Aula 07

Introdução à Física Clássica II

Prof. Ronai Lisbôa

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Objetivos

Ao final dessa aula você deve se capaz de:

Bibliografia

Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.

Capítulo 15 - Ondas Mecânicas.

Seções: 15.7, 15.8

Aplicar o princípio de superposição as ondas harmônicas.

Estudar as ondas estacionárias em uma corda.

Identificar os modos normais de uma corda.

Propriedades Trigonométricas

Vamos precisar de algumas propriedades trigonométricas:

D\text{ sen}[A+B]+ D\text{ sen}[A-B]= 2D\text{ sen}[A]\cos[B]
D\text{ cos}[A+B]+ D\text{ sen}[A-B]= 2D\text{ cos}[A]\cos[B]
\text{ cos}[A-B]+ \text{ cos}[C-D]= 2 \text{ cos} \left [ \frac{A+C}{2}- \frac{B+D}{2} \right] \text{ cos} \left [ \frac{A-C}{2}- \frac{B-D}{2} \right]
\text{ sen}[A-B]+ \text{ sen}[C-D]= 2 \text{ sen} \left [ \frac{A+C}{2}- \frac{B+D}{2} \right] \text{ cos} \left [ \frac{A-C}{2}- \frac{B-D}{2} \right]

1

2

3

4

Vamos aplicar os conhecimentos prévios nos estudos das ondas harmônicas.

Interferência de ondas harmônicas

Examinaremos o que ocorre quando uma onda senoidal, em uma corda, quando suas extremidades são fixas.

Fonte: https://youtu.be/0EFK_vZTpio

Existe uma superposição de duas ondas que se propagam através da corda em sentidos opostos.

#  uma representando a onda incidente;

#  uma representando a onda refletida na extremidade fixa.

Fonte: https://youtu.be/no7ZPPqtZEg

A superposição não se parece mais como uma onda progressiva.

Interferência de ondas harmônicas

As ondas incidente e refletida permanecem no mesmo meio (corda). O padrão da onda resultante permanece inalterado ao longo da corda, mas sua amplitude flutua.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/szhn8Tdq

Existem pontos chamados de nós (interferência destrutiva), que nunca se movem. No meio de dois nós consecutivos existe um ponto chamado ventre (interferência construtiva), no qual a amplitude do movimento é máxima.

Como o padrão da onda não parece se mover ao longo da corda, ela é chamada onda estacionária. 

Simule:

\lambda_{v}=\lambda_{a}=10\text{ m}
A_{v}=A_{a}=1\text{ m}

Marque:

Show Grid

Opposite Directions

Wave \,speed = 1 \text{m/s}

O princípio da superposição explica como as ondas incidentes e refletidas se combinam formando uma onda estacionária.

Interferência de ondas harmônicas

As ondas estacionárias são geradas quando as ondas progressivas têm mesma frequência e se propagam em sentidos opostos.

Fonte: http://www.compadre.org/osp/EJSS/3583/15.htm
y_1(x,t)=A_1\text{ sen}[kx-\omega t]
y_2(x,t)=A_2\text{ sen}[kx+\omega t]

A onda resultante, supondo \(A_1 = A_2=A\), fica:

y_r(x,t)=2A\text{ sen}[kx]\cos[\omega t]

Não há propagação da onda resultante. Afinal, ela não tem a forma \(f(x\pm vt)\). Ela tem a forma:  \(F(x)G(t)\).

Simule: 

y(x,t)=1,0\text{ sen}[\,0,154\,x\pm 1,0\, t\,]

mas tem oscilação vertical em MHS

forma da onda é fixa na mesma posição

amplitude da onda resultante

\vec v
\vec v

É importante reconhecer os nós e os ventres.

y_r(x,t)=2A\text{ sen}[kx]\cos[\omega t]

A perturbação é sempre nula, para qualquer tempo \(t\) se:

x_n=n\frac{\lambda}{2}\;\quad n=0,1,2,\cdots

que são os nós.

A perturbação é sempre máxima, para qualquer tempo \(t\) se:

x_n=(n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\;\quad n=0,1,2,\cdots

que são os ventres.

N
N
N
V
V
\frac{\lambda}{2}

Aplicando condições iniciais e de contorno, obtemos os pontos dos nós e ventres.

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

k=\frac{2\pi}{\lambda}
\omega=\frac{2\pi}{T}

Modos normais em uma corda

Corda com ambas as extremidades fixas (Condições de contorno de Dirichlet/Dirichlet)

y_r(x,t)=b\text{ sen}[kL]\cos[\omega t]

A corda pode vibrar em certos modos normais:

y_r(0,t)= y_r(L,t)=0

O número de onda (\(k\)) é quantizado:

b\neq 0
\Rightarrow\quad k_nL=n\pi,\quad\forall t

E assume somente valores discretos,

k_n=\frac{n\pi}{L}
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\omega_n=\frac{n\pi}{L}v

para os modos normais: \(n=1,2,3,\cdots\).

Fonte: https://www.geogebra.org/m/EJ8USu9q

Condições de contorno

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

x = L
x = 0
=0

As ondas que não têm os valores (\(k_n,\lambda_n\omega_n\)) não vão produzir ondas estacionárias.

Modos normais em uma corda

A rapidez de propagação da onda em uma corda é

Fonte: https://youtu.be/qIXBnrSgbpQ
v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}

e proporcional ao produto

v=\lambda_nf_n
\lambda_n=\frac{2L}{n}

com

As frequências permitidas na corda são os harmônicos:

f_n=\frac{n}{2L}v=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Fonte: https://www.geogebra.org/m/qYX5eakP

São as frequências ou harmônicos devido as propriedades da corda.

Qual o comprimento de onda para uma tensão de \(F_T=\)10 N?

Modos normais em uma corda

f_1=\frac{1}{2L}v
f_n=nf_1

Chama-se de série harmônica o conjunto de harmônicos (ou sobretons):

onde a frequência fundamental (\(n=1\)) é:

Fonte: Sears & Zemansky

A figura mostra os primeiros 4 modos normais de vibração:

para os modos normais: \(n=1,2,3,\cdots\).

Modos normais em uma corda

Analisando a frequência fundamental:

Fonte: Sears & Zemansky
f_1=\frac{1}{2L}v=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}

Cordas longas produzem baixas frequências (graves) e curtas produzem altas frequências (agudas).

Aumentar a tensão, aumenta-se a rapidez; logo, a frequência.

Cordas grossas diminuem a rapidez; logo a frequência.

O que tudo isso nos pode dizer sobre as ondas gravitacionais?

LINK

Modos normais em uma corda

As cordas vocais do Steven Tyler são capazes de produzir frequências graves e agudas sem muito esforço.

Fonte: https://www.youtube.com/embed/RUh6GSfMr0c

O Fred tinha um alcance vocal de 4 oitavas!

f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}

Nossas cordas vocais são duas cordas com as extremidades fixas.

Para um adulto normal, a rapidez do som através das cordas vocais é da ordem de v = 3,75 m/s ao produzir um som de frequência f = 125 Hz. O comprimento da onda onda sonora é algo em torno de \(\lambda =  3\) cm.

Fonte: Wikipedia

O comprimento das cordas vocais varia em média como 1,15 a 1,60 cm no homem e 0,80 a 1,15 cm na mulher.

Modos normais em uma corda

Corda com uma extremidade livre (Condições de contorno de Dirichlet/Neumann).

y'_r(x,t)=b\text{ cos}[kL]\cos[\omega t]=0

A corda pode vibrar em certos modos normais:

y_r(0,t)=0

O número de onda (\(k\)) é quantizado:

b\neq 0
\Rightarrow\quad k_nL=\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi,\quad\forall t

E assume somente valores discretos,

k_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{L}
\lambda_n=\frac{4L}{2n+1}

para os modos normais: \(n=0,1,2,3,\cdots\).

Fonte: https://www.geogebra.org/m/EJ8USu9q

Condição de contorno

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

Modos normais em uma corda

x = L
x = 0
=0
\partial y_r(L,t)/\partial x=0

Condição inicial

\omega_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{L}v

Marque: Show Transverse Wave

Selecione: Closed End Air Column / 1st

Modos normais em uma corda

Corda com duas extremidades livres (Condições de contorno de Neumann/Neumann).

b\text{ cos}[k0]\cos[\omega t]= b\text{ cos}[kL]\cos[\omega t]

A corda pode vibrar em certos modos normais:

O número de onda (\(k\)) é quantizado:

E assume somente valores discretos,

para os modos normais: \(n=1,2,3,\cdots\).

Fonte: https://www.geogebra.org/m/EJ8USu9q
k_n=\frac{n\pi}{L}
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\omega_n=\frac{n\pi}{L}v
\frac{\partial y_r(0,t)}{\partial x}=0
\frac{\partial y_r(L,t)}{\partial x}=0
b\neq 0
\Rightarrow\quad k_nL=n\pi,\quad\forall t
x = L
x = 0

Marque: Show Transverse Wave

Selecione: Open Ended Air Column / 1st

=1
\dot y_r(0,t) = \dot y_r(L,t)

Modos normais em uma corda

Comparando Condições de contorno de Neumann e Dirichlet

\lambda_n=\frac{2L}{n}
\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
f_n=\frac{2n+1}{4L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}

Questão 1

Uma corda oscila de acordo com a equação:

 

\(y(x,t) = (0,50 cm) sen [(π/3 cm^{-1}) x ] cos[(40 π s^{-1}) t]\)

 

Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre o nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x = 1,5 cm para t = 9/8 s? H16-53

Questão 2

Para afinar um piano, um músico estica os fios de aço do piano com uma tensão igual a 800 N. O comprimento do fio de aço é igual a 0,40 m e sua massa é igual a 3,0 g.

  1. Qual é a frequência do modo fundamental de vibração do fio?

  2. Qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências de até 10 000 Hz? S15-40

Questão 3

Uma corda fina, esticada, presa nas duas extremidades e oscilando em seu terceiro harmônico possui a forma descrita pela equação y(x,t) = (5,60 cm) sen[(0,0340 rad/cm) x]sen[(50,0 rad/s) t], onde a origem está na extremidade esquerda da corda, o eixo Ox está na corda e o eixo Oy é perpendicular à corda.

  1. Desenhe um diagrama que mostre a configuração da onda estacionária.

  2. Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.

  3. Qual é comprimento da corda?

  4. Calcule o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas.

  5. Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.

  6. Qual seria a equação y(x,t) para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico? S15-41

Questão 4

Uma vara flexível de 2,0 m de comprimento não está presa, encontrando-se completamente livre para vibrar. Desenhe de modo claro essa vareta vibrando em seus primeiros três harmônicos, depois use os seus desenhos para encontrar o comprimento de onda de cada um desses harmônicos. S15-48

Questão 5

Um motor vibratório é usado para produzir uma onda estacionária em uma corda elástica, como mostrado na figura. A corda é esticada, passando sobre uma polia sem atrito, sustentando um bloco metálico. O comprimento do ramo horizontal da corda, desde a polia até o motor, é de 0,90 m, e a densidade linear de massa da corda é de 5,00 g/m. A frequência de vibração do motor é de 45,0 Hz. Qual é a massa do bloco metálico?

Fonte: Revista Brasileira de Ensino de Fíısica, v. 37, n. 2, 2502 (2015) www.sbfisica.org.br
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173721666 

Autor: Anderson Guimarães Guedes /ECT/UFRN

Motivação

Fonte: https://youtu.be/NpEevfOU4Z8

A potência de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude e ao quadrado da frequência. A potência é conservada em um onda. Contudo, em uma onda estacionária a potência média é igual a zero.

O teorema de Fourier

O movimento de um pulso em um corda pode ser aproximado por uma superposição de ondas estacionárias.

 

Fonte: https://youtu.be/_X72on6CSL0
Fonte: https://youtu.be/Qr_rxqwc1jE
f(x) =
a\,x
a(L-x)
\left\{\right.
0 \leq x \leq L/2
L/2 \leq x \leq L
f(x) =
\frac{h}{d}x
\frac{h}{d-L}x - \frac{h}{d-L} L
\left\{\right.
0 \leq x \leq d
d \leq x \leq L

O teorema de Fourier

Qualquer função periódica do tempo pode ser representada por uma série de Fourier.

 

A série de Fourier contém a frequência fundamental e diferentes proporções dos harmônicos permitidos (modos normais permitidos).

As condições iniciais determinam os coeficientes \(A_n\), e assim o quanto os harmônicos dominantes contribuem para o frequência produzida.

y(x,t)=\sum_n A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]

Essas diferentes proporções para \(A_n\) definem o timbre.

Basta ajustar os coeficientes \(A_n\) (espectro):

A_n =\frac{2}{L}\int _0^L \,f(x)\,\text{sen}(k_n\,x)dx

O teorema de Fourier

Qualquer função periódica do tempo pode ser representada por uma série de Fourier.

 

Quanto mais harmônicos permitidos entrarem na soma melhor será a aproximação da forma de onda real que se deseja obter.  Exemplo: Criar uma onda quadrada.

y(x,t)=\sum_n A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]

A soma dos harmônicos ímpares se aproxima da onda quadrada desejada.

Fonte: https://www.geogebra.org/m/hHUWNqFk

O teorema de Fourier

Qualquer função periódica do tempo pode ser representada por uma série de Fourier.

 

Fonte: https://www.geogebra.org/m/MkNuBKpu
y(x,t)=\sum_n A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]
A_n =\frac{2}{L}\int _0^L \,f(x)\,\text{sen}(k_n\,x)dx
f(x) = \text{forma do pulso}

Série de Fourier

Amplitude

Tipo de sinal (dente de serra)

A questão é determinar as amplitudes \(A_n\) que são pesos para atenuar ou acentuar um harmônico.

O teorema de Fourier

Qualquer função periódica do tempo pode ser representada por uma série de Fourier.

 

A 'série de Fourier contém a frequência fundamental e diferentes proporções dos harmônicos permitidos. Matematicamente:

y(x,t)=\sum_n^{\infty} A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]

Para ondas sonoras, os \(A_n\) definirão o timbre do instrumento ou voz.

Mesmo que a mesma frequência seja tocada é possível identificar o instrumento e a voz!

Fonte: https://conservatorio0.tripod.com/fourier02.gif
f_1 =440\text{ Hz}

O teorema de Fourier

Uma corda com ambas as extremidades fixas tem como solução uma onda estacionária.

y(x,t)=\sum_n A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]

Qual o movimento futuro da corda com um perfil triangular e que é largada do repouso?

Fonte: https://www.youtube.com/embed/Qr_rxqwc1jE
f(x) =
a\,x
a(L-x)
\left\{\right.
0 \leq x \leq L/2
L/2 \leq x \leq L

Precisamos das condições iniciais:

y(x,0)=f(x)
\frac{\partial y(x,0)}{\partial t}=0

Precisamos das condições de contorno:

y(0,t)=y(L,t)=0

O teorema de Fourier

Os coeficientes de Fourier, \(A_n\),  são calculados via o cálculo da integral:

 

O resultado da integral para esse perfil de onda:

y(x,t)= A_1 \text{ sen}[k_1x]\cos[2\pi f_1 t]+ A_3 \text{ sen}[k_3x]\cos[2\pi f_3 t]+ A_5 \text{ sen}[k_5x]\cos[2\pi f_5 t]

Basta substituir os coeficientes \(A_n\) (espectro) na série de Fourier:

A_n =\frac{2}{L}\int _0^L \,f(x)\,\text{sen}(k_n\,x)dx
A_n = \frac{4aL}{(n\pi)^2}\text{sen}\left(\frac{n\pi}{2}\right),
n=1,3,5,7\cdots
y(x,t)=\sum_n A_n \text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]
A_n
n

O número de termos depende da aproximação desejada para cada aplicação tecnológica.

O teorema de Fourier

A simulação mostra a aproximação do pulso triangular para \(1\leq n\leq 15\).

Devido ao princípio da superposição, a soma das ondas estacionárias ainda é uma solução da equação de onda.

Fonte: https://demonstrations.wolfram.com

que satisfaz as condições iniciais e de contorno.

A amplitude \(A_1\) é a amplitude dominante (veja slide anterior)

y(x,t)=\sum_ {n=1}^{15} A_n\text{ sen}[k_nx]\cos[2\pi f_n t]
A_n = \frac{4aL}{(n\pi)^2}\text{sen}\left[ \frac{n\pi}{2} \right]

Questão 5

A solução geral para uma onda em um corda com as extremidades fixas é dada por

 

 

 

Considere que a rapidez das ondas na corda seja v = 2,0 m/s e que o comprimento da corda seja L = 3,14 m. As condições de contorno e iniciais fornecem um movimento específico da corda dado por

 

 

 

Desenhe o espectro da série de Fourier desta solução, isto é, o gráfico que mostra a amplitude An em função do número do harmônico, n.

Questão 6

A superposição de duas ondas harmônicas é dada pela soma:

y(x,t) = A sen(k x - w t) + A sen(k x + w t)

Qual o valor de k para que a onda resultante satisfaça a seguinte condição de contorno: y(L,t) = 0?

Questão 7

Mostre que a função \(y(x,t) = x^2 + v^2 t^2\) é uma solução da equação de onda. (b) Mostre que a função do item anterior pode ser escrita como \(y(x,t) = f(x-vt) + g(x+vt)\) e determine as funções f e g. (c) Repita os procedimentos para a função \(y(x,t) = A sen(kx) cos(wt)\).

Essa questão não tem um gabarito no SIGAA. Caso você não tenha apresentado nenhuma solução de questões anteriores, a discussão da solução para +1,0 ponto extra. Mas deve ser apresentada por escrito e explicada para mim.

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UNIDADE 1 : Ondas. Superposição de ondas harmônicas. Ondas estacionárias em cordas vibrantes. Teorema de Fourier - omitido em 2023.2.

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