Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 02
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Definir o referencial inercial.
Identificar o papel da cinemática.
Estudar a posição e tempo de um objeto em movimento.
Distinguir as grandezas distância e deslocamento.
Descrever o movimento em uma dimensão.
Definir as grandezas rapidez, velocidade media e velocidade instantânea.
Bibliografia:
Tipler - Cap. 2
Seção 2.1 (pag. 27 a 34)
- Refaça os Exemplos resolvidos.
- Faça os exercícios recomendados no SIGAA.
O movimento é relativo.
Referencial inercial
Fonte: Juan Carlos Casado
A Terra não é um referencial inercial! Não porque se move somente. Mas porque se move num movimento curvilíneo.
Devido a sua rotação diária e a sua órbita, a Terra não é um referencial inercial.
Fonte: Juan Carlos Casado
As estrelas distantes parecem estar em repouso ou em movimento com velocidade constante umas em relação as outras e são ditas referenciais inerciais.
Este conjunto de estrelas constituem um referencial inercial com boa aproximação.
Fonte: www.nasa.gov
O meu referencial pode não ser igual ao seu. O que importa é que eles se movam à velocidade constante.
Referencial inercial
Depois de sair da mão do professor, a aceleração da bolinha é diferente em cada referencial?
Não. Os observadores nos referenciais inerciais medirão o mesmo valor para o observável físico.
Nos referenciais inerciais são válidas as leis de Newton!
A primeira Lei de Newton define os referenciais inerciais.
v=0
v=0
v=v0
v=v_0
repouso
MRU
Entende-se sobre referencial inercial que:
As estrelas distantes são referenciais inerciais. Qualquer observador ou referencial fixo nas estrelas distantes é também um observador ou referencial inercial.
Referenciais inerciais devem estar em repouso ou em movimento à velocidade constante em relação a outros referenciais inerciais.
Se a relação abaixo é satisfeita, podemos considerar que os referenciais fixos na Terra são bons referenciais inerciais para o estudo do movimento dos corpos.
T2πΔt<<1
\frac{2\pi\Delta t}{T}<< 1
Referencial inercial
Fonte: www.pixbay.com
Fonte: www.pixbay.com
Mas se um referencial se move aceleradamente as medidas das grandezas físicas não serão as mesmas.
Referencial não inercial
O carro está acelerado. O que fez o objeto se mover para trás? Aliás, ele se moveu para trás?
Observadores em referenciais não inerciais não medirão o mesmo valor para o observável físico.
Nos referenciais inerciais não são válidas as leis de Newton!
É necessário levar em consideração as forças chamadas de inerciais ou fictícias.
É necessário levar em consideração o princípio de equivalência.
A cinemática não considera as causas e efeitos do movimento (força e aceleração); seu objetivo é simplesmente fornecer uma descrição quantitativa do movimento (direção e sentido, por exemplo).
Como descrição quantitativa do movimento, entende-se:
concreto → abstrato
Cinemática
Diagramas do movimento
Tabelas
Gráficos
Funções
x(t)=x0+vt
x(t)=x_0+vt
Fonte: Eric Mazur
No filme, o Shinkansen está em movimento?
Para responder a essa questão podemos medir a rapidez do trem bala em relação ao referencial da plataforma da estação.
Basta acompanhar a posição do trem em tempos diferentes em relação ao referencial.
- Se a posição variar no tempo, o objeto está em movimento.
- Se a posição não variar no tempo, diz-se que o objeto está em repouso.
Cinemática
Quão rápido o trem bala está se movendo?
Fonte: https://youtu.be/SIzOFZug8C8
eixo de referência
Origem
| Quadro | x (m) | t(s) |
|---|---|---|
1
1
2
2
3
3
4
4
O movimento é descrito ao informar as grandezas físicas de posição e tempo.
0,4
0,4
0,5
0,5
0,8
0,8
1,0
1,0
1,2
1,2
1,5
1,5
1,6
1,6
2,0
2,0
A partir da origem, as distâncias aumentam no sentido (positivo) do eixo de referência.
Posição e tempo
x
x
y
y
Diagrama do movimento
Tabela
0,4 m
0,5 s
1,2 m
1,5 s
1,6 m
2,0 s
1,0 s
0,8 m
O gráfico da posição e tempo é uma representação do movimento do objeto.
O eixo vertical representa a posição e o eixo horizontal representa o tempo.
Gráficos
Gráfico
Tabela
A tabela e o gráfico trazem informações que se complementam.
| Quadro | x(m) | t(s) |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
0,4
0,4
0,5
0,5
0,8
0,8
1,0
1,0
1,2
1,2
1,5
1,5
1,6
1,6
2,0
2,0
O vetor posição final rf pode ser determinado a partir do vetor posição inicial ri e do vetor do deslocamento Δr:
rf=ri+Δr
\vec r_f=\vec r_i+\Delta\vec r
Deslocamento
x
x
y
y
ri
\vec r_i
Δr
\Delta \vec r
rf
\vec r_f
i⋅i=1
\vec i \cdot \vec i = 1
Em uma dimensão podemos escrever:
r≡xi^
\vec r \equiv x\hat i
⇒
\Rightarrow
xfi^=xii^+Δxi^
x_f\hat i=x_i \hat i+\Delta x\hat i
onde i^ é o vetor base unitário:
Podemos representar o movimento de um objeto que se move de uma posição para outra por um vetor que aponta da posição inicial para a posição final.
Δr⋅Δr=Δx=xf−xi
\sqrt{\Delta \vec r \cdot \Delta \vec r} = \Delta x =x_f-x_i
xf=xi+Δx
x_f=x_i+\Delta x
⇒
\Rightarrow
O componente do deslocamento é um escalar.
O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.
Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.
A distância é o módulo do deslocamento.
Distância percorrida
= |posição final - posição inicial|
d=∣xf−xi∣
d = |x_f-x_i|
⇒
\Rightarrow
d=+1,2m
d = +1,2\,\text{m}
Δx=+1,2m
\Delta x = +1,2\,\text{m}
Δx=xf−xi
\Delta x = x_f-x_i
= posição final - posição inicial
Componente
do deslocamento
⇒
\Rightarrow
Deslocamento e distância
xi = 0,4 m
Δx
\Delta x
xf = 1,6 m
Para frente
x
x
y
y
xf=xi+Δx
x_f=x_i+\Delta x
O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.
A distância é o módulo do deslocamento.
Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.
Δx=−0,6m
\Delta x = -0,6\,\text{m}
Δx=xf−xi
\Delta x = x_f-x_i
= posição final - posição inicial
Componente
do deslocamento
⇒
\Rightarrow
Distância percorrida
= |posição final - posição inicial|
d=∣xf−xi∣
d = |x_f-x_i|
⇒
\Rightarrow
d=+0,6m
d = +0,6\,\text{m}
xf = 1,0 m
Δx
\Delta x
xi = 1,6 m
Deslocamento e distância
Para trás: Moonwalk
x
x
y
y
xf=xi+Δx
x_f=x_i+\Delta x
O componente x do deslocamento de um objeto é a variação em sua coordenada x.
A distância é a soma dos módulos dos deslocamentos.
Deslocamento e distância são grandezas com significados diferentes.
Δx=+0,6m
\Delta x = +0,6\,\text{m}
Δxres=Δxfrente+Δxtraˊs
\Delta x_{res} = \Delta x_{frente}+\Delta x_{trás}
= posição final - posição inicial
Componente
do deslocamento
⇒
\Rightarrow
Distância percorrida
= |posição final - posição inicial|
d=∣Δxfrente∣+∣Δxtraˊs∣
d = |\Delta x_ {frente}|+|\Delta x_{trás}|
⇒
\Rightarrow
d=+1,8m
d = +1,8\,\text{m}
Deslocamento e distância
=+1,2 m
=+1,2\text{ m}
=−0,6 m
=-0,6\text{ m}
=+1,2 m
=+1,2\text{ m}
=+0,6 m
=+0,6\text{ m}
d
d
0,4 m
0,4\text{ m}
1,6 m
1,6\text{ m}
1,0 m
1,0\text{ m}
x
x
y
y
x2 = 1,6 m
x1 = 0,4 m
x3 = 1,0 m
Resultante
Moon-Walk
Δx
\Delta x
Δxf
\Delta x_f
Δxt
\Delta x_t
No movimento de um estudante em frente à ECT/UFRN representado pelos pontos azuis sobre o Google Maps, avalie:
- A distância percorrida, em km.
- O deslocamento percorrido, em km.
Deslocamento e distância
Fonte: https://youtu.be/M1Zu-pQD7skExemplo 1
Suponha que você ande em linha reta de um ponto P a um ponto Q, a 2 m de distância de P e depois caminhe de volta pela mesma linha até P.
(a) Qual é o componente x do seu deslocamento para a ida e volta?
(b) Que distância você viajou durante a viagem de ida e volta?
Lição 1: A distância percorrida é o trajeto realizado por um objeto em movimento ao longo do caminho de seu movimento.
Lição 2: A distância percorrida é sempre positiva.
Δxt=Δx1+Δx2
\Delta x_t= \Delta x_1+\Delta x_2
⇒
\Rightarrow
Δxt=2,0m−2,0m=0
\Delta x_t=
2,0\,\,\text{m}
-
2,0\,\text{m}
=0
d=∣Δx1∣+∣Δx2∣
d=|\Delta x_1|+|\Delta x_2|
⇒
\Rightarrow
d=∣2,0m∣+∣−2,0m∣=4,0m
d=
|2,0\,\text{m}|
+
|-2,0\,\text{m}|
=4,0\,\text{m}
Exemplo 2
(a) Um objeto se move de uma posição inicial em x = +3,1 m para uma posição final em x = +1,4 m. Qual é o componente do deslocamento do objeto? (b) O componente do deslocamento de um objeto é +2,3 m. Se a posição inicial do objeto é x = +1,6 m, qual é a coordenada de sua posição final? (c) Após sofrer um deslocamento de -1,3 m, um objeto está em x = -0,4 m. Qual é a coordenada da posição inicial do objeto?
Lição 1: Desenhe um diagrama do movimento.
Lição 2: A posição final é determinada quando se conhece a posição inicial e o componente do deslocamento.
(a) Δx=xf−xi=+1,4−(+3,1)= −1,7 m
(b) Δx=xf−xi⇒xf=Δx+xi=+2,3+1,6=+3,9 m.
(c) Δx=xf−xi⇒xi=xf−Δx =−0,4−(−1,3)=+0,9 m.
+1,4 m
+3,1 m
eixo de referência
Δx
+1,6 m
eixo de referência
Δx=+2,3 m
-0,4 m
eixo de referência
Δx=−1,3 m
Exemplo 3
Um objeto move-se do ponto P em x = + 2,3 m para o ponto Q em x = + 4,1 m e, em seguida, para o ponto R em x = + 1,5 m. (a) Qual é o componente do deslocamento do objeto após viajar de P para R? (b) Qual é a distância entre as posições inicial e final do objeto? (c) Qual a distância percorrida pelo objeto?
Lição 1: Desenhe um diagrama do movimento.
Lição 2: Lembre-se que componente do deslocamento e distância são conceitos distintos.
(a) Δxr=Δx1+Δx2=(4,1−2,3)+(1,5−4,1)=−0,8 m
(b) d = |Δxr∣=0,8 m
(c) dr=∣Δx1∣+∣Δx2∣=∣(4,1−2,3)∣+∣(1,5−4,1)∣=4,4 m
P
+2,3 m
+4,1 m
eixo de referência
Δx1
Q
R
+1,5 m
Δx1
Δx2
Rapidez média (ou velocidade escalar média)
Uma grandeza escalar que mede a rapidez ou a lentidão de um objeto é sua rapidez média, definida como a razão:
rapidez meˊdia=intervalo de tempo decorridodistaˆncia percorrida
\text{rapidez média}=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{intervalo de tempo decorrido}}
Fonte: Globo Esporte
Cesar Cielo, marcou o tempo de 20 segundos e 91 centésimos na prova dos 50 m livres (Recorde Mundial).
Fonte: https://youtu.be/Kszu_5wA6Co
vm=20,91 s50 m=2,4 m/s
v_m=\frac{50\text{ m}}{20,91\text{ s}}=2,4\text{ m/s}
A rapidez média foi de:
A vitória pertence ao corredor com maior rapidez média.
vm=Δtd
v_m=\frac{d}{\Delta t}
Observe que a unidade SI é o metro por segundo (m/s) e a resposta é dada com 2 algarismos significativos.
Calcule a rapidez média.
Rapidez e velocidade médias
O campeão mundial, Cesar Cielo, marcou o tempo de 46 segundos e 91 centésimos na prova dos 100 m livre (Roma 2009).
A velocidade média é nula porque nos 100 m livre o atleta chega ao mesmo ponto de partida. Logo, seu deslocamento (vetor) é nulo: Δx =0, pois xf=xi:
É uma grandeza vetorial que fornece a direção, sentido e magnitude do deslocamento por intervalo de tempo:
vm=ΔtΔr
\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
vm=Δtd=2,13 m/s
v_m=\frac{d}{\Delta t}=2,13\text{ m/s}
vm=ΔtΔx
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}
vm=ΔtΔx=0
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t} = 0
A rapidez média não é nula porque mede o quão rápido ele foi na prova, a distância é d=100 m.
1D
Rapidez média
Velocidade média
É calculada pela razão:
v=Δtd
v=\frac{d}{\Delta t}
É calculada pela razão:
v=ΔtΔr
\vec v=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
É um número (escalar).
É um vetor (vetorial).
É não negativo.
Pode ser negativo, nulo ou positivo.
A magnitude é numericamente igual à inclinação da reta.
É igual à velocidade média quando o objeto tem a mesma direção e sentido do movimento.
Velocidade média
v=[T][L]≡sm
v=\frac{[L]}{[T]}\equiv \frac{\text{m}}{\text{s}}
No sistema internacional
No movimento de um estudante em frente à ECT/UFRN representado pelos pontos azuis sobre o Google Maps, avalie:
- A rapidez média, em m/s.
- A velocidade média, em m/s.
Rapidez média e velocidade média
Fonte: https://youtu.be/M1Zu-pQD7skA rapidez é sempre positiva. Já a velocidade pode ser negativa, nula ou positiva.
Rapidez média e velocidade média
Para a velocidade é importante avaliar o referencial.
vm=
v_m =
4,740 s+1609 m
\frac{+1609\text{ m}}{4,740\text{ s}}
+339,5 m/s
+339,5\text{ m/s}
vm=
v_m =
vm=
v_m =
4,695 s−1609 m
\frac{-1609\text{ m}}{4,695\text{ s}}
−342,7 m/s
-342,7\text{ m/s}
vm=
v_m =
O sinal de menos indica que a velocidade média, assim como o deslocamento, apontam para a esquerda, isto é, contrários ao referencial.
+x
+x
+y
+y
+x
+x
+y
+y
Como obter um modelo (função) para o movimento a partir do gráfico?
Gráfico
Análise de dados
O deslocamento é sempre o mesmo entre os mesmos intervalos de tempo:
| Quadro | t(s) | x(m) |
|---|---|---|
| 1 | 0,5 | 0,4 |
| 2 | 1,0 | 0,8 |
| 3 | 1,5 | 1,2 |
| 4 | 2,0 | 1,6 |
Δx=0,4 m
\Delta x = 0,4\text{ m}
Δt=0,5 s
\Delta t = 0,5\text{ s}
Função posição (Equação horária)
x1
x_1
x1
x_1
x2
x_2
x2
x_2
x4
x_4
x4
x_4
x3
x_3
x3
x_3
O deslocamento total vale Δx=0,8 m em um intervalo de tempo total Δt=1,5 s.
Δx
\Delta x
Δx
\Delta x
Δx
\Delta x
Δxtotal
\Delta x_{total}
Δt
\Delta t
Δt
\Delta t
Δt
\Delta t
Δttotal
\Delta t_{total}
A inclinação da reta é numericamente igual à velocidade média.
Δx=vmΔt
\Delta x =v_m\Delta t
vm=ΔtΔx
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}
ou reescrevendo:
Função posição (Equação horária)
inclinação ≡
Para velocidade média constante, a reta tem inclinação constante no gráfico posição x tempo.
xf=xi+vmΔt
x_f=x_i +v_m\Delta t
Quando a velocidade é constante a função posição é a equação da reta:
Gráfico
Análise de dados
Δxtotal
\Delta x_{total}
Δttotal
\Delta t_{total}
vm
v_m
Velocidade instantânea
A partir do gráfico podemos notar que se Δt→dt, então o Δx→dx.
vm=ΔtΔx=Δt1Δx1
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\Delta x_1}{\Delta t_1}
Δt1
\Delta t_1
Δx1
\Delta x_1
A velocidade média é numericamente igual à secante (reta passando por dois pontos).
À medida que Δt→0, a reta secante tende à reta tangente.
Quando a velocidade média é constante, os subintervalos do deslocamento divididos pelos intervalos de tempo têm o mesmo valor.
v=limΔt→0ΔtΔx
\text{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}
Δx
\Delta x
Δt
\Delta t
Δx
\Delta x
Δt
\Delta t
Velocidade instantânea
Quando a velocidade média é constante, os subintervalos do deslocamento divididos pelos intervalos de tempo têm o mesmo valor.
vm=ΔtΔx
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}
vm=v1=Δt1Δx1
v_m=v_1=\frac{\Delta x_1}{\Delta t_1}
vm=v2=Δt2Δx2
v_m=v_2=\frac{\Delta x_2}{\Delta t_2}
vm=vn=ΔtnΔxn
v_m=v_n=\frac{\Delta x_n}{\Delta t_n}
Nos subintervalos, os valores de Δxn e Δtn são reduzidos. Podemos definir a velocidade instantânea:
v=limΔt→0ΔtΔx
\text{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}
Rigorosamente, é a derivada da função posição no tempo:
v=limΔt→0[Δtx(t0+Δt)−x(t0)]
\text{v} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\left[
\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t}
\right]
=limΔt→0[ΔtΔx]t=t0
= \lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\left[
\frac{\Delta x}{\Delta t}
\right]_{t=t_0}
=[dtdx]t=t0
=
\left[
\frac{d x}{d t}
\right]_{t=t_0}
derivada da função posição no tempo
Se a velocidade é conhecida, é possível obter a função posição empregando o cálculo integral. Determinamos a primitiva (antiderivada):
isto é um deslocamento infinitesimal. Integrando ambos os lados:
Para velocidades constantes:
xf=xi+v(tf−ti)
x_f = x_i + \text{v}(t_f-t_i)
⇒dx=vdt
\Rightarrow dx=\text{v}dt
v=dtdx
\text{v}=\frac{dx}{dt}
∫xixfdx=∫titfvdt
\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{t_i}^{t_f}\text{v}dt
Quando a velocidade é constante a velocidade média é igual à velocidade instantânea.
O movimento é denominado de Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
x(t)=0+∫0tf0,10dt′
x(t) = 0 + \int_{0}^{t_f}0,10dt'
xf=0,10tf
x_f=0,10t_f
Velocidade instantânea
Exemplo 4
Suponha a função: x(t)=5,0+4,0t. A velocidade média:
vm=ΔtΔx=t−t0x(t)−x(t0)
v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}
A velocidade instantânea via o cálculo do limite.
=t−t0(5,0+4,0t)−(5,0+4,0t0)
= \frac{(5,0+4,0t)-(5,0+4,0t_0)}{t-t_0}
=t−t04,0(t−t0)
= \frac{4,0(t-t_0)}{t-t_0}
=4,0 m/s
= 4,0\text{ m/s}
v=limΔt→0[Δtx(t0+Δt)−x(t0)]
\text{v} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}
\left[
\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t}
\right]
=limΔt→0(t0+Δt)−t0(5,0+4,0(t0+Δt))−(5,0+4,0t0)
= \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{(5,0+4,0(t_0+\Delta t))-(5,0+4,0t_0)}{(t_0+\Delta t)-t_0}
=limΔt→0Δt4,0Δt
=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{4,0\Delta t}{\Delta t}
=limΔt→04,0
=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} 4,0
=4,0 m/s
= 4,0\text{ m/s}
A velocidade instantânea via o cálculo da derivada.
v=[dtdx]t=t0
\text{v}=
\left[
\frac{d x}{d t}
\right]_{t=t_0}
=[dtd(5,0+4,0t)]t=t0
=
\left[
\frac{d (5,0+4,0 t)}{d t}
\right]_{t=t_0}
=4,0 m/s
=
4,0\text{ m/s}
Para movimentos com velocidade constante a velocidade média é igual à velocidade instantânea.
Planilha: LINKAs provas de natação são movimentos em uma dimensão. A atleta vai em um sentido nadando 50 m e depois retorna completando a mesma distância. Ao final terá nadado 100 m.
Mundo real
Fonte: Olympics. LINK.Qual o gráfico mais adequado para representar a prova?
Movimento retilíneo uniforme
(a)
(b)
(c)
(d)
As provas de natação são movimentos em uma dimensão.
Modelagem
Mundo real
Fonte: Olympics. LINK.Medidas
Fonte: analysisswim.com. LINK.Kaylee MCKeown (AUS) completou a prova de 100 m com o tempo de 57,33 s.
Ela foi a mais rápida e venceu.
Ela foi mais rápida em todo percurso? O que signifca ser rápido?
Fonte: Google Planilhas. LINK.
Movimento retilíneo uniforme
(d)
Calcule a velocidade média na ida e na volta.
Estudo de caso: 100 m nado costas - Paris 2024.
- Entre t = 28,08 s e 57,33 s. Δx = -50,0 m.
v=ΔtΔx=
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=
- Entre t = 0 s e 28,08 s. Δx = +50,0 m.
v=ΔtΔx=
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=
Na ida a velocidade média foi vm=+1,78 m/s e na volta vm=−1,71 m/s.
Na ida a rapidez média foi vm=1,78 m/s e na volta vm=1,71 m/s. A atleta foi mais rápida na ida!
A velocidade média no trajeto ida-volta é vm=0. A rapidez média ida-volta é vm=1,74 m/s.
+1,78sm
+1,78\frac{\text{m}}{\text{s}}
−1,71sm
-1,71\frac{\text{m}}{\text{s}}
Movimento retilíneo uniforme
Um ciclista mantém uma velocidade constante na ida de uma viagem, velocidade zero enquanto parado e outra velocidade constante no caminho de volta. A Figura mostra o gráfico posição-tempo correspondente. Usando os intervalos de tempo e posição indicados no desenho, obtenha as velocidades para cada segmento da viagem.
Fonte: CutnellExemplo 5
ida
Repare que o movimento se dá em uma dimensão (linha reta)
vida=+2 m/s
v_{ida} =+2\text{ m/s}
parado
vm=ΔtΔx
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}
vparado=0 m/s
v_{parado} =0\text{ m/s}
volta
vida=−1 m/s
v_{ida} =-1\text{ m/s}
Como a velocidade é constante (inclinação constante) em cada trecho, basta escolher adequadamente os deslocamentos e intervalos de tempo.
Gráfico da velocidade em função do tempo
A velocidade média é aproximadamente constante na ida e na volta na prova dos 100 m.
Entre t = 0 s e t = 28,08 s, o movimento é para frente (Δx>0) e a velocidade é constante e positiva: v=+1,78 m/s.
Em t = 28,08 a velocidade é instantaneamente nula v=0 m/s, pois temos um ponto de retorno.
Entre t = 28,08 s e t = 57,33 s o movimento é para trás (Δx<0) e a velocidade é constante e negativa: v=−1,71 m/s.
eixo 0
v>0
v>0
v<0
v<0
Movimento para frente
(p/ longe da origem)
v(t)=+1,78 m/s
v(t) = +1,78 \text{ m/s}
v(t)=−1,71 m/s
v(t) = -1,71 \text{ m/s}
Movimento para trás
(p/ perto da origem)
Gráfico da velocidade em função do tempo
Em um gráfico da velocidade em função do tempo, o deslocamento é numericamente igual à área sob a curva da velocidade.
Δx
\Delta x
v
\text{v}
Δt
\Delta t
Δt
\Delta t
Δx
\Delta x
v
\text{v}
Δx≡Aˊrea
\Delta x \equiv \text{Área}
Aˊrea≡∣v∣Δt
\text{Área}\equiv |\text{v}|\Delta t
Δx=∣v∣Δt
\Delta x =|\text{v}|\Delta t
CUIDADO:
dimensão de área: m2.
dimensão de deslocamento: m
O deslocamento para frente é Δx=∣v∣Δt = (1,78 m/s) x (28,08 s) = 49,98 m ~ 50 m.
O deslocamento para trás éΔx=∣v∣Δt = |-1,71 m/s| x (29,25 s) = 50,01 m ~ 50 m.
Você faz uma integração a todo momento quando responde a pergunta abaixo.
Suponha que você esteja viajando a 100 km/h, em sua Lamborghini, durante 20 min. Qual o seu deslocamento?
3
3
Δx=∫ifvdt
\Delta x = \int_i^f vdt
Δx=vΔt
\Delta x =v\Delta t
Δx=33,3km
\Delta x =33,3 \,\text{km}
v(km/h)
v(\text{km/h})
t(h)
t(\text{h})
100
100
1
1
2
2
Fonte: https://www.gta-sa.com.br
Mundo Real
Mundo Real
Você usa uma função linear toda vez que responde a questão abaixo.
Se você passou pelo marco 10 km no tempo t = 1,33 h, com uma rapidez de 100 km/h.
Onde você estará no tempo t = 2,0 h mantendo a mesma velocidade constante (olhe o velocímetro)?
Δx=vΔt
\Delta x = v\Delta t
x(km)
x(\text{km})
t(h)
t(\text{h})
1
1
2
2
3
3
10
10
77
77
Fonte: https://www.gta-sa.com.br
xf=xi+v(tf−ti)
x_f = x_i +v(t_f - t_i)
xf=10+100(tf−1,33)
x_f = 10 + 100(t_f -1,33)
xf=10+100(2−1,33)
x_f = 10 +100(2 - 1,33)
xf=77km
x_f = 77 \,\text{km}
Δx=67 km
\Delta x=67\text{ km}
⇒Δx=67 km
\Rightarrow \Delta x=67\text{ km}
Exemplo 6
A figura mostra o gráfico de posição versus tempo para a parte do movimento de um objeto em movimento a velocidade constante. (a) Qual é o componente da velocidade do objeto? (b) Escreva uma expressão para x(t) , a coordenada da posição do objeto em um momento arbitrário . (c) Qual é a coordenada da posição do objeto em t = 25 s?
vx=ΔtΔx=4,0−1,54,0−2,5=+0,60sm
(a) Pegue números de fácil leitura sobre a reta.
(b) xf=xi+v(tf−ti).
xf=+1,6+0,60(tf−0)
(c) xf=+1,6+0,60tf.
xf=+1,6+0,60∗25=+17 m
A função permite prever o futuro! Daí sua importância!
Fonte: Eric Masur
Exemplo 7 (A2.P1-10)
Um corredor de 18 anos consegue completar um percurso de 10,0 km com uma velocidade escalar média de 4,39 m/s. Um corredor de 50 anos consegue cobrir a mesma distância com uma velocidade média de 4,27 m/s. Quanto tempo depois (em segundos) o corredor mais jovem deveria começar de modo a completar a corrida no mesmo instante que o corredor mais velho? C2.8
Exemplo 8 (A2.P1-11)
Uma ciclista faz um passeio composto de três partes, cada uma na mesma direção e sentido (de sul para norte) ao longo de uma estrada reta. Na primeira parte, ela pedala durante 22 minutos a uma velocidade média de 7,2 m/s. Durante a segunda parte, ela pedala durante 36 minutos a uma velocidade média de 5,1 m/s. Finalmente, durante a terceira parte, ela pedala durante 8,0 minutos a uma velocidade média de 13 m/s.
(a) Que distância a ciclista percorreu durante todo o passeio?
(b) Qual o seu vetor velocidade média durante o passeio?
Exemplo 9 (A2.P1-13)
Um turista que está sendo perseguido por um urso furioso está correndo em linha reta em direção ao seu carro a uma velocidade de 4,0 m/s. O carro está a uma distância d. O urso está a 26 m do turista e correndo a 6,0 m/s. O turista alcança o carro com segurança. Qual o valor máximo possível para d? C2.9
Exemplo 10
A função posição de um objeto que se move à velocidade constante é dada por:
x(t)=1,5+4,0(t−0,2)
x(t)=1,5+4,0(t-0,2)
onde x está em metros e t está em segundos.
(a) Qual a posição inicial?
(b) Qual o instante inicial?
(c) Qual a velocidade instantânea?
(d) Em que posições ele estará no instante t=0,2s e t=2,0s?
(e) Qual o deslocamento entre esses dois instantes?
(f) Como são os gráficos x×t e v×t?
Essa atividade não está resolvida. Caso você a entregue na próxima aula, você obtem 0,1 pontos extras na média da unidade.
Aula 02 Fundamentos da Mecânica Prof. Ronai Lisbôa BCT - ECT - UFRN
FM - Aula 02
By Ronai Lisboa
FM - Aula 02
Cinemática. Tempo. Posição. Deslocamento. Velocidade. Rapidez. Função movimento. Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
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