Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 03
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Explicar o Movimento Harmônico Simples Amortecido.
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 13 - Movimento Periódico.
Seção: 13.7.
Analisar o balanço de energia no amortecimento subcrítico.
Fonte: Halliday & ResnickFonte: Sears & ZemanskyIdentificar os três regimes de amortecimento:
Crítico
Supercrítico
Subcrítico
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Nos osciladores harmônicos (molas e pêndulos):
A força é restauradora (e conservativa):
A energia mecânica total é conservada (Aula 2):
F=-kx
E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
Mas as molas e pêndulos não oscilam indefinidamente: após algum intervalo de tempo, eles atingem o repouso porque existe uma força resistiva cujo efeito é diminuir a velocidade do oscilador.
Fonte: Wikipedia.
Se a amplitude não muda, a energia mecânica não muda!
Não é rigorosamente correto descrever as oscilações livres matematicamente por uma função periódica no tempo com amplitude constante.
O oscilador harmônico livre uma vez colocado em movimento, oscilará eternamente sem nenhuma diminuição da amplitude.
A partir de agora, para melhorar a modelagem de um sistema que oscile como oscilador harmônico, vamos incorporar ao modelo:
As forças viscosas (dissipativas).
São forças de atrito exercidas por fluidos (ar, água, óleo, etc.)...
que são forças não conservativas.
==> A energia mecânica não é conservada no tempo.
==> A amplitude da oscilação diminui com o tempo.
Existem três tipos de amortecimento.
Oscilações Harmônicas Amortecidas
As forças viscosas são opostas à velocidade do corpo que se move num fluido.
Em alguns casos, matematicamente, se escreve como:
Os parâmetros \((b,c)\) dependem da geometria e da rapidez do corpo e também da natureza do fluido.
F_a=-b\,v-cv^2
Fonte: https://youtu.be/XX0JdlXZmWsO sinal negativo indica que a força possui sempre um sentido contrário ao da velocidade.
Para baixas velocidades do oscilador, a força de arrasto tem a forma,
F_a\approx-b\,v
A constante de amortecimento \(b\) tem dimensão de massa/tempo.
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Você sabe mostrar isto?
Na presença de forças viscosas a energia mecânica não é conservada.
O oscilador harmônico uma vez colocado em movimento deixará de oscilar e vemos isso como uma diminuição da amplitude à medida que o tempo avança.
A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa é chamada de amortecimento e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida.
Fonte: Wolfgang & BauerOscilações Harmônicas Amortecidas
Amplitude do oscilador diminui quando está dentro do fluido
Amplitude do oscilador permanece quanto está fora do fluido
Para o oscilador harmônico simples do tipo massa-mola com amortecimento, a equação de movimento supondo que a mola está esticada e acelerando para cima:
\sum \vec F = m\vec a
\vec F_a+\vec F_e = m\vec a
-bv - kx = ma
ma + bv + kx = 0
m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0
Fonte: Halliday & ResnickOscilações Harmônicas Amortecidas
-F_a+F_e = ma
+x
\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0
nós obtemos uma EDO de segunda ordem para a função posição:
\gamma = \frac{b}{m}
\omega_0^2 = \frac{k}{m}
frequência angular natural
fator de amortecimento
Qual é a função que satisfaz a EDO?
A equação de movimento de um sistema massa-mola amortecido é uma EDO,
\frac{d^2x}{dt^2} + \gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0
\gamma = \frac{b}{m}=\frac{1}{tempo}
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{tempo}
A função deve ter a forma:
x(t)=Ae^{pt}
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Devemos substituí-las na EDO:
(p^2Ae^{pt}+\gamma\, pAe^{pt}+\omega_0^2Ae^{pt})=0
(p^2+\gamma\, p+\omega_0^2)Ae^{pt}=0
Devemos testá-la:
1a. derivada:
\frac{dx}{dt}=pAe^{pt}
2a. derivada:
\frac{d^2x}{dt^2}=p^2Ae^{pt}
Para \(x(t)\) não nulo, a igualdade será zero se e somente se:
(p^2+\gamma\, p+\omega_0^2)=0
equação do segundo grau em \(p\).
É necessário resolver uma equação do segundo grau na variável \(p\):
As raízes da equação são (Bhaskara):
p^2+\gamma\, p+\omega_0^2=0
p_{\pm}=-\frac{\gamma}{2}\pm
\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
\Rightarrow p_{\pm}=-\frac{\gamma}{2}\pm
\omega^{\prime}
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
onde
O comportamento da função \(x(t)\) vai depender da frequência de amortecimento, \(\omega '\) ou da relação entre os fatores (\(\gamma,\omega_0\)).
Oscilações Harmônicas Amortecidas
Essas frequências angulares são diferentes
Crítico:
\omega ' = 0
Raiz nula =>
\frac{\gamma}{2}
=\omega_0
\Rightarrow b_c = 2\sqrt{mk}
Supercrítico:
\omega ' > 0
Raiz positiva =>
\frac{\gamma}{2}
>\omega_0
\Rightarrow b>b_c
Subcrítico:
\omega ' < 0
Raiz negativa =>
\frac{\gamma}{2}
<\omega_0
\Rightarrow b< b_c
\(\omega_0\) - freq. natural
\(\omega_0\) - freq. natural
\(\omega'\) - freq. de amortecimento
\(\gamma\) - fator de amortecimento
Não há oscilações nos regimes crítico e supercrítico. O sistema vai mais rapidamente para o equilíbrio no regime crítico que no supercrítico.
O oscilador tem período constante, mas a amplitude da oscilação decai exponencialmente com o tempo (modulada pela envoltória).
Fonte: Prof. Tarciro MendesFonte: Prof. Tarciro MendesPeríodo amortecido
Envoltória
Oscilações Harmônicas Amortecidas
\omega' > 0
\omega' = 0
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2-\frac{k}{m}}
\omega' < 0
+Ae^{-(\gamma/2)t}
-Ae^{-(\gamma/2)t}
\Rightarrow b>b_c
\Rightarrow b_c = 2\sqrt{mk}
\omega ' < 0
\Rightarrow b< b_c
Oscilações Amortecidas. Regime crítico.
O fator de amortecimento assume um valor mínimo para impedir a oscilação:
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}
\left(
A_+
+
A_- \,t
\right)
Mostre que se \(x(0)=x_0\) e \(v(0)=v_0\), temos:
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
=
\sqrt{\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2-\frac{k}{m}}
\Rightarrow\omega ' = 0
A_+ =x_0
A_- =v_0 +x_0\frac{\gamma}{2}
Simule:
\(x_0 = 10\) cm
\(v_0 = 0\) cm/s
\(m = 1,0\) kg
\(k = 4,0\) N/m
\(b = 4,0\) kg/s
Calcule: \(b_c; \gamma/2,\omega_0; A_+;A_-\).
A amplitude decai exponencialmente no tempo e não há oscilação. A função movimento fica:
\Rightarrow b_c = 2\sqrt{mk}
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}(A_+ e^{+\omega ' t}+
A_- t\,e^{-\omega ' t})
ATENÇÃO: \(c\equiv b ; y(0)=x_0\)
Mostre isso. Utilize as condições inicias na função movimento.
Condições iniciais
Oscilações Amortecidas. Regime supercrítico.
O fator de amortecimento é predominante em comparação à frequência natural:
Mostre que se \(x(0)=x_0\) e \(v(0)=v_0\), temos:
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
=
\sqrt{\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2-\frac{k}{m}}
\Rightarrow\omega ' > 0
A_+ =
\frac{1}{2}x_0
-
\frac{
x_0(\gamma/2)+v_0}{2
\sqrt{(\gamma/2)^2
-
\omega_0^2
}}
A_- =
\frac{1}{2}x_0
+
\frac{
x_0(\gamma/2)+v_0}{2
\sqrt{(\gamma/2)^2
-
\omega_0^2
}}
Simule:
\(x_0 = 10\) cm
\(v_0 = 0\) cm/s
\(m = 1,0\) kg
\(k = 4,0\) N/m
\(b = 5,0\) kg/s
Calcule: \(b_c; \gamma/2,\omega_0; A_+;A_-\).
A amplitude decai exponencialmente no tempo e sem oscilação ou com apenas uma oscilação:
\Rightarrow b>b_c = 2\sqrt{mk}
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2} t}(A_+ e^{+\omega ' t}+
A_- e^{-\omega ' t})
ATENÇÃO: \(c\equiv b ; y(0)=x_0\)
ATENÇÃO: \(c\equiv b ; y(0)=x_0\)
Mostre isso. Apresente para mim e ganhe bônus. Desafie-se!
Condições iniciais
Oscilações Amortecidas. Regime subcrítico.
O fator de amortecimento é menor que a frequência natural:
Mostre que se \(x(0)=x_0\) e \(v(0)=v_0\), temos:
\omega^{\prime}
=\sqrt{\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2-\omega_0^2}
=i
\sqrt{\frac{k}{m}-\left(
\frac{b}{2m}
\right)^2}
\Rightarrow\omega ' < 0
A_+ =x_0
A_- =
\frac{v_0 +x_0\frac{\gamma}{2}}{
\sqrt{\omega_0^2
-(\gamma/2)^2}
}
Simule:
\(x_0 = 10\) cm
\(v_0 = 0\) cm/s
\(m = 1,0\) kg
\(k = 4,0\) N/m
\(b = 2\) kg/s
Calcule: \(b_c; \gamma/2,\omega_0; A_+;A_-\).
A amplitude decai exponencialmente no tempo, e com oscilação:
x(t) =
Ae^{-\frac{\gamma}{2}t}
\cos(\omega 't+\delta)
\Rightarrow b< b_c =2\sqrt{mk}
x(t) = e^{-\frac{\gamma}{2}t}[ A_+ e^{+i\,\omega ' t}+
A_- e^{-i\,\omega ' t}]
ATENÇÃO: \(c\equiv b ; y(0)=x_0\)
Mostre isso. Apresente para mim e ganhe bônus. Desafie-se!
Condições iniciais
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
As energias cinética e potencial no MHS variam no tempo:
K(t)=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{sen}(\omega_0 t+\delta)
U(t)=\frac{1}{2}m\omega_0^2x^2=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\text{cos}(\omega_0 t+\delta)
Os valores médios dessas energia em uma oscilação, são:
\overline{K(t)} \equiv \frac{1}{T}\int_0^T K(t) dt = \frac{1}{4}m\omega_0^2A^2
\overline{U(t)} \equiv \frac{1}{T}\int_0^T U(t) dt = \frac{1}{4}m\omega_0^2A^2
A energia mecânica no MHS é uma constante no tempo:
E = \frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
\Rightarrow \overline{K(t)}=\frac{1}{2}E
\Rightarrow \overline{U(t)}=\frac{1}{2}E
Fonte: Halliday & Resnickx(t)=A\text{cos}(\omega_0 t+\delta)
Integre essas funções no SYMPY e mostre que os resultados são os valores médios das energias apresentados. Lembre-se que \(T=2\pi/\omega_0\). Apresente seu resultado e ganhe bônus.
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
No oscilador harmônico simples
Em um período \(T\) a energia é intercambiada entre cinética e potencial. O valor médio da energia é,
A potência dissipada pelo oscilador é nula,
E = \frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
\overline{K(t)}=\frac{1}{2}E
\overline{U(t)}=\frac{1}{2}E
P=\frac{dE}{dt} = 0
Simule:
m = 10 \text{ kg}
k = 10 \text{ N/m}
Calcule:
\omega_0=\quad\text{rad/s}
Simule:
L = 3 \text{ m}
\gamma = 0 \text{ m}
No simulador é chamado de \(\alpha\)
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
No oscilador harmônico amortecido a energia mecânica não é conservada. Afinal, a amplitude é função do tempo!
A energia cinética varia no tempo e sua amplitude diminui no tempo:
x(t) =
Ae^{-\frac{\gamma}{2}t}
\cos(\omega 't+\delta)
K(t)=\frac{1}{2}mv(t)^2
v(t) = \frac{1}{2} A e^{-\frac{\gamma}{2}
t} [\gamma \cos( \omega ' t +\delta) +
2 \omega ' \text{sen}(\omega ' t +\delta)]
A energia potencial varia no tempo e sua amplitude diminui no tempo:
U(t)=\frac{1}{2}m\omega'^2x(t)^2
v(t) = A e^{-\frac{\gamma}{2}
t} \sqrt{\gamma ^2+(2\omega ')^2} [\cos( \omega ' t +\delta) -
\beta]
\beta = \arctan\left(
\frac{2\omega'}{\gamma}
\right)
e
Prove a última expressão. Apresente seu resultado e ganhe bônus. Dica: Utilize propriedades trigonométricas: A cos[a -b] + B sen[a-b] = ???
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
A potência média dissipada pelo oscilador não é nula e cada ciclo (período):
P=\frac{dE}{dt} = \vec F_v\cdot \vec v=-b\,\vec v\cdot \vec v=-bv^2
A energia mecânica decresce no tempo porque a força do amortecimento realiza trabalho (negativo) sobre o sistema. A potência dissipada é:
O membro direito da equação é negativo sempre que o corpo oscilante estiver em movimento, independentemente de a velocidade \(v\) ser positiva ou negativa. Essa dissipação é máxima quando o oscilador passa pela posição de equilíbrio (\(v=v_{max}\)). Nos pontos de retorno (\(v=0)\) não há dissipação de energia.
v=\frac{dx}{dt}
onde
\overline{P}=\overline{\frac{dE}{dt}} =-b\overline{v^2}=-b\frac{\overline{E}}{m}
Integrando, vemos que a energia mecânica diminui exponencialmente no tempo:
onde
E_0=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2
\Rightarrow \frac{\overline{dE}}{\overline{E}}=-\frac{b}{m}dt
E(t)=E_0 e^{-\frac{b}{m}\,t}
\overline{K(t)}=\frac{1}{2}E
\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{1}{2}E
\overline{v^2}=\frac{\overline{E}}{m}
\Rightarrow \int_{E_0}^{E}\frac{\overline{dE}}{\overline{E}}=\int_0^t-\frac{b}{m}dt
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
Para o oscilador harmônico fracamente amortecido a energia cai exponencialmente com um tempo característico ou constante de tempo (\(\tau\)). Para fins práticos é o tempo de vida da oscilação - o quanto ela dura.
onde
E(t)=E_0 e^{-{\gamma}\,t}
\tau = \frac{1}{\gamma}=\frac{m}{b}
Fonte: Randall KnightO tempo característico de decaimento da amplitude é o dobro do tempo característico de decaimento da energia.
x(t) =
A(t)
\cos(\omega 't-\delta)
A(t)=Ae^{-\frac{\gamma}{2}\,t}
onde
O fator \(\gamma\) é o recíproco do tempo necessário para a energia diminuir \(1/e\) do seu valor inicial.
Quanto tempo leva para a amplitude diminuir?
Para \(t=2/\gamma\) a amplitude de oscilação cai por um fator \(1/e \approx 37\%\)
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
As aplicações práticas requerem avaliação da qualidade do oscilador pelo assim chamado fator de qualidade, \(Q\) do oscilador:
E(t)=E_0 e^{-\frac{1}{\tau}\,t}
\Rightarrow \frac{dE}{dt} =-\frac{E}{\tau}
\Rightarrow \frac{dE}{E} =-\frac{dt}{\tau}
\left(\frac{|\Delta E|}{E} \right)_{ciclo}=\frac{T}{\tau}
\left(\frac{|\Delta E|}{E} \right)_{ciclo}=\frac{2\pi}{\omega_0\tau}
Q=\omega_0\tau=\frac{\omega_0}{\gamma}
\Rightarrow \frac{T}{\tau} =\frac{2\pi}{Q}
onde
O fator de qualidade (\(Q\)) é inversamente proporcional à dissipação relativa da energia por ciclo:
Q=\frac{2\pi}{|\Delta E|/E}=\omega_0\tau=\frac{\omega_0}{\gamma}
Quanto maior Q melhor é o oscilador (\(\gamma\) é grande!)
Para um período:
Oscilações Amortecidas. Balanço da energia.
O fator de qualidade (\(Q\)) é um número que é grande comparado à unidade para sistemas oscilatórios com pequenas taxas de dissipação de energia.
\omega^{\prime}
=\sqrt{\omega_0^2-\left(
\frac{\gamma}{2}
\right)^2}
=
\sqrt{\omega_0^2-\left(
\frac{\omega_0}{2Q}
\right)^2}
=\omega_0\sqrt{1-
\frac{1}{4Q^2}
}
Se (\(Q\)) é grande comparado a unidade obtemos que \(\omega ' \approx \omega_0\). Então,
x(t) =
Ae^{-\frac{\gamma}{2}\,t}
\cos(\omega 't-\delta)
=
Ae^{-\frac{\omega_0}{2Q}\,t}
\cos(\omega_0t-\delta)
A(t) = Ae^{-\frac{\omega_0}{2Q}\,t}
O fator (\(Q\)) está relacionado ao número de ciclos da oscilação sobre a qual a amplitude da oscilação diminui por um fator \(1/e\).
Para \(n\) oscilações, \(t = nT = 2\pi n/\omega_0\) e:
A(n) = Ae^{-\frac{n\pi}{Q}}
Para \(n=Q/\pi\) a amplitude de oscilação cai por um fator \(1/e \approx 37\%\)
Quantas oscilações leva para a amplitude diminuir?
O que ocorre com a amplitude se \(Q\rightarrow \infty\)?
Questão 1
Uma ponte sobre um vale profundo é o ideal para se praticar bungee jumping. A primeira parte da atividade em saltar em queda livre por uma distância igual ao comprimento da corda não esticada. Suponha que a altura seja de 50 m. Uma corda de bungee jumping com 30 m de comprimento é usada e esticada em 5 m pelo peso de uma pessoa de 70 kg. Assim, o comprimento de equilíbrio da corda é de 35 m. Sabe-se que essa corda apresenta uma constante de amortecimento \(\gamma = \) 0,6, rad/s. Descreva o movimento vertical do praticante de bungee jumping em função do tempo.
Fonte: Wolfgang & Bauer
Game
Questão 2
Para um oscilador amortecido: m = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a amplitude das oscilações amortecidas se reduza à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a energia mecânica se reduza à metade do valor inicial?
(d) Qual o fator de qualidade?
Questão 3
Um corpo com massa de 20 g é suspenso por uma mola cuja constante vale 2,0 N/m. Qual deve ser o valor da constante de arraste b para que a frequência do oscilador seja metade da frequência natural?
Questão 4
Quando a tecla do dó central do piano (262 Hz) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 s. (a) Qual é o tempo de decaimento, 𝛕? (b) Qual é o fator Q para esta corda de piano? (c) Qual é a perda relativa de energia por ciclo?
Questão 5
Uma mola de constante elástica k = 1,00 N/m tem um objeto de massa m = 1,00 kg preso a ela, que se move em um meio de constante de amortecimento b = 2,00 kg/s. O objeto é solto, do repouso, da posição x = +5 cm em relação à posição de equilíbrio. Onde ele estará após 1,75 s?
Questão 6
Um pequeno objeto com massa 3,0 kg caiu do telhado de um edifício alto e adquiriu uma rapidez terminal de 25 m/s. Considere que uma força de atrito exercida sobre o objeto tem a mesma forma de uma força de arrasto de um oscilador amortecido; isto é, a força é oposta ao movimento, e sua magnitude é linearmente proporcional à rapidez do objeto.
Um objeto idêntico ao que caiu é fixado a uma mola vertical (k = 230 N/m) e colocado para oscilar no ar com uma amplitude inicial de 0,20 m.
(a) Qual é o fator de qualidade para este oscilador?
(b) Quanto tempo leva para a amplitude diminuir para metade do seu valor inicial?
(d) Quanta energia foi dissipada neste intervalo de tempo?
Aplicação
Prédios oscilam
Amplitude máxima:
Período do evento:
A = \pm 1\text{ m}
T = 5\text{ min}
Aqui uma pesquisa que você pode realizar e apresentar ao professor.
Em uma pesquisa deve existir: objetivos, introdução, resultados, análises e conclusões, referências.
RESUMO
FONTE: https://youtu.be/vLaFAKnaRJU
É possível habilitar as legendas em português (clique no símbolo de engrenagem no canto inferior direito do vídeo).
Motivação
Fonte: Wolfgang & Bauer
Os armotecedores devem permanecer no regime crítico para desempenho máximo, pois após um forte impacto o móvel retorna rapidamente à posição de equilíbrio sem oscilar.
Depois de muito uso, o efeito do amortecimento enfraquece e os armotecedores fornecem apenas um pequeno amortecimento. O carro sacoleja demais indicando que é hora de trocar os amortecedores.
VEÍCULO EM MAU ESTADO DE CONSERVAÇÃO. Essa é uma prática que compromete a segurança das vias e, por isso, é considerada uma infração grave, segundo o inciso XVIII do artigo de número 230 do CTB. As punições para o condutor que for flagrado conduzindo um veículo em mau estado de conservação são:
-Infração: Grave (5 pontos) e Multa: R$ 195,23.
IFC 2 - Aula 03
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 03
UNIDADE 1 : Oscilações. Movimento Harmônico Simples Amortecido: crítico, subcrítico e supercrítico. Balanço de Energia. Fator de Qualidade.
