Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 01
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Aula 2
Relatar grandezas físicas derivadas.
Realizar a análise dimensional de equações físicas.
Operar ordens de grandeza (magnitude).
Associar a potência de dez aos respectivos prefixos.
Converter unidades não decimais para unidades decimais.
Efetuar operações obedecendo as normas técnicas dos algarismo significativos.
Calcular a incerteza de uma medida.
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Para fornecer uma descrição quantitativa dos fenômenos físico precisamos de um procedimento para medi-los. Na mecânica vamos usar três grandezas físicas fundamentais:
Grandezas Físicas Fundamentais
Comprimento (L)
Tempo (T)
Massa (M)
É possível comparar somente grandezas físicas de mesma dimensão (L,T,M).
Para comparar é necessário ter uma unidade padrão.
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Grandezas Físicas derivadas
A partir das grandezas físicas fundamentais: Comprimento (L), Massa (M) e Tempo (T), outras grandezas físicas podem ser derivadas.
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Somente podemos comparar, somar e subtrair grandezas físicas com mesma dimensão.
É uma equação coerente ou homogênea dimensionalmente. Pode ou não ser correta.
comparando
somando
somando
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
[m]
[m]
\frac{[m]}{[s]}
[s]
\frac{[m]}{[s]^2}
[s]^2
=
+
+
\Rightarrow
[m]=[m]
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
h=v_0-\frac{1}{2}gt^2
subtraindo
comparando
É uma equação incoerente ou não homogênea dimensionalmente. Certamente é incorreta.
Somente podemos comparar, somar e subtrair grandezas físicas com mesma dimensão.
[m]
\frac{[m]}{[s]}
=
-
\frac{[m]}{[s]^2}
[s]^2
[m]\neq \frac{[m]}{[s]}-[m]
\Rightarrow
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Fonte: The Mathematical Intelligencer. Link.A natação ocorre na água, um fluido denso e viscoso (...), mas a flutuabilidade humana quase neutra minimiza o efeito das forças gravitacionais. O principal obstáculo (...) é o arrasto - as forças de atrito que empurram para trás contra o movimento para frente.
Enquanto a água apoia o nadador, ela (força) também impede o movimento.
F_d = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d A
Reduzir essa força de arrasto é uma pedra angular da glória olímpica, e os nadadores raspam o cabelo de seus corpos até trajes de compressão que minimizam o coeficiente de arrasto.
Qual a dimensão do coeficiente de arrasto, \(C_d\)?
força
densidade
coeficiente de arrasto
área
rapidez
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Os atletas olímpicos de 2024 usaram trajes técnicos reforçados com fibra de carbono que são feitos para apenas acomodar seus corpos cinzelados.
Os nadadores constroem cuidadosamente músculos em regiões de seus corpos que não afetarão a quantidade de \(C_dA\), e o melhor possui a famosa "construção do nadador" (o torso em forma de V de ombros largos e cintura estreita) para cortar através da água.
- O objetivo é reduzir sua área frontal a uma fração de sua posição de repouso;
Crédito: Speedo. Caeleb Dressel. - As corridas podem ser perdidas nos segmentos de uma natação que não envolvem natação real!
- As corridas são muitas vezes ganhas e perdidas com base na qualidade da aerodinâmica de um atleta.
A Física trabalho com números muito pequenos ou muito grandes.
Exemplo 1: Um grama de água contém:
\(33 427 800 000 000 000 000 000 \) moléculas, ou
\(33 427 8 \times 10^{17}\) moléculas.
\(3,3 427 8 \times 10^{22}\) moléculas.
3,342 78 \times 10^{22}\,\text{moléculas}
Mantissa
potência de dez
Na notação científica, a mantissa é um número entre 1 e 10.
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
A ordem de grandeza do número \(N\) é, por definição, a potência \(10^n\) próxima de \(N\).
Número: |
Ordem: |
|---|---|
0,3 < N < 3,0
10^0
3 < N < 30
10^1
Exemplo 1: 3 minutos são N = 180 s, que podem ser escritos como \(1,8 \times 10^2\) s. A mantissa, 1,8 é arredondada para 1 e, portanto, o ordem de magnitude é N = \( 1 \times 10^2\) s = \(10^2\) s.
Exemplo 2: O número N = 680, que pode ser escrito como N = \(6,8 \times 10^2\) s. A mantissa, 6,8 é arredondada para 10 e, portanto, o ordem de magnitude é N = \(10 \times 10^2\) s = \(10^3\) s.
30 < N < 300
10^2
10^n
N
300 < N < 3000
10^3
\log 1 = 0
\log 10 = 1
\log 3= 0,48
Por quê, 3; 30, 300,....?
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
R_T = 6,64\times 10^6\,\text{m}
M_T = 5,97\times 10^{24}\,\text{kg}
R_V = 6,05\times 10^6\,\text{m}
M_V = 4,87\times 10^{24}\,\text{kg}
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
\sim10^7\,\text{m}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^7\,\text{m}
A Terra e Vênus têm a mesma ordem de magnitude para o raio e massa.
R_V \sim R_T
M_V \sim M_T
V_V \sim V_T
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
R_T = 6,64\times 10^6\,\text{m}
M_T = 5,97\times 10^{24}\,\text{kg}
R_S = 6,05\times 10^8\,\text{m}
M_S = 1,99\times 10^{30}\,\text{kg}
\sim10^7\,\text{m}
\sim10^{25}\,\text{kg}
\sim10^9\,\text{m}
\sim10^{30}\,\text{kg}
As grandezas físicas são comparáveis conforme suas escalas.
A Terra pode ser tratada como uma partícula em alguns cálculos se comparada ao Sol.
R_S \sim 10^2 R_T
M_S \sim 10^5 M_T
V_S \sim 10^6 V_T
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Prefixos. Costuma-se usar prefixos quando as potências são múltiplos de três.
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Fonte: Pixbay
Prefixo |
Abreviação |
Prefixo |
Abreviação |
||
|---|---|---|---|---|---|
- |
- |
||||
kilo- |
k |
mili- |
|||
mega- |
M |
micro- |
|||
giga- |
G |
nano- |
|||
tera- |
T |
pico- |
|||
peta- |
P |
fento- |
|||
exa- |
E |
atto- |
|||
zetta- |
Z |
zepto- |
|||
yotta- |
Y |
yocto- |
10^n
10^n
10^0
10^3
10^6
10^9
10^{12}
10^{15}
10^{18}
10^{-3}
10^{-6}
10^{-9}
10^{-12}
10^{-15}
10^{-18}
10^{21}
10^{24}
10^{-21}
10^{-24}
\mu
\text{n}
\text{p}
\text{f}
\text{a}
\text{z}
\text{y}
\text{m}
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Fonte: Sears e Zemansky
Prefixos. Costuma-se usar prefixos quando as potências são múltiplos de três.
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Jogos Olímpicos 50 m 100 m
Tempos (s)
Rapidez média (m/s)
Toda medida está associada a incertezas e devem ser relatadas. Cálculos secundários devem obedecer a certas regras estatísticas.
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Algarismos Significativos
Exatos.
Eu tenho 14 livros na minha mesa.
Não exatos.
A folha de papel mede 21,3 mm no seu lado menor.
Vemos que não temos certeza sobre o último dígito.
Esse último dígito é duvidoso.
21\,\text{mm}
22\,\text{mm}
21,3 tem 3 algarismos significativos.
21 tem 2 algarismos significativos.
0,037 tem 2 algarismos significativos.
0,602 tem 3 algarismos significativos.
25,10 tem 4 algarismos significativos.
zeros à esquerda, após a vírgula não são significativos
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Termômetro em centésimo de grau. Incerteza é 0,05 graus.
Termômetro em décimo de grau. Incerteza é 0,5 graus.
36,85
36,8
O algarismo 36,8 é lido com certeza.
O algarismo 5 é lido sem certeza.
5 é o número duvidoso.
O algarismo 36 é lido com certeza.
O algarismo 8 é lido sem certeza.
8 é o número duvidoso.
7900 é ambíguo!
=7,900 x 10\(^3\) tem 4 algarismos significativos.
=7,90 x 10\(^3\) tem 3 algarismos significativos.
=7,9 x 10\(^3\) tem 2 algarismos significativos.
Algarismos Significativos
Fonte:Wolfgane and Bauer
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Se em uma medida os algarismos que vierem após o primeiro algarismo duvidoso formarem números superiores a 5, 50, 500, 5000, etc, aumenta-se de uma unidade o primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais.
787,672 => 787,7
24,9287 => 24,93
0,0026154 => 0,00262
72 > 50
87 > 50
54 > 50
05 < 50
31 < 50
305 < 500
Se os algarismos a serem desprezados numa quantidade formarem números inferiores a 5, 50, 500, 5000, etc., os algarismos significativos que restam não se modificam.
761,05 => 761
0,0931 => 0,09
6,9305 => 6,9
Algarismos Significativos
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Se os algarismos a serem desprezados numa quantidade formarem números iguais a 5, 50, 500, 5000, etc., faz-se com que o número fique par. Caso o último número que fica seja ímpar, soma-se a ele uma unidade para torná-lo par.
2,73500 => 2,74
0,0755 => 0,076
539,50 => 540
45,185 => 45,18
96500 => 9,6 x \(10^4\)
0,0285 => 0,028
500 é desprezado. Mas, 2,73 é ímpar. Soma-se 1 ao número 3 para se obter o número par 2,74.
5 é desprezado. Mas, 0,075 é ímpar. Soma-se 1 ao número 5 para se obter o número par 0,076.
50 é desprezado. Mas, 539 é ímpar. Soma-se 1 ao número 9 para se obter o número par 540.
5 é desprezado. Mas, 45,18 é par. Já temos o número par.
500 é desprezado. Mas, \(9,6\times 10^4\) é par. Já temos o número par.
5 é desprezado. Mas, 0,028 é par. Já temos o número par.
Algarismos Significativos
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Regras de adição e subtração. (passe o mouse sobre os números)
O resultado é representado com o número de casas decimais da parcela mais pobre.
1,21342 - 1,040 = 0,17342 = 0,173
27,8 + 1,326 + 0,66 = 29,786 = 29,8
(três casas decimais)
(uma casa decimal)
42<50
86>50
O resultado é representado com o número de algarismos significativos do termo mais pobre.
Regras de multiplicação e divisão
9,11 x \((2,99792458)^2\) = 81,87659678 = 81,9
63,72 / 23 = 2,770434782 = 2,8
(três algarismos significativos)
(dois algarismos significativos)
7659678>5000000
70434782>50000000
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Cálculos com incertezas
𝐿_1=(22,57±0,01) \text{cm}
𝐿_2=(35,03±0,01) \text{cm}
- Qual o valor estimado para o perímetro?
\hat{p}=2\hat{𝐿_1}+2\hat{𝐿_2}=2(22,57+35,03)=115,2 \text{ cm}
- Qual a incerteza estimada para o perímetro?
𝒖_𝒇=\sqrt{\sum_{𝒋=𝟏}^N \hat{u}_{𝒂_𝒋}^𝟐 \left(\frac{\partial f}{\partial a_j} \right)_{𝒂_𝒋=\hat{𝒂}_𝒋}^𝟐}
\hat{u}_p =2\sqrt{\hat{u}_{L_1}^2+\hat{u}_{L_2}^2}\approx0,0282 \text{ cm}
𝐿=(\hat{L}\pm \hat{u}_L)
- Qual o relato da medida do perímetro?
\hat{p}=(115,20\pm0,03)\text{ cm}
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Relação linear
w = ax+b
u_w=|a|u_x
w = ax
\left|
u_w
\right|
=|w|\left|
\frac{u_x}{x}
\right|
Produto ou razão
w=ax y
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)^2
=\left(
\frac{u_x}{x}
\right)^2
+
\left(
\frac{u_y}{y}
\right)^2
w=a\frac{y}{x}
Funções trigonométricas
w=a\text{sen}(x)
u_w = |a\text{cos}(x)|u_x
Funções logarítimica
w = \log_a x
u_w^2=\left|
\frac{1}{\ln a}
\right|
\frac{u_x}{x}
w=ax^py^q
\left(
\frac{u_w}{w}
\right)^2
=\left(p
\frac{u_x}{x}
\right)^2
+
\left(q
\frac{u_y}{y}
\right)^2
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Cálculos com incertezas
Um número de unidades tradicionais, não-SI, é usado na engenharia. Exemplos são polegadas, pés, jardas, milhas, acres, onças, galões e onças fluidas.
Essas unidades são não-decimais, o que dificulta sua conversão.
Ao resolver problemas neste curso, comece sempre convertendo quaisquer quantidades fornecidas em unidades não-SI para equivalentes SI.
Conversão de unidades
\frac{1\,\text{in}}{25,4\,\text{mm}}=1
fator de conversão:
4,5\,\text{in}
=4,5\,\text{in}
\frac{25,4\,\text{mm}}{1\,\text{in}}
\frac{25,4\,\text{mm}}{1\,\text{in}}=1
ou
=4,5\times 25,4\,\text{mm}
=1,1\times 10^2\,\text{mm}
Quanto vale 4,5 in em mm?
Análise dimensional, Ordens de Grandeza, Regras de Arredondamento
Então, se você quer fazer tecnologia precisa ter alguns fundamentos diferenciados.
TECNOLOGIA
Fonte: The Mathematical Intelligencer. Link.
Fonte: https://blog.tritonwear.comComo os cálculos das velocidades e incertezas foram feitos? Por quê não conferem com os cálculos da aula?
FM - Aula 01
By Ronai Lisboa
FM - Aula 01
Análise dimensional. Ordens de grandeza. Regras de arredondamento. Propagação de incertezas.
