Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 05
Fundamentos da Mecânica
Prof. Ronai Lisbôa
BCT - ECT - UFRN
Objetivos
Analisar o movimento em um plano.
Revisar operações vetorial em duas dimensões.
Estudar o movimento parabólico.
Enunciar o princípio de independência dos movimentos de Galileu.
Vetores e referenciais
Vetores em um plano
Revisão: Soma de vetores
Em duas dimensões, o comprimento da soma do vetor depende do ângulo entre os vetores que estão sendo adicionados.
A soma de dois vetores pode ser menor do que o comprimento de qualquer vetor original.
A ordem da soma é irrelevante. É comutativa:
\vec a + \vec b = \vec b + \vec a
Fonte: https://phet.colorado.edu
\vec a - \vec b \neq \vec b - \vec a
A subtração de vetores não é comutativa.
\vec a - \vec b =-(\vec b - \vec a)
Vetores em um plano
Qualquer vetor \(\vec A\) pode ser decomposto em vetores componentes \(A_x\) e \(A_y\) ao longo dos eixos de um conjunto convenientemente escolhido de eixos perpendiculares, chamados de sistema de coordenadas retangulares.
Fonte: https://phet.colorado.edu
Revisão: Decomposição de vetores
\vec A
\vec A
A_y\hat j
A_x\hat i
y
x
Exemplo 1
Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 unidade, especifique a localização do ponto P em termos de suas coordenadas x e y em cada um dos três sistemas de coordenadas.
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec A
y
x
\vec A
x'
y'
A_x \hat i
A_y \hat j
x''
\vec A = A_x\hat i
y''
O vetor \(\vec A\) é o mesmo em qualquer referencial, mas os componentes \(A_x,A_y\) dependem da escolha desse referencial.
O vetor sempre terá o mesmo valor seja qual for o referencial, mas não os componentes!
A_x = 4,0
A_y = 2,0
A_x = 4,30
A_y = 1,23
A_y =0
A_x = 4,47
Matematicamente, qual seria o referencial mais fácil para fazer cálculos?
P
P
P
Vetores em um plano
Revisão: Decomposição de vetores
\vec A = A_x \hat i + A_y \hat j
\vec B = B_x \hat i + B_y \hat j
É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:
\vec R = (A_x+B_x)\hat i + (A_y+B_y)\hat j
Soma:
R_x = A_x + B_x
R_y = A_y + B_y
\vec R = R_x\hat i + R_y\hat j
x
y
\vec A
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec B
B_x \hat i
B_y \hat j
\vec R
R_x\hat i
R_y \hat j
\vec R = \vec A + \vec B
=+3
=+4
\vec R = +4\hat i +3\hat j
1
1
Vetores em um plano
Revisão: Decomposição de vetores
\vec A = A_x \hat i + A_y \hat j
\vec B = B_x \hat i + B_y \hat j
É particularmente útil ao adicioná-los ou subtraí-los:
\Delta \vec R = (B_x-A_x)\hat i + (B_y-A_y)\hat j
Diferença:
\Delta x = B_x - A_x
\Delta_y = B_y - A_y
\Delta \vec R = \Delta x\hat i + \Delta y\hat j
x
y
\vec A
A_x \hat i
A_y \hat j
\vec B
B_x \hat i
B_y \hat j
\Delta \vec R
\Delta x\hat i
\Delta y \hat j
\vec A
\Delta \vec R =\vec B - \vec A
=-2
=+1
\Delta \vec R = -2\hat i +1\hat j
Álgebra vetorial
Também podemos especificar um ponto usando coordenadas polares.
A coordenada radial r indica a distância da origem ao ponto e é sempre positiva.
r=+\sqrt{x^2+y^2}
A coordenada angular θ especifica o ângulo entre r e o eixo x e é medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo (0 ≤ θ < 360°).
\theta = \text{tan}^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
onde os sinais de x e y determinam em qual quadrante θ se encontra.
Qualquer ponto arbitrário P é especificado inteiramente por (x, y) ou (r, θ):
x=r\text{ cos}\,\theta
y=r\text{ sen}\,\theta
Exemplo 2
Se cada unidade principal da grade na figura corresponder a 1 m, especifique a localização do ponto P nas coordenadas polares
y
x
\cdot
P(x,y)
y
x
\cdot
P(r,\theta)
y
x
r
\theta
x
y
r
y
x
\theta
x = 3,5
y = 2,5
O movimento é relativo
Considere o movimento de uma bola lançada do topo de um canhão anexado a um carrinho que se move a velocidade constante ao longo de uma pista horizontal:
É um movimento acelerado em linha reta, no referencial do carrinho \(\vec v_{carro} = \vec 0\).
Fonte: https://www.compadre.org
É um movimento acelerado curvilíneo, no referencial da Terra \(\vec v_{carro} = \vec c\).
Como os dois referenciais são inerciais (\(\vec v_c = constante\)) ambos observadores medem a mesma aceleração de queda livre para a bola:
O movimento depende do referencial do observador.
\vec v_{c}=\vec 0
\vec v_{c}
\vec a_{bola} = -\vec g
As animações 4 e 5 não são referenciais inercial!
O movimento é relativo
O movimento da bola no referencial da Terra pode ser dividido em duas partes:
Movimento de queda livre na direção vertical (chamada componente vertical do movimento)
Nesse caso, há um MRUV.
Movimento à velocidade constante na direção horizontal (chamado de componente horizontal do movimento).
Nesse caso, há um MRU.
Fonte: https://www.compadre.org
\vec v_y
\vec v_x
\vec v_y
\vec v_x
\vec v_{c}
Fonte: https://www.compadre.org
Estamos estudando a independência dos movimentos de Galileu.
Exemplo 3
(a) Na figura, qual é a velocidade da bola antes de sua liberação?
(b) A velocidade da bola no quadro de referência do carrinho é maior que, igual ou menor que sua velocidade no quadro de referência da Terra
Fonte: https://www.compadre.org
Fonte: Eric Mazur
A bola cai verticalmente para baixo relativo ao carro...
...enquanto o carro se move horizontalmente relativo à Terra
Fonte: Eric Mazur
deslocamento da bola relativamente ao carro
deslocamento do carro
deslocamento da bola relativamente à Terra
Eixo de referência indica o sistema de coordenadas
Movimento em um plano
Vejamos, primeiramente as coordenadas da bolinha no referencial da Terra em dois instantes de tempo distintos.
Referencial da Terra
Fonte: https://www.compadre.org
Fonte: https://www.compadre.org
y(m)
x(m)
\vec r_2
\vec r_2 = x_2\hat i + y_2\hat j
No tempo t = 4,3 s.
\vec r_1
x(m)
y(m)
\vec r_1 = x_1\hat i + y_1\hat j
No tempo t = 2,8 s.
\vec r(t)=x(t)\hat i+y(t)\hat j
Para qualquer tempo t:
\vec r_1 = 2,0\hat i + 5,0\hat j
\vec r_2 = 3,5\hat i + 2,5\hat j
A partir dos vetores posições \(\vec r_1\) e \(\vec r_2\) é possível determinar o deslocamento (\(\Delta \vec r \)) da bolinha no plano.
O vetor deslocamento da bola:
\Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
P
R
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Esse é o deslocamento entre os dois instantes de tempo \(t_1\) e \(t_2\).
\Delta \vec r = (x_2-x_1)\hat i + (y_2-y_1)\hat j
\Delta \vec r = 1,5 \hat i -2,5 \hat j
t_1=2,8\text{ s}
t_2=4,3\text{ s}
\vec r_1 = 2,0\hat i + 5,0\hat j
\vec r_2 = 3,5\hat i + 2,5\hat j
Os vetores posições da bolinha são:
Veja, isso vale \(+1,5\hat i\)
Veja, isso vale \(-2,5\hat j\)
A velocidade média é calculada para cada uma das componentes.
O vetor velocidade média é dado por:
\vec v_m = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
Movimento em um plano
Referencial da Terra
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{\Delta x}{\Delta t} \hat i+
\frac{\Delta y}{\Delta t} \hat j
v_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}
\Delta \vec r = (1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta t = 1,5\text{ s}
=\frac{1,5}{1,5} =+1,0\frac{\text{m}}{\text{s}}
=-\frac{2,5}{1,5}= -1,7 \frac{\text{m}}{\text{s}}
\vec v_m = (1,0\hat i-1,7\hat j)\text{m/s}
Se o vetor deslocamento é dado por:
\Delta \vec r =( 1,5 \hat i -2,5 \hat j)\text{m}
\Delta \vec r = \Delta x \hat i + \Delta y\hat j
\vec v_m
\Delta \vec r
O vetor velocidade média tem a direção e sentido do vetor deslocamento.
\vec v_m
O vetor velocidade instantânea é dado por:
\vec v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Na horizontal (MRU):
v_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}
Na vertical (MRUV):
v_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} =\frac{dy}{dt}
O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e não tem a mesma direção que o vetor deslocamento \(\Delta \vec r\).
A velocidade instantânea é calculada para cada uma das componentes.
=\frac{d\vec r}{dt}
d y
\vec v = v_x\hat i + v_y \hat j
O vetor velocidade instantânea é tangente à trajetória e tem a direção do vetor deslocamento infinitesimal \(d \vec r\).
d x
\Delta \vec r
Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!
O vetor aceleração média é dado por:
\vec a_m = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Na horizontal (MRU):
a_x=0
Na vertical (MRUV):
a_y=\frac{\Delta v_y}{\Delta t}
O vetor aceleração média tem a direção da variação do vetor velocidade.
A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.
\vec v_i
\vec v_f
\Delta \vec v
\vec a_m
Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!
O vetor aceleração instantânea tem a direção do vetor velocidade infinitesimal.
\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d\vec v}{dt}
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Na horizontal (MRU):
a_x=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_ x}{\Delta t} =\frac{dv_x}{dt}
Na vertical (MRUV):
a_x=0
a_y=-g
a_y=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_y}{\Delta t} =\frac{dv_y}{dt}
\Rightarrow
\Rightarrow
A aceleração média é calculada para cada uma das componentes. No movimento de queda livre, lançamento horizontal e vertical há somente a componente vertical da aceleração.
Aqui você precisa das funções: \(v_x,v_y\)!
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Na horizontal (MRU):
\Delta x = v_{0x}\Delta t
Na vertical (MRUV):
\Delta y = v_{0y}\Delta t-\frac{1}{2}g(\Delta t)^2
A velocidade é a composição dos movimentos MRU e MRUV:
x = x_0+ v_{0x}t
y = y_0+ v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
\Rightarrow
O movimento na horizontal é independente do movimento na vertical. Isso é chamado de independência dos movimentos de Galileu.
\Delta \vec r
\Rightarrow
v_x=v_{0x}
v_y=v_{0y}-gt
\vec v = v_{0x}\hat i+(v_{0y}-gt)\hat j
\vec v_0
v_{0x}\hat i
\vec v_{0y} \hat j
\vec v_0 = v_{0x}\hat i+v_{0y}\hat j
A velocidade inicial de lançamento:
\Delta x
\Delta y
Movimento em um plano
Para especificar a posição da bola, precisamos de uma coordenada x para especificar a posição ao longo do eixo x e uma coordenada y para especificar a posição ao longo do eixo y.
Referencial do Carro x Referencial da Terra
Fonte: Eric Mazur
deslocamento \(\Delta \vec r\)
vel. instantânea \(\vec v\)
aceleração \(\vec a =\vec 0\)
\(\vec v\) é tangente à trajetória
trajetória da bola
\(\vec a\) está na direção de \(\Delta \vec v\)
Fonte: Eric Mazur
deslocamento da bola relativamente ao carro
deslocamento do carro
deslocamento da bola relativamente à Terra
Eixo de referência indica o sistema de coordenadas
Os movimentos no plano são úteis para estudar os movimentos parabólicos e os lançamentos horizontais.
Movimento em um plano
Referencial da Terra
x
y
Fonte: Tipler & Mosca
Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Vetores:
Componentes:
\vec r = x\hat i+y\hat j
\vec v = v_x\hat i+v_y\hat j
\vec a = a_x\hat i+a_y\hat j
x=x_0+v_{0x}t
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
v_x=v_{0x}
v_y=v_{0y}-gt
a_x=0
a_y=-g
v_{0x} = v_{0}\text{ cos}(\theta)
v_{0y}=v_0\text{ sen}(\theta)
\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\text{tan}(\theta)
Fonte: https://phet.colorado.edu
Movimento em um plano
Referencial da Terra
A trajetória. Composição do movimento.
Fonte: Ralliday & Resnick
x=x_0+v_{0x}t
y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}
y=y_0+v_{0y}\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right)^2
A altura:
H = y-y_0
O alcance:
R = x-x_0
H=v_{0y}\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{R}{v_{0x}}\right)^2
H=R\text{ tan}(\theta)-
\frac{g}{2v_0^2\text{ cos}^2(\theta)}R^2
Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.
c+bR+aR^2=0
É uma função quadrática no alcance!
\(|b|> |4 a c|\)
As trajetórias mudam conforme as condições iniciais!
Condições iniciais: \(v_0, \theta, y_0, x_0\)
import math
def calcular_raizes(H, V, theta):
# Constante da gravidade
g = 9.81 # m/s^2
# Cálculo dos coeficientes a, b, c
c = H
b = -math.tan(math.radians(theta))
a = g / (2 * V**2 * math.cos(math.radians(theta))**2)
# Imprimir os valores de c, b, a com quatro casas decimais
print(f"c = {c:.4f}")
print(f"b = {b:.4f}")
print(f"a = {a:.4f}")
# Passar para a forma clássica da equação quadrática aR^2 + bR + c = 0
discriminante = b**2 - 4*a*c
if discriminante < 0:
print("Erro: Não há raízes reais porque b < 4ac")
else:
R1 = (-b + math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
R2 = (-b - math.sqrt(discriminante)) / (2*a)
# Imprimir as raízes com quatro casas decimais
print(f"As raízes são R1 = {R1:.4f} e R2 = {R2:.4f}")
# Exemplo de uso:
H = 1.0 # exemplo de altura
V = 10.0 # exemplo de velocidade inicial
theta = 45.0 # exemplo de ângulo em graus
calcular_raizes(H, V, theta)Movimento em um plano
Referencial da Terra
Pontos particulares:
Altura vertical (\(v_y = 0\)).
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}
Altura vertical máxima (\(\theta = 90^o)\).
H_{max}=\frac{v_{0}^2}{2g}
Alcance horizontal (\(H = 0\)).
R=\frac{2v_0^2}{g}\text{cos}(\theta)\text{sen}(\theta)
Alcance horizontal máximo (\(H = 0, \theta = 45^o\)).
R=\frac{v_0^2}{g}
Podemos aplicar o princípio da independência dos movimentos de Galileu no movimento parabólico.
Fonte: https://phet.colorado.edu
t_s=\frac{v_{0y}}{g}
t_t=2\frac{v_{0y}}{g}
t_s=\frac{v_{0}}{g}
t_s=2\frac{v_{0}}{g}
Exemplo 4
Uma atleta atira uma bola contra um muro vertical de 4,0 m à sua frente. A bola está a 2,0 m acima do chão quando abandona a mão da atleta com velocidade de 14 m/s a 45 graus, conforme mostrado. Quando a bola atinge o muro, a componente horizontal de sua velocidade é revertida; a componente vertical não se altera. Ignore a resistência do ar.
Fonte: Tipler & Mosca Cap. 3 - P100
(a) Quanto tempo a bola ficou no ar antes de atingir o muro?
(b) Onde a bola atingiu o chão atrás da mulher?
(c) Onde a bola atingiu o muro?
(d) Quanto tempo a bola ficou no ar após abandonar o muro?
Exemplo 5
Você navega em um navio de um píer para uma bóia a 1500 m a nordeste do píer. Lá você navega até um ponto a 300 m ao sul e a 700 m a leste da bóia. Qual é a sua distância do píer nesse ponto?
Exemplo 6
Uma bola é lançada em um ângulo de 30° com a horizontal a uma rapidez de 30 m/s. Escreva a velocidade da bola em termos de vetores unitários retangulares.
Exemplo 7
A bola da figura é lançada a partir da origem de um sistema de coordenadas xy. (a) Escreva expressões dando, no topo de sua trajetória, as coordenadas retangulares da bola em termos de sua velocidade inicial e a aceleração devido à gravidade g. (b) Qual o alcance horizontal da bola?
Fonte: https://www.compadre.org
x(m)
y(m)
Exemplo 8
Controlando um robô.
Tudo começa como um jogo.
A mesma ideia se aplica ao controle de um drone ou a um robô na superfície de um planeta distante.
1) Escolha a grandeza;
2) Clique Play;
3) Controle a bola via o vetor!
Depois de meses atolado em um banco de areia, a Nasa decide transformar o jipe-robô Spirit em estação científica estacionária. Mas, para isso, será preciso sobreviver ao próximo inverno (Nasa).
Fonte: https://youtu.be/x5lY_1MM1HY
Fonte: http://www.nasa.gov
Além das coordenadas é essencial conhecer a trajetória da nave spirit.
Um novo desafio em Marte
Exemplo 8
Um veículo robótico está explorando a superfície de marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo que será representado por um ponto, possui componentes x (em metros) e y (em metros) que variam com o tempo de acordo com as equações:
Exemplo 8
x(t) = 2,0 -0,25 t^2
y(t) = 1,0t +0,025 t^3
a) Quais as coordenadas do veículo no tempo t = 0,0 s ?
b) Quais as coordenadas do veículo no tempo t = 2,0 s ?
c) Qual o deslocamento do veículo no intervalo de tempo \(\Delta t\)?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?
e) Qual a velocidade e aceleração instantâneas nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?
Exemplo 8
Soluções: a, b, c.
Exemplo 8
Qual a velocidade média entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?
O vetor velocidade média é proporcional à VARIAÇÃO do vetor deslocamento.
Qual a velocidade instantânea nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?
Exemplo 8
O vetor velocidade é proporcional à VARIAÇÃO do vetor deslocamento.
Exemplo 8
Qual a aceleração média entre os tempos t = 0 e t = 2,0 s?
O vetor aceleração média é proporcional à VARIAÇÃO do vetor velocidade instantânea.
Exemplo 8
Qual a aceleração instantânea nos tempos t = 0 e t = 2,0 s?
O vetor aceleração instantânea tem a direção da VARIAÇÃO
do vetor velocidade instantânea.
No movimento no plano a velocidade instantânea e a aceleração não apontam na mesma direção.
Movimento em um plano
Referencial da Terra
Fonte: https://www.compadre.org
Fonte: https://www.compadre.org
A bola diminui a velocidade
A bola está instantaneamente em repouso
A bola aumenta a velocidade
x(m)
y(m)
\vec v
\vec a
x(m)
y(m)
\vec v
\vec a
\vec v \cdot \vec a <0
\vec v \cdot \vec a =0
\vec v \cdot \vec a >0
Como gerar órbitas circulares e eclípticas.
Movimento em um plano
Defina a direção do vetor velocidade em relação ao vetor aceleração (devido a uma força).
Movimento em um plano
Referencial da Terra
O componente da aceleração paralelo à velocidade instantânea faz com que o comprimento da velocidade instantânea varie. Na subida faz a velocidade diminuir! Na descida faz a velocidade aumentar.
\vec v
\vec a
\vec a_{\|}
a_{\bot}
\vec v
\vec a
a_{\bot}
\vec a_{\|}
\vec v
\vec a
a_{\|}
a_{\bot}
\vec v
\vec a
a_{\bot}
A bola diminui a velocidade
A bola mantém a velocidade
A bola aumenta a velocidade
\vec a = a_{\|}\hat i+a_{\bot}\hat j
O componente da aceleração perpendicular à velocidade instantânea faz com que a direção da velocidade instantânea mude.
\vec v
\vec a
\vec a = -a_{y}\hat j
A direção da velocidade muda
Latitude e Longitude
Latitude e longitude nada mais são do que nomes que as coordenadas geográficas únicas obtidas para cada ponto da superfície terrestre.
A latitude é o ângulo formado entre o ponto de interesse e o equador terrestre. A mesma é medida ao longo do meridiano que passa pelo lugar de interesse.
A longitude geográfica é o ângulo formado entre o meridiano de Greenwich e o meridiano que passa pelo ponto considerado.
Latitude e Longitude
5^o 45' 22"\text{S}\quad
35^o 11' 42"\text{W}
22^o 59' 0"\text{S}\quad
43^o 11' 05"\text{W}
Latitude e Longitude
Início: Forte Reis Magos
Fim: Biblioteca Central UFRN
5^o 50' 22"\text{S}\quad
35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad
35^o 11' 42"\text{W}
Distância:
y=9.243,18\text{ m}
A latitude mudou
Latitude e Longitude
Início: Forte Reis Magos
Fim: Rio Santana
5^o 45' 22"\text{S}\quad
35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad
36^o 48' 10"\text{W}
Distância:
x=178.140,91\text{ m}
A longitude mudou
Latitude e Longitude
Início: Forte Reis Magos
Fim: Rio Santana
5^o 45' 22"\text{S}\quad
35^o 11' 42"\text{W}
5^o 45' 22"\text{S}\quad
36^o 48' 10"\text{W}
Distância:
x=178.140,91\text{ m}
A longitude mudou
FM - Aula 05
By Ronai Lisboa
FM - Aula 05
Cinemática. Movimento no plano. A decomposição de vetores. Movimento parabólico.
