximadamente 4% do que você expira é dióxido de carbono. Suponha que 22,4 L é o volume de 1 mol (\(6,02 \times 10^{23}\)moléculas) de dióxido de carbono e que você expira 0,5 L por respiração.
a) Estime quantas moléculas de dióxido de carbono você expira por dia.
b) Se cada mol de dióxido de carbono tem massa de 44 g, quantos quilogramas de dióxido de carbono você expira em um ano?
Grandezas físicas fundamentais
Fonte: https://www.gov.br/aeb/Os nanossatélites são pequenos satélites artificiais com massa menor que 10 kg, muitas vezes não chegando a pesar 1kg. Eles dispõem de estruturas reduzidas e possuem formatos padrões que, em sua maioria, têm a aparência de um cubo. Esses são chamados de cubesats.
NanosatC-BR 1
Grandezas físicas fundamentais
- A redução de comprimento (L), graças à nanotecnologia, permitiu fabricar satélites menores e mais eficientes.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
- A redução de massa (M) possibilitou lançamentos mais baratos, democratizando o acesso ao espaço.
- O tempo (T) influencia tanto a operação dos satélites quanto seu tempo de permanência em órbita antes de reentrar.
UFSC - FloripaSat-1
Grandezas físicas fundamentais
Comprimento (L)
- O tamanho do satélite é crítico. Ele deve ser pequeno para reduzir custos de lançamento e facilitar a montagem em foguetes.
- Mas se for muito pequeno, não poderá carregar instrumentos científicos adequados.
- O comprimento define aspectos como a antena de comunicação e os painéis solares, que devem ser otimizados.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
UFSC - FloripaSat-1
Grandezas físicas fundamentais
Massa (M)
- A massa de um CubeSat típico varia entre 1 kg e 10 kg.
- Um satélite mais leve custa menos para ser lançado, pois foguetes cobram por peso.
- Mas, se for leve demais, pode não resistir a impactos com micrometeoritos ou ter baixa capacidade de manobra.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
UFSC - FloripaSat-1
Grandezas físicas fundamentais
Tempo (T)
- O tempo de vida útil do satélite é crucial. Um CubeSat pode operar por meses ou anos, dependendo do ambiente espacial e da resistência dos materiais.
- O tempo também influencia a órbita: satélites menores podem perder altitude ao longo do tempo devido ao atrito com a atmosfera terrestre e reentrar na Terra mais rápido.
As três dimensões fundamentais influenciam processo de fabricação de processadores:
UFSC - FloripaSat-1
Fonte: The Mathematical Intelligencer. Link.A natação ocorre na água, um fluido denso e viscoso (...), mas a flutuabilidade humana quase neutra minimiza o efeito das forças gravitacionais. O principal obstáculo (...) é o arrasto - as forças de atrito que empurram para trás contra o movimento para frente.
Enquanto a água apoia o nadador, ela (força) também impede o movimento.
F_d = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d A
Reduzir essa força de arrasto é uma pedra angular da glória olímpica, e os nadadores raspam o cabelo de seus corpos até trajes de compressão que minimizam o coeficiente de arrasto.
Qual a dimensão do coeficiente de arrasto, \(C_d\)?
força
densidade
coeficiente de arrasto
área
rapidez
Análise dimensional
Crédito: Speedo. Caeleb Dressel. Análise dimensional
Os atletas olímpicos de 2024 usaram trajes técnicos reforçados com fibra de carbono que são feitos para apenas acomodar seus corpos cinzelados.
Os nadadores constroem cuidadosamente músculos em regiões de seus corpos que não afetarão a quantidade de \(C_dA\), e o melhor possui a famosa "construção do nadador" (o torso em forma de V de ombros largos e cintura estreita) para cortar através da água.
- O objetivo é reduzir sua área frontal a uma fração de sua posição de repouso;
- As corridas podem ser perdidas nos segmentos de uma natação que não envolvem natação real!
- As corridas são muitas vezes ganhas e perdidas com base na qualidade da aerodinâmica de um atleta.
Crédito: Speedo. Caeleb Dressel. 
Jogos Olímpicos Rio 2016
Regras de Arredondamento
Como foram definidas as colocações se todas alturas são iguais?
Os competidores podem realmente ter certeza de que, quando a barra é definida em 1,97 m, isso é na verdade 1,97 m, e não alguns milímetros de qualquer maneira, aproximando-a de 1,98 m ou 1,96 m? Portanto, \(H = (1,97 \pm 0,01)\) m.
Fonte: Freepic.com
No Heptatlo, a cada uma das 7 provas a atleta acumula um número determinado de pontos de acordo com seu aproveitamento.
No salto em altura, a pontuação (P) é dada por:
P=1,84523(H-75)^{1,348 }
São necessárias 5 casas decimais no resultado dessa pontuação?
Se há um erro no reposicionamento da barra, a atleta é prejudicada?
Regras de Arredondamento
Jogos Olímpicos Rio 2016
Regras de Arredondamento
Como foram definidas as colocações se todos os tempos são iguais?
Quando uma piscina de 50 m é construída, a tolerância permitida é mais de dez vezes mais do que 3 cm. É inútil tentar construir com maior precisão pois comprimento variará com a temperatura e até mesmo com o número e a posição das pessoas na piscina.
Na piscina, Michael Phelps e outros dois empataram por medalhas de prata, com cada um um tempo de 51,14 s.
Para uma piscina de L = (\( 50,00 \pm 0,03 \)) m, faria diferença os tempos entre os atletas?
A profundidade e raia da piscina podem alterar o rendimento dos atletas?
Regras de Arredondamento
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Tempos (s)
Rapidez média (m/s)
Toda medida está associada a incertezas e devem ser relatadas.
Cálculos secundários devem obedecer a certas regras estatísticas.
Incertezas
Ordens de grandeza são interessantes para o cálculo de estimativas.
Estimativas
Quantos fios de cabelo haverá na cabeça de uma mulher?
Qual o número de moléculas de água contidas nos mares e oceanos?
FM - Aula 01
By Ronai Lisboa
FM - Aula 01
Grandezas físicas fundamentais. Análise dimensional. Ordens de grandeza. Regras de arredondamento. Incertezas.
