Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 04
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Estudar a cinemática segundo o cálculo diferencial e integral.
Analisar os movimentos acelerados dos movimentos retardados.
Estudar o movimento de queda livre.
Estudar o movimento sobre um plano inclinado.
Estudar o movimento de lançamento vertical.
Bibliografia ( mesma da aula anterior ):
Tipler - Cap. 2
Seções 2.2 e 2.3 (págs. 35 a 46)
- Refaça os Exemplos resolvidos.
- Faça os exercícios recomendados no SIGAA.
Mundo real
É acelerado?
\(t = 0\) s
\(t = 0,5\) s
\(t = 1,0\) s
\(t = 1,5\) s
\(t = 2,0\) s
\(x = 28,3\) cm
\(x = 31,5\) cm
\(x = 35,4\) cm
\(x = 38,6\) cm
\(x = 42,2\) cm
Planilha. LINK.
Qual é a função movimento?
Mundo real
É acelerado?
Planilha. LINK.
Qual é a função movimento?
O modelo ao lado é de outro vídeo.
Aceleração da Ferrari 348TB (1989).
Nem sempre a aceleração é constante.
Se a Ferrari mantivesse uma aceleração constante, então a função velocidade num gráfico da velocidade em função do tempo seria a reta inclinada.
A Ferrari 348TB perde desempenho a altas velocidades.
Como determinar a aceleração num dado instante se ela está mudando?
Em um gráfico da velocidade em função do tempo a inclinação da reta tangente é numericamente igual à aceleração.
Aceleração instantânea
Aceleração instantânea
A aceleração média é obtida pela reta secante.
a_{m}=\frac{\Delta v}{\Delta t}
A aceleração instantânea é numericamente igual à reta tangente no ponto P da função velocidade no gráfico v versus t.
a_1\neq a_2\neq a_3
\Downarrow
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
\text{a}_P=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}
\text{a}_P=\frac{dv}{dt}
\text{a}_P=\frac{d^2x}{dt^2}
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow a_1\neq a_2\neq a_3
aceleração constante
tangente a curva \(v_x(t)\) no ponto P
Para a aceleração não constante, recorremos ao cálculo diferencial integral para obter a aceleração instantânea (reta tangente).
Aceleração instantânea
Quando a aceleração é constante é bastante fácil obter a função velocidade.
v = v_{0} + \text{a\,}t
\text{a}=\frac{dv}{dt}
\Rightarrow
dv = \text{a}dt
\Rightarrow
\int_{v_{0}}^{v}dv = \int_{0}^t\text{a}dt
A função velocidade varia linearmente com o tempo.
x = x_0+v_{0} t+\frac{1}{2} \text{a}\,t^2
\frac{dx}{dt}= v_{0} + \text{a}t
A função posição varia quadraticamente com o tempo.
v
Quando a aceleração é constante é bastante fácil obter a função posição.
\Rightarrow
dx = (v_{0} + \text{a}t)dt
\Rightarrow
\int_{x_0}^x dx = \int_{0}^t(v_{0} + \text{at})dt
Aceleração instantânea
Outra expressão interessante é uma equação auxiliar que não considera o tempo explicitamente.
\frac{v^2}{2}-\frac{v_{0}^2}{2}= \text{a}(x-x_0)
A velocidade varia com a raiz quadrada do deslocamento vezes a aceleração.
Essa equação é chamada de Equação de Torricelli e nos será útil em muitas ocasiões quando o tempo não é informado no problema.
\text{a}=\frac{dv}{dt}
\Rightarrow
\text{a}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}
\Rightarrow
Quando a aceleração é constante é bastante fácil calcular a integral, pois \(a\) sai do integrando.
\Rightarrow
\Rightarrow
\text{a}= \frac{dv}{dx}v
\Rightarrow
v dv = \text{a}dx
\int_{v_{0}}^{v}v dv = \int_{x_0}^x\text{a}dx
v^2=v_{0}^2+2\text{a}(x-x_0)
v^2=v_{0}^2+2\text{a}\Delta x
v^2=v_{0}^2+2\text{a}\Delta x
Aceleração instantânea
Para aceleração constante, há uma terceira valiosa equação.
\Delta x \equiv \frac{B+b}{2}H
B
b
H
\Delta x = \frac{v_x+v_0}{2}\Delta t
\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v_x+v_0}{2}
v_m = \frac{v_x+v_0}{2}
Somente use para aceleração constante.
Exercício 1
Um jato está decolando do convés de um porta-aviões, como mostrado na figura. Partindo do repouso, o jato é catapultado com uma aceleração constante de +31 m/s\(^2\) ao longo de uma reta e alcança uma velocidade de +62 m/s. Determine o deslocamento do jato.
C2.Ex6 / A3.P1-01
Exercício 2
Um jogador de futebol, partindo do repouso na linha de encontro com os adversários, acelera em linha reta durante um intervalo de tempo de 1,5 s. Depois, durante um intervalo de tempo desprezível, ele varia o módulo da sua aceleração até um valor de 1,1 m/s\(^2\). Com esta aceleração, ele continua na mesma direção e no mesmo sentido por mais 1,2 s, até alcançar uma velocidade de 3,4 m/s. Qual o valor da sua aceleração (considerada como constante) durante o período inicial de 1,5 s? C2.88 / A3.P1-02
Exercício 3
A figura mostra o gráfico da velocidade de um trem que parte da origem em t = 0 s.
a. Determine a aceleração do trem em t = 3,0 s.
b. Trace os gráficos da posição e da aceleração para o trem. R2.9 / A3.P1-04
Exercício 4
Uma partícula move-se ao longo do eixo x e tem sua velocidade descrita pela função:
\(v(t) = 2t^2\) m/s,
onde \(t\) está em s. A posição inicial é \(x_0= 1\) m em \(t_0 = 0 \) s. Em \(t=1 \) s, qual é
(a) a posição,
(b) a velocidade e
(c) a aceleração da partícula?
(d) a velocidade média entre \(t = 0\) s e \(t = 1\) s. R2.22 / A3.P1-05
O movimento de objetos que se movem sob a influência da gravidade é chamado de queda livre.
Fonte: Eric Mazur
O intervalo de tempo entre os flashes sucessivos é sempre o mesmo.
x
\vec v
Os deslocamentos aumentam de um intervalo para o próximo.
Estudo 2. Aceleração constante. Queda livre.
Fonte: https://www.geogebra.org\Delta y_1
\Delta y_2
\Delta y_1 <\Delta y_2
\Delta t_1 =\Delta t_2
O movimento de objetos que se movem sob a influência da gravidade é chamado de queda livre.
Fonte: Eric Mazur
O intervalo de tempo entre os flashes sucessivos é de 0,05 s.
Qual é a magnitude da aceleração devido à gravidade?
x
\vec v
\Delta t
\Delta x \text{ aumenta}
v \propto \Delta x
a \approx constante
Como a velocidade é proporcional ao deslocamento, este gráfico nos diz que a velocidade da bola aumenta a uma taxa constante; em outras palavras, a aceleração da bola é constante.
A distância percorrida aumenta de um intervalo para o próximo.
x_6
x_7
\Delta x_{67}
Estudo 2. Aceleração constante. Queda livre.
Imagem com vários instantâneos de uma bola caindo. O intervalo de tempo entre as imagens sucessivas é de 0,1 s.
Os deslocamentos aumentam para intervalos de tempos iguais.
Entre 0,25 s e 0,50 s, \(\Delta y_3 = -0,94\) m.
Entre 0,00 s e 0,25 s, \(\Delta y_1 = -0,31\) m.
\(v_m\) = -1,24 m/s
Entre 0,75 s e 1,00 s, \(\Delta y_4 = -2,19\) m.
\(v_m\) = -3,76 m/s
\(v_m\) = -8,76 m/s
\(a_m\) = -10,8 m/s\(^2\)
Entre 0,50 s e 0,75 s, \(\Delta y_3 = -1,56\) m.
\(v_m\) = -6,24 m/s
\(a_m\) = -9,92 m/s\(^2\)
As velocidades aumentam linearmente no tempo.
A aceleração é constante no tempo.
Na queda livre a aceleração é constante.
v_m = \frac{\Delta y}{\Delta t}
a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}
Estudo 2. Aceleração constante. Queda livre.
\(a_m\) = -10,1 m/s\(^2\)
v(t) = v_0 - |a_m| t
y(t) = y_0 - |v_0| t - \frac{1}{2}|a_m| t^2
t(s)
t(s)
y(m)
\Delta y_1
\Delta y_2
\Delta y_3
\Delta y_4
Imagem com vários instantâneos de uma bola caindo. O intervalo de tempo entre as imagens sucessivas é de 0,1 s.
Os deslocamentos de um ponto ao outro são variados para intervalos de tempos iguais.
Entre 0,1 s e 0,2 s, \(\Delta x_2 = 0,147\) m.
Eixo de Referência
Origem
x
Entre 0,0 s e 0,1 s, \(\Delta x_1 = 0,049\) m.
| t (s) | x (m) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 0,1 | 0,049 |
| 0,2 | 0,196 |
| 0,3 | 0,441 |
| 0,4 | 0,784 |
| 0,5 | 1,225 |
| 0,6 | 1,764 |
| 0,7 | 2,401 |
| 0,8 | 3,136 |
| 0,9 | 3,969 |
| 1,0 | 4,900 |
\(v_m\) = 0,49 m/s
Entre 0,9 s e 1,0 s, \(\Delta x_2 = 0,931\) m.
\(v_m\) = 1,47 m/s
\(v_m\) = 9,31 m/s
\(a_m\) = 9,80 m/s\(^2\)
Entre 0,8 s e 0,9 s, \(\Delta x_2 = 0,833\) m.
\(v_m\) = 8,33 m/s
\(a_m\) = 9,80 m/s\(^2\)
As velocidades aumentam linearmente no tempo.
A aceleração é constante no tempo.
O movimento de objetos que se movem sob a influência da gravidade é chamado de queda livre.
v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}
a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}
Estudo 2. Aceleração constante. Queda livre.
Na ausência de resistência do ar, a magnitude da aceleração de todos os objetos em queda livre é de 9,8 m/s\(^2\).
a_{queda\,livre}=g=9,8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}
Quando nos referimos à aceleração de queda livre nós a representamos pela letra g de gravidade.
A velocidade aumenta em cerca de 9,8 m/s a cada segundo.
Após 2 s, sua velocidade é de cerca de 19,6 m/s .
Qual o significado de uma aceleração constante?
Estudo 2. Aceleração constante. Queda livre.
Após 4 s, sua velocidade é de cerca de 39,2 m/s .
Fonte: https://www.geogebra.org/
Exercício 5
Uma pedra é solta do repouso do topo de um edifício alto, como indicado na figura.
Fonte: Cutnell(a) Após 3,00 s de queda livre, qual o deslocamento y da pedra?
(b) Após 3,00 s de queda livre, qual a velocidade v da pedra representada na Figura?
Um projétil lançado verticalmente tem aceleração constante ao longo de todo o movimento.
Apenas 16 clips de um filme com 30 quadros por segundo:
Entre os quadros 1 e 9, a bola se move verticalmente para cima: Deslocamentos diminuem de forma não igual.
Entre os quadros 9 e 16, a bola se move verticalmente para baixo: Deslocamentos aumentam de forma não igual.
No movimento de projétil mostrado abaixo, a trajetória é uma reta vertical (sobe e desce).
x
y
Fonte: https://gifsdefisica.com/
Fonte: Eric Mazur
t=1/30\text{ s}
t=3/30\text{ s}
t=5/30\text{ s}
t=30/30\text{ s}
\cdots
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
O gráfico mostra a posição do objeto para cada tempo t. Mas lembre-se que ele está se movendo na vertical (não confunda trajetória (vertical) com a função posição (quadrática no tempo).
A bola se move verticalmente para cima e depois para baixo.
Note que os deslocamentos diminuem na subida e aumentam na descida.
Trajetória
Função posição
x(t) = x_0 + v_0t+\frac{a}{2}t^2
x
y
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Tempo (s)a=-g
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
Não confunda trajetória (vertical) com a função posição (quadrática no tempo).
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
Na subida: \(\vec a\) e \(\vec v\) têm sentidos opostos. O movimento é retardado. A rapidez diminui com o tempo. Mas \(\Delta \vec v < 0\)!
Na descida: \(\vec a\) e \(\vec v\) têm sentidos iguais. O movimento é acelerado. A rapidez aumenta com o tempo. Mas \(\Delta \vec v < 0\)!
No ponto de retorno a velocidade é instantaneamente nula, mas \(g\) é diferente de zero e negativa.
\vec v
\vec v
Fonte: Eric Mazur
\vec v =\vec 0
A aceleração é, \(a = -g\) porque o referencial é positivo para cima.
\vec g
O referencial foi adotado como sendo positivo para cima. Assim, a aceleração é negativa!
A aceleração é sempre constante, mas tem valor negativo devido ao referencial adotado (aceleração é um vetor).
Na subida: \(\vec a\) e \(\vec v\) têm sentidos opostos. O movimento é retardado. A rapidez diminui com o tempo. E \(\Delta \vec v < 0\)!
Na descida: \(\vec a\) e \(\vec v\) têm sentidos iguais. O movimento é acelerado. A rapidez aumenta com o tempo. Mas \(\Delta \vec v < 0\)!
\vec a
\vec v
\vec v
No ponto mais alto:
a < 0
v= 0
Na descida:
a < 0
v<0
No ponto mais alto a velocidade é instantaneamente nula, mas \(a\) é diferente de zero e negativa.
x
y
Na subida:
a < 0
v > 0
\Delta v < 0
\Delta v < 0
\Delta v < 0
Fonte: Eric Mazur
\vec v =\vec 0
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
Compare os gráficos da posição e da velocidade para cada tempo t.
\vec a \equiv -\vec g
\vec v
\vec v = \vec 0
x
y
\vec v
Fonte: Eric Mazur
Fonte: Eric Mazur
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
x=x_0+v_{0x}t-\frac{1}{2}gt ^2
+x
x_0
x
Para cada instante de tempo t:
Uma vez lançada a aceleração sempre será a mesma: \(a=-g\).
v =+v_{0x}-gt
A função velocidade depende da velocidade inicial. A rapidez vai diminuir na subida e aumentar na descida devido ao tempo \(t\) na parcela \(gt\).
* ou resolvendo-se a equação quadrática da função posição no tempo!
O tempo subindo pode ser obtido*:
t =\frac{v_{0x}-v}{g}
Veja que o tempo de vôo depende da
velocidade inicial!
Na altura máxima: \(v=0\) \(\rightarrow\) \(t=v_{0x}/g\):
x_{max}=x_0+
\frac{v_{0x}^2}{2g}
Veja que o altura máxima depende da posição inicial e velocidade iniciais!
O tempo para subir e descer:
t =2\frac{v_{0x}}{g}
Veja que o tempo de vôo depende da
velocidade inicial!
A altura depende da posição inicial e da velocidade inicial (condições inciais).
A aceleração não depende das condições iniciais.
a =-g
Estudo 3. Aceleração constante. Lançamento vertical.
\vec v
Exercício 6
Uma partida de futebol americano normalmente começa com o arremesso de uma moeda para se determinar quem dará o chute inicial. O juiz arremessa a moeda para cima com uma velocidade escalar inicial de 5,00 m/s.
Fonte: Cutnell(a) Na ausência de resistência do ar, até que altura a moeda chega acima do seu ponto de lançamento?
(b) Qual o tempo total que a moeda permanece no ar antes de voltar ao seu ponto de lançamento?
Exercício 7
Uma bola é arremessada verticalmente para cima com velocidade escalar inicial de 26,4 m/s. Quanto tempo leva até que a bola volte para o solo? B2.58 / A3.P2-01
Exercício 8
Um objeto é largado do repouso de uma altura h. Ele percorre 0,4h durante o primeiro segundo de sua descida. Determine a velocidade média do objeto durante toda sua descida. A3.P2-04
Galileu concluiu que a aceleração devido à gravidade é constante. Ele não tinha como estudar objetos em queda usando vídeo de alta velocidade ou fotografia com flash múltiplo e uma câmara de vácuo.
O que há de comum no movimento de uma bola nas fotografias estroboscópicas de dois experimentos de física?
Fonte: Rodolpho Caniato.
Em vez disso, ele usou planos inclinados em ângulos rasos de inclinação (o tempo que seria mais fácil de ser medido) para reduzir a aceleração e bem polidos para reduzir o atrito.
Fonte: Rodolpho Caniato.
Estudo 4. Aceleração constante. Plano inclinado.
Quando uma bola rola para baixo sobre uma inclinação a partir do repouso, a razão da distância percorrida pelo quadrado da quantidade de tempo necessária para percorrer essa distância é constante.
\frac{\Delta x_1}{\Delta t_1^2}
=
\frac{\Delta x_2}{\Delta t_2^2}
=
\frac{\Delta x_3}{\Delta t_3^2}
=0,44\text{ m/s}^2
\Delta x_1 =0,048\text{ m}
\Delta t_1 =0,33\text{ s}
\Delta t_2 = 1,00\text{ s}
\Delta t_3 = 1,67\text{ s}
\Delta x_2 =0,44\text{ m}
\Delta x_3 =1,23\text{ m}
Fonte: Direct Measurement Video. Peter Bohacek (2007)
A aceleração é constante e vale \(a_x=0,88\) m/s\(^2\).
Hoje, sabemos:
x=\frac{1}{2}a_xt^2
\Rightarrow
a_x=2\frac{x}{t^2}
Não é g!
Estudo 4. Aceleração constante. Plano inclinado.
Fonte: https://repositorio.ufrn.brComo a aceleração (\(a\)) se relaciona com o ângulo de inclinação (\(\theta\)) do plano e com a aceleração \(g\)?
Para um ângulo de 90 graus \(a\rightarrow g\). Então, há uma relação entre as acelerações?
\frac{AB}{AC} \equiv \frac{A'B'}{A'C'}
\frac{h}{L}\equiv\frac{a}{g}
a=g\frac{h}{L}
a=g\text{ sen }\theta
\Rightarrow
\theta
h
L
Assim, se \(\theta = 90^o\), \(a = g\).
No experimento mostrado (com razoável aproximação), se \(\theta = 5,1^o\), a = 9,8 sen(5,1\(^o\)) = 0,87 m/s\(^2\).
A figura está correta, mas onde está o problema (erro) deixado no quadro?
Estudo 4. Aceleração constante. Plano inclinado.
A aceleração de um objeto sobre um plano inclinado aumenta se o ângulo da inclinação do plano com a horizontal também aumentar.
Ao longo do plano não temos queda livre!
\vec a
\vec a
\vec a
\vec a = \vec g
Estudo 4. Aceleração constante. Plano inclinado.
a=g\text{ sen }\theta
Exercício 9
Um carro se desloca a 30 m/s saindo de um posto de gasolina enquanto sobe por uma pista inclinada em 20° com o motor desligado. Até que altura ele subirá na rampa antes de começar a rolar de volta? R2.20 / A3.P2-05
Exercício 10
Em uma universidade, em um exercício de laboratório, os alunos medem o ângulo de inclinação θ de um plano de baixo atrito, as rapidezes inicial e final (diferente de zero) de um carrinho à medida que desce entre duas posições no trilho e a distância entre essas duas posições. Para um ângulo de inclinação de 10,0°, um grupo obtém os valores \(v_i\) = 0,820 m/s e \(v_f\) = 1,65 m/s para uma distância de 0,608 m. Com base nesses dados, que valor esses alunos obtêm para g ?
Exercício 11
No desmoronamento ocorrido no morro do Bumba, Niterói/RJ (08/04/2010), uma massa de água e lama caiu 360 m montanha abaixo e depois se deslocou 1,00 km em uma superfície plana. Segundo uma teoria, a água e a lama se deslocaram sobre um colchão de vapor d’água. Suponha que a massa caiu com a aceleração constante e que a inclinação do morro era de 45 graus e que depois deslizou horizontalmente, perdendo rapidez a uma taxa constante. (a) Quanto tempo a lama levou para cair os 360 m? (b) Com que rapidez ela chegou embaixo? (c) Quanto tempo a lama levou para percorrer os 1,00 km na horizontal? A3.P2-07
Exercício 12
A trajetória de um objeto é dada pela equação
x(t) = 4,35 + 25,9t – 11,7t^2
a) Para qual tempo t o deslocamento x(t) está no máximo?
b) Qual é seu valor máximo? A3.P1-08
Aceleração instantânea
Usain Bolt não mantém uma aceleração constante o tempo todo. Mas Vamos considerar que seja.
O gráfico \(x \times t\) mostra que a velocidade média não é igual à velocidade instantânea quando o modelo não é linear (MRU.
FM - Aula 04
By Ronai Lisboa
FM - Aula 04
Cinemática: Aceleração instantânea. Aceleração de queda livre. Lançamento vertical. Plano inclinado. Gráficos.
