Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 02
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Explicar o Movimento Harmônico Simples (MHS).
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Analisar o balanço de energia no MHS.
Analisar o movimento dos sistemas:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 13 - Movimento Periódico.
Seção: 13.3.
Seção: 13.4 (MHS angular).
Seções: 13.5 e 13.6.
Fonte: Giphy. Prof. Walter Lewin - MIT
- Pêndulo simples;
- Pêndulo físico;
- Pêndulo de torção.
História e Ciência
Galileu Galilei nasceu a 15 de Fevereiro de 1564, em Pisa, Itália.
1564 - 1642
Galileu, desenvolveu um método de pesquisa e estudo… ele queria descrever os movimentos na Terra e não somente do Cosmos.
Para Galileu a experimentação é essencial, não somente a lógica. Não é possível argumentar a natureza. É necessário ter uma hipótese e testá-la várias vezes e comprovar que sua hipótese é válida.
Uma vez descoberta ou formulada uma Lei da Natureza é necessário descrevê-la matematicamente.
História e Ciência
Galileu, durante uma missa na Catedral de Pisa (Torre de Pisa….
começou a contar quanto tempo leva para o candelabro completar uma oscilação.
descobriu o período de oscilação do pêndulo não muda por um tempo razoavelmente longo.
Fonte: WikipediaFonte: WikipediaHistória e Ciência
A partir da observação do candelabro da catedral de Pisa ele formula:
A lei do pêndulo.
O período do pêndulo não depende da massa e nem da amplitude, mas somente do comprimento do fio que sustenta a massa (para pequenas amplitudes em torno do ponto de equilíbrio).
Hoje, a expressão em uma linguagem matemática moderna (não geométrica) para a Lei do Pêndulo é:
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
Na Terra, quanto maior o comprimento do fio maior será o tempo para completar um ciclo (ir e voltar) ou mais lento será o movimento.
História e Ciência
Por quê o período do pêndulo depende somente do comprimento do fio e não depende da massa (peso, para Galileu) ?
A ideia da época era que quanto maior o Peso dos objetos menor é o tempo de queda.
Um objeto mais “pesado" cai mais rapidamente (tempo menor) do que um objeto menos “pesado” (Aristóteles).
Mas o “peso” no pêndulo está caindo também. E esse tempo de queda não depende do “peso" no pêndulo (Galileu).
h
O que a natureza está escondendo?
História e Ciência
Por meio da experimentação Galileu e mais provavelmente o seu assistente Vicenzo Viviane (discípulo e 1o. biógrafo de Galileu) fazem o experimento da queda livre dos corpos do alto da Torre de Pisa.
Pensa-se que Viviane foi ao topo da Torre de Pisa e em uma demonstração pública mostrou que largando ao mesmo tempo duas esferas de massas diferentes o tempo de queda é praticamente o mesmo.
A diferença no tempo de queda ao tocar o piso era ínfima e então, a ideia antiga (Aristóteles) deveria ser refutada pela experimentação.
O que a natureza está escondendo?
Qual é a lei de queda dos corpos? Qual o modelo? Quais as suposições a partir das observações experimentais da queda?
Hipótese: A resistência do ar deve atuar sobre os objetos mais leves e por isso levam mais tempo para tocar o chão.
Fonte: Wikipedia/Theresa KnottHistória e Ciência
Galileu se depara com um problema técnico. Não havia naquela época como medir os tempos com a precisão que ele precisava para mostrar que os corpos em queda livre caem ao mesmo tempo se se desconsiderar o atrito.
Problema:
Não há relógios precisos para curtos intervalos de tempo.
Solução:
Desenvolver um relógio que permita medir a passagem do tempo entre duas posições consecutivas.
Reduzir o tempo de queda dos objetos e também reduzir o atrito.
Como:
Desenvolver e aperfeiçoar o plano inclinado.
CLEPSIDRA - Relógio d’água.
Permite adicionar intervalos de tempo
PLANO INCLINADO
Permite reduzir o tempo de queda
História e Ciência
Os experimentos pensados de Galileu com o plano inclinado mostraram que:
Uma partícula que desce de uma altura h ao longo de um plano inclinado de inclinação \(\theta_1\) adquire uma velocidade exatamente suficiente para elevá-la de uma altura h ao longo de outro plano inclinado de inclinação \(\theta_2\) , quaisquer que sejam os ângulos \(\theta_1\) e \(\theta_2\) .
Uma curva pode ser pensada como uma sucessão de planos inclinados infinitésimos, de inclinações variáveis continuamente.
Ele aplicou esses conhecimentos do plano inclinado ao estudo do pêndulo simples.
s=\frac{1}{2}at^2
a=g\text{ sen}\theta
Motivação
Os pêndulos permitem controlar o tempo.
Fonte: https://www.youtube.com/embed/JWtsOiVxIIE em t = 2:32 min e pular para t = 5:00 min.MHS. Pêndulo Simples.
O pêndulo simples é um dispositivo mecânico que consiste de um fio inextensível e massa desprezível onde uma extremidade é fixa e na outra existe uma massa que pode oscilar segundo um MHS.
FONTE: PHETT ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
\approx \theta < 15^o\approx 0,25 \text{rad}
Para um dado planeta, um pêndulo comprido possui um período maior que um pêndulo curto.
Quando \(g\) aumenta o período diminui e a frequência aumenta, pois \(\omega_0 T = 2\pi\) (constante).
O período não depende da massa do pêndulo simples.
MHS. Pêndulo Simples.
Sobre a massa há apenas duas forças:
\vec F_r = \vec T + \vec P
Tração \(\vec T\) de direção e magnitudes que variam.
Peso \(\vec P\) de direção e magnitudes que não variam.
A força resultante não é constante.
No referencial adotado as forças peso e tração têm as seguintes componentes:
P_{tan} = P \text{sen}\alpha
P_{rad} = P \text{cos}\alpha
No ponto mais baixo da trajetória qual o valor de \(P_{tan}\)?
No ponto mais baixo qual a força resultante?
T_{tan} = 0
T_{rad} = T
A força restauradora é \(P_{\tan}\).
-mg\text{sen}(\alpha)=ma_t
A força que muda a direção é \(T-P_{rad}\).
T-mg\cos(\alpha)=m\frac{v_t^2}{r}
\(W\) é a força peso (weight)
MHS. Pêndulo Simples.
A força restauradora sobre o pêndulo simples é a força tangencial (\(P_{tan}\)). Essa força varia com o ângulo \(\theta\). Há um MHS se esse ângulo é pequeno!
FONTE: Sears & Zemansky
O movimento é acelerado e ao longo da força tangencial, a partir da segunda lei de Newton:
F_r = m a_t
-m g \text{ sen }\theta = m a_t
\Rightarrow \quad a_t = - g \text{ sen }\theta
\Rightarrow \quad a_t \approx - g\,\theta
\Rightarrow \quad F_r \approx -\frac{mg}{L}x
Similar à Lei de Hooke!
\text{sen }\theta\approx \theta.
Para pequenos ângulos, temos
E \(x = L\theta \). Daí,
a_t=-g\frac{x}{L}
\frac{d^2x}{dt^2}=-g\frac{x}{L}
\Rightarrow \quad\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
É a EDO que rege o movimento do pêndulo simples.
MHS. Pêndulo Simples.
Tal como o sistema massa-mola, o pêndulo simples é regido por uma EDO, tal que:
FONTE: Wolfgang & Bauer\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega_0^2 x
e a solução é uma função periódica no tempo:
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
onde a frequência angular é:
\omega_0 =\sqrt{ \frac{g}{L}} = \frac{inercial}{inelástica}
A frequência e o período:
f =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}
T ={2\pi}\sqrt{\frac{L}{g}}
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
ou
\equiv\frac{elástica}{inercial}
\text{sen}\theta\approx \theta
\theta \approx 0,26\text{ rad}=15^o
Aproximações válidas para ângulos pequenos.
Para ângulos maiores veja a seção 13.5 do Sears ou a video-aula recomendada.
x=L\theta
MHS. Pêndulo Simples.
As funções de movimento do pêndulos simples são:
\theta(t) = \theta_0\cos(\omega_0 t + \delta)
constante de fase
amplitude
frequência angular
\omega_0=\sqrt{\frac{g}{L}}
Função posição angular
Função velocidade angular
Função aceleração angular
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}=-\omega_0\theta_0\text{sen}(\omega_0t+\delta)
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}=-\omega_0^2\theta_0\text{cos}(\omega_0t+\delta)
Função velocidade
v(t) = L\omega(t)
Função aceleração
a(t) = L\alpha(t)
Questão 1
Você dispõe de um pêndulo que oscila com período T na Terra. Você o leva para a Lua. Qual será o período do pêndulo na Lua em função do seu período na Terra?
Fonte: https://youtu.be/duyzRDq9CG4Questão 2
Um pêndulo de comprimento igual a 45,3 cm está pendurado em um teto. Seu movimento está restrito por um pino fixado em uma parede 26,6 cm diretamente abaixo do pivô. Qual é o período de oscilação?
Fonte: Wolfgang & Bauer
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Seja no sistema massa-mola ou nos diversos pêndulos, a força restauradora é responsável pelo MHS. Ela é do tipo: \(F = - c \,x\).
A energia total do sistema (mecânica) é conservada no tempo.
Mas as energias cinética e potencial variam no tempo!
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
A força elástica é um força conservativa (depende da posição e é central):
F(x) = -kx
O trabalho realizado pela força elástica:
W = \int_{x_i}^{x_f} F(x)dx
\Rightarrow W = \frac{1}{2}kx_i^2-
\frac{1}{2}k^2x_f^2
A variação da energia cinética:
\Delta K=K_f-K_i
\Rightarrow \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2
A variação da energia potencial elástica para uma força conservativa:
\Delta U = -W
\Rightarrow \Delta U = \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2
funções quadráticas
Note que \(x\) e \(v\) são funções do tempo!
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
Somando as variações da energia cinética e potencial elástica, obtemos a variação da energia mecânica do sistema:
\Delta E = \Delta K +\Delta U
onde definimos \(E =K+U\) como a energia mecânica do sistema. Então:
E = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2-
\frac{1}{2}mv_i^2\right)+\left( \frac{1}{2}kx_f^2-
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
\Delta E =\left( \frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}kx_f^2
\right)-\left( \frac{1}{2}mv_i^2+
\frac{1}{2}kx_i^2\right)
\Delta E =E_f-E_i
Note que as grandezas \(v\) e \(x\) são funções do tempo! Mas a energia mecânica não é!
Fonte: Eric Mazur. Veja código aqui.import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
ke=2.0
mp=2.0
En=10.0
def ve(x):
return (2.0*(En-0.5*ke*x**2)/mp)**0.5
def Up(x):
return 0.5*ke*x**2
def Kc(x):
return 0.5*mp*ve(x)**2
xp = np.linspace(-3,3)
v = ve(xp)
U = Up(xp)
K = Kc(xp)
plt.plot(xp, U, label='Energia potencial')
plt.plot(xp, K, label='Energia cinetica' )
plt.xlim([-5,5])
plt.ylim([-1,12])
plt.legend(loc=2)
plt.title('Conservação da Energia no Pêndulo Simples')
plt.xlabel('Posição [m]')
plt.ylabel('Energia [J]')
plt.grid()Verifique: COLAB Notebooks
Balanço da Energia Mecânica no MHS.
As funções de movimento e velocidade são funções oscilatórias no tempo:
E =K+U=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \delta)
v(t) = -\omega_0A\text{sen}(\omega_0 t + \delta)
U = \frac{1}{2}kx^2\,\,=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0t+\delta)
As funções energia potencial elástica e cinética são funções oscilatórias no tempo:
K = \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{sen}^2(\omega_0t+\delta)
A energia mecânica é constante no tempo.
E =K+U=\frac{1}{2}kA^2
ou
\omega_0^2=\frac{k}{m}
Fonte: GeogebraBalanço da Energia Mecânica no MHS.
A energia mecânica do pêndulo simples para qualquer ângulo \(\theta\):
E = K + U
E = \frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
Nos pontos de retorno (\(v = 0\)):
K = 0
U=mgL[1-\cos(\theta_0)]
\Rightarrow E =mgL[1-\cos(\theta_0)]
Fonte: Wolfgang & BauerA energia mecânica é conservada:
E_i = E_f
\Rightarrow \quad mgL[1-\cos(\theta_0)]
=
\frac{1}{2}mv^2 + mgL[1-\cos(\theta)]
\Rightarrow v=\pm \sqrt{
2gL
[
\cos(\theta)-\cos(\theta_0})
]
A velocidade do pêndulo:
Fonte: https://pin.it/2SEybXWQual o tempo para ir de \(v = 0\) a \(v = v_{max}\)?
Por que o vetor aceleração muda de direção?
Questão 3
Um corpo de 3,0 kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4,0 cm e um período de 2,0 s. (a) Qual é a energia total? (b) Qual é a rapidez máxima do corpo? (c) Em qual posição a rapidez do corpo é a metade de seu valor máximo?
Questão 4
Uma trapezista de circo inicia seu movimento partindo do repouso com a corda formando um ângulo de 45 graus com a vertical. A corda em 5,00 m de comprimento. Qual será a velocidade da trapezista no ponto mais baixo da trajetória?
Questão 5
Um bloco de 500 g, preso a uma mola, é puxado por uma distância de 20 cm e liberado. As oscilações subseqüentes são medidas, e delas se obtém um período de 0,80 s. Em que posição ou posições a velocidade do bloco vale 1,0 m/s?
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
O pêndulo físico é um dispositivo mecânico que consiste de um corpo com volume finito onde uma extremidade é suspensa por um pivô. Na posição de equilíbrio, o centro de gravidade está diretamente abaixo do pivô.
O pivô pode ser alterado e isso afeta o período de oscilação.
O movimento do centro de gravidade é um arco de circunferência: \(x= L\theta\).
Ao deslocar o centro de gravidade a força peso que atua sobre esse ponto vai exercer um torque em relação ao pivô.
Qual o valor da inércia rotacional de cada barra em relação a um pivô?
FONTE: Halliday & ResnickA força de contato (\(\vec N = normal\)) não realiza torque, pois a linha de ação dessa força passa pelo eixo de rotação.
\vec N
\vec F_p
A força de ação à distância (\(\vec F_p =peso\)) realiza torque, pois a linha de ação dessa força passa pelo centro de gravidade quando a barra está deslocada:
\tau_0 = - (r\text{ sen }\theta) F_p
r_{\bot}
Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
\tau_0 = I_0\alpha
\Rightarrow \quad I_0\alpha = -mgr\text{ sen }\theta
\Rightarrow \quad\frac{d^2\theta}{dt^2} =- \frac{mg\,r}{I_0}\text{ sen }\theta
Para pequenos ângulos (\(\text{sen}\theta\approx \theta\)) observa-se um MHS:
\frac{d^2\theta}{dt^2} =-\omega_0^2\theta
\omega_0^2= \frac{mg\,r}{I_0}
onde
e
\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t + \delta)
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
\tau_0 = -r_{\bot} F_p
A frequência angular e o período de um pêndulo físico são:
\omega_0^2= \frac{mg\,r}{I_0}
O pêndulo físico possui momento de inércia \(I_0\) e cujo centro de massa está a uma distância \(r\) do pivô. Se o pivô atravessa o centro de massa:
T={2\pi}\sqrt{\frac{I_0}{mg\,r}}
Fonte: Bauer & Wolfgangr=\frac{l}{2}
I_{cm}=\frac{1}{12}ml^2
O período fica:
\equiv\frac{elástica}{inercial}
I_{0}=I_{cm}+mr^2
Em relação ao pivô aplicamos o Teorema dos eixos paralelos:
e
\Rightarrow \quad I_{0}=\frac{1}{3}ml^2
\Rightarrow \quad T = 2\pi\sqrt{
\frac{2l}{3g}
}
T = 2\pi\sqrt{
\frac{r}{g}+\frac{I_{cm}}{m g r }
}
MHS. Pêndulo Físico (ou composto).
Questão 6
Uma haste fina oscila sem atrito em relação a uma de suas extremidades. A haste possui massa de 2,50 kg e comprimento de 1,25 m. Através de sua extremidade inferior, a haste é deslocada para a direita de um ângulo de 20,0 graus em relação à vertical. A haste é então liberada a partir do repouso oscilando em um movimento harmônico simples. Qual é o período do movimento? Se toda a massa da haste fosse concentrada em uma esfera a uma distância L do pivô, qual seria o período do movimento?
Questão 7
Na Terra, os garimpeiros procuram um depósito de minério de ferro sob o solo. Eles decidem usar a aceleração da gravidade para descobrir onde o ferro está localizado porque a massa adicional de ferro deve mudar a aceleração da gravidade. Eles usam um pêndulo cuidadosamente feito com um comprimento de 2,00000 metros e medem o período do balanço enquanto caminham pela área onde acham que o depósito está localizado. Para o milionésimo de segundo mais próximo, quanto o período mudará se a aceleração da gravidade entre dois pontos mudar de 9,80000 m/s^2 para 9,80010 m/s^2?
MHS. Pêndulo de Torção.
Um pêndulo de torção consiste em um objeto suspenso por um fio. Quando o fio é torcido e depois liberado, o objeto descreve um movimento harmônico angular simples.
Fonte: Halliday & ResnickA rotação do disco de um ângulo \(\theta\) em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por:
\tau = - \kappa \theta
Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
I_0\alpha = -\kappa \theta
\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{\kappa}{I_0} \theta
\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega_0^2 \theta
\omega_0^2=\frac{\kappa}{I_0}
onde
onde \(\kappa\) é a constante de torção que depende do comprimento do fio e do material de que é feito.
MHS. Pêndulo de Torção.
Para pequenos ângulos de torção, o pêndulo de torção executa um MHS com período:
T=2\pi \sqrt{\frac{I_0}{\kappa}}
Medindo-se o período e conhecendo-se a inércia rotacional é possível determinar as propriedades do fio, isto é, do que ele é feito!
Questão 8
A figura (a) mostra uma barra fina cujo comprimento \(L\) é 12,4 cm e cuja massa m é 135 g, suspensa em fio longo pelo ponto médio. O valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e o fio é \(T_a\) = 2,53 s. Quando um objeto de forma irregular, que vamos chamar de objeto X, é pendurado no mesmo fio, como na figura (b), e o valor do período aumenta para \(T_b\) = 4,76 s. Qual é o momento de inércia do objeto X em relação ao eixo de suspensão?
Fonte: Halliday & ResnickQuestão 9
Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 cm e 500 g de massa preso a uma barra homogênea de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. (a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período das oscilações.
Fonte: Halliday & ResnickQuestão 10
Uma roda de bicicleta pode girar livremente em torno do eixo, que é mantido fixo. Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do eixo, como mostra a figura. (a) Usando como modelo para a roda um anel delgado, de massa m e raio R, qual é a frequência angular ω para pequenas oscilações do sistema em termos de m, R, r e da constante elástica k? Qual é o valor de ω para (b) r = R e (c) r = 0?
Fonte: Halliday & Resnick
Questão 11
Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento.
Aplicação
Pesquisadores de biomecânica usam o modelo de pêndulo para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
Ao caminhar avançamos de um comprimento 2L, onde L é o comprimento das nossas pernas.
L
2L
O período do pêndulo simples é:
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
A rapidez ao andar é
v=\frac{2L}{T}
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{Lg}
Para \(L=1\,m\), a rapidez da caminhada é:
v\approx 1,0\text{ m/s}
Aplicação
Pesquisadores de biomecânica usam o modelo de pêndulo para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
Ao caminhar avançamos de um comprimento 2L, onde L é o comprimento das nossas pernas.
L
2L
O período físico é:
T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}
A rapidez ao andar é
v=\frac{2L}{T}
\Rightarrow \quad v=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{Lg}
Para \(L=1\,m\), a rapidez da caminhada é:
v\approx 1,2\text{ m/s}
Aplicação
Pesquisadores de biomecânica usam o modelo de pêndulo para calcular o momento de inércia dos membros inferiores de animais. Essa informação é importante para analisar como um animal caminha.
Em um modelo ainda mais elaborado as pernas oscilam como pêndulos físicos invertidos.
Fonte: BalbinotMovimentos como esses são utilizados em algoritmos simplificados para controle, estimação e aprendizado de uma máquina.
As equações estão longe do nível desse curso. Em equações diferenciais e modelagem integrada começarão a aperfeiçoar o modelo.
Aplicação
Manter o equilíbrio em robôs requer modelagem numérica.
Pêndulo invertido e automação.
Fonte: https://youtu.be/nOSTzpA0nGk
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PenduloTmg.gif
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PenduloTmg.gif
https://pin.it/2SEybXW
IFC 2 - Aula 02
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 02
UNIDADE 1 : Oscilações. Movimento Harmônico Simples (MHS). Pêndulo Simples. Pêndulo Físico. Pêndulo de Torção. A conservação da energia no MHS.
