Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 07
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 15 - Ondas Mecânicas.
Seções: 15.7, 15.8
Aplicar o princípio de superposição as ondas harmônicas.
Estudar as ondas estacionárias em uma corda.
Identificar os modos normais de uma corda.
Propriedades Trigonométricas
Vamos precisar de algumas propriedades trigonométricas:
D sen[A+B]+D sen[A−B]=2D sen[A]cos[B]
D\text{ sen}[A+B]+
D\text{ sen}[A-B]=
2D\text{ sen}[A]\cos[B]
D cos[A+B]+D sen[A−B]=2D cos[A]cos[B]
D\text{ cos}[A+B]+
D\text{ sen}[A-B]=
2D\text{ cos}[A]\cos[B]
cos[A−B]+ cos[C−D]=2 cos[2A+C−2B+D] cos[2A−C−2B−D]
\text{ cos}[A-B]+
\text{ cos}[C-D]=
2
\text{ cos}
\left
[
\frac{A+C}{2}-
\frac{B+D}{2}
\right]
\text{ cos}
\left
[
\frac{A-C}{2}-
\frac{B-D}{2}
\right]
sen[A−B]+ sen[C−D]=2 sen[2A+C−2B+D] cos[2A−C−2B−D]
\text{ sen}[A-B]+
\text{ sen}[C-D]=
2
\text{ sen}
\left
[
\frac{A+C}{2}-
\frac{B+D}{2}
\right]
\text{ cos}
\left
[
\frac{A-C}{2}-
\frac{B-D}{2}
\right]
1
2
3
4
Vamos aplicar os conhecimentos prévios nos estudos das ondas harmônicas.
Interferência de ondas harmônicas
Examinaremos o que ocorre quando uma onda senoidal, em uma corda, quando suas extremidades são fixas.
Fonte: https://youtu.be/0EFK_vZTpioExiste uma superposição de duas ondas que se propagam através da corda em sentidos opostos.
# uma representando a onda incidente;
# uma representando a onda refletida na extremidade fixa.
Fonte: https://youtu.be/no7ZPPqtZEgA superposição não se parece mais como uma onda progressiva.
Interferência de ondas harmônicas
As ondas incidente e refletida permanecem no mesmo meio (corda). O padrão da onda resultante permanece inalterado ao longo da corda, mas sua amplitude flutua.
Existem pontos chamados de nós (interferência destrutiva), que nunca se movem. No meio de dois nós consecutivos existe um ponto chamado ventre (interferência construtiva), no qual a amplitude do movimento é máxima.
Como o padrão da onda não parece se mover ao longo da corda, ela é chamada onda estacionária.
Simule:
λv=λa=10 m
\lambda_{v}=\lambda_{a}=10\text{ m}
Av=Aa=1 m
A_{v}=A_{a}=1\text{ m}
Marque:
Show Grid
Opposite Directions
Wavespeed=1m/s
Wave \,speed = 1 \text{m/s}
O princípio da superposição explica como as ondas incidentes e refletidas se combinam formando uma onda estacionária.
Interferência de ondas harmônicas
As ondas estacionárias são geradas quando as ondas progressivas têm mesma frequência e se propagam em sentidos opostos.
y1(x,t)=A1 sen[kx−ωt]
y_1(x,t)=A_1\text{ sen}[kx-\omega t]
y2(x,t)=A2 sen[kx+ωt]
y_2(x,t)=A_2\text{ sen}[kx+\omega t]
A onda resultante, supondo A1=A2=A, fica:
yr(x,t)=2A sen[kx]cos[ωt]
y_r(x,t)=2A\text{ sen}[kx]\cos[\omega t]
Não há propagação da onda resultante. Afinal, ela não tem a forma f(x±vt). Ela tem a forma: F(x)G(t).
Simule:
y(x,t)=1,0 sen[0,154x±1,0t]
y(x,t)=1,0\text{ sen}[\,0,154\,x\pm 1,0\, t\,]
mas tem oscilação vertical em MHS
forma da onda é fixa na mesma posição
amplitude da onda resultante
v
\vec v
v
\vec v
É importante reconhecer os nós e os ventres.
yr(x,t)=2A sen[kx]cos[ωt]
y_r(x,t)=2A\text{ sen}[kx]\cos[\omega t]
A perturbação é sempre nula, para qualquer tempo t se:
xn=n2λn=0,1,2,⋯
x_n=n\frac{\lambda}{2}\;\quad n=0,1,2,\cdots
que são os nós.
A perturbação é sempre máxima, para qualquer tempo t se:
xn=(n+21)2λn=0,1,2,⋯
x_n=(n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\;\quad n=0,1,2,\cdots
que são os ventres.
N
N
N
N
N
N
V
V
V
V
2λ
\frac{\lambda}{2}
Aplicando condições iniciais e de contorno, obtemos os pontos dos nós e ventres.
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
k=λ2π
k=\frac{2\pi}{\lambda}
ω=T2π
\omega=\frac{2\pi}{T}
Modos normais em uma corda
Corda com ambas as extremidades fixas (Condições de contorno de Dirichlet/Dirichlet)
yr(x,t)=b sen[kL]cos[ωt]
y_r(x,t)=b\text{ sen}[kL]\cos[\omega t]
A corda pode vibrar em certos modos normais:
yr(0,t)=yr(L,t)=0
y_r(0,t)=
y_r(L,t)=0
O número de onda (k) é quantizado:
b=0
b\neq 0
⇒knL=nπ,∀t
\Rightarrow\quad k_nL=n\pi,\quad\forall t
E assume somente valores discretos,
kn=Lnπ
k_n=\frac{n\pi}{L}
λn=n2L
\lambda_n=\frac{2L}{n}
ωn=Lnπv
\omega_n=\frac{n\pi}{L}v
para os modos normais: n=1,2,3,⋯.
Condições de contorno
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
x=L
x = L
x=0
x = 0
=0
=0
As ondas que não têm os valores (kn,λnωn) não vão produzir ondas estacionárias.
Modos normais em uma corda
A rapidez de propagação da onda em uma corda é
Fonte: https://youtu.be/qIXBnrSgbpQv=μFT
v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
e proporcional ao produto
v=λnfn
v=\lambda_nf_n
λn=n2L
\lambda_n=\frac{2L}{n}
com
As frequências permitidas na corda são os harmônicos:
fn=2Lnv=2LnμFT
f_n=\frac{n}{2L}v=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
São as frequências ou harmônicos devido as propriedades da corda.
Qual o comprimento de onda para uma tensão de FT=10 N?
Modos normais em uma corda
f1=2L1v
f_1=\frac{1}{2L}v
fn=nf1
f_n=nf_1
Chama-se de série harmônica o conjunto de harmônicos (ou sobretons):
onde a frequência fundamental (n=1) é:
Fonte: Sears & ZemanskyA figura mostra os primeiros 4 modos normais de vibração:
para os modos normais: n=1,2,3,⋯.
Modos normais em uma corda
Analisando a frequência fundamental:
Fonte: Sears & Zemanskyf1=2L1v=2L1μFT
f_1=\frac{1}{2L}v=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Cordas longas produzem baixas frequências (graves) e curtas produzem altas frequências (agudas).
Aumentar a tensão, aumenta-se a rapidez; logo, a frequência.
Cordas grossas diminuem a rapidez; logo a frequência.
O que tudo isso nos pode dizer sobre as ondas gravitacionais?
Modos normais em uma corda
As cordas vocais do Steven Tyler são capazes de produzir frequências graves e agudas sem muito esforço.
O Fred tinha um alcance vocal de 4 oitavas!
fn=2LnμFT
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Nossas cordas vocais são duas cordas com as extremidades fixas.
Para um adulto normal, a rapidez do som através das cordas vocais é da ordem de v = 3,75 m/s ao produzir um som de frequência f = 125 Hz. O comprimento da onda onda sonora é algo em torno de λ= 3 cm.
Fonte: WikipediaO comprimento das cordas vocais varia em média como 1,15 a 1,60 cm no homem e 0,80 a 1,15 cm na mulher.
Modos normais em uma corda
Corda com uma extremidade livre (Condições de contorno de Dirichlet/Neumann).
yr′(x,t)=b cos[kL]cos[ωt]=0
y'_r(x,t)=b\text{ cos}[kL]\cos[\omega t]=0
A corda pode vibrar em certos modos normais:
yr(0,t)=0
y_r(0,t)=0
O número de onda (k) é quantizado:
b=0
b\neq 0
⇒knL=(n−21)π,∀t
\Rightarrow\quad k_nL=\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi,\quad\forall t
E assume somente valores discretos,
kn=(n+21)Lπ
k_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{L}
λn=2n+14L
\lambda_n=\frac{4L}{2n+1}
para os modos normais: n=0,1,2,3,⋯.
Condição de contorno
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
Modos normais em uma corda
x=L
x = L
x=0
x = 0
=0
=0
∂yr(L,t)/∂x=0
\partial y_r(L,t)/\partial x=0
Condição inicial
ωn=(n+21)Lπv
\omega_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{L}v
Marque: Show Transverse Wave
Selecione: Closed End Air Column / 1st
Modos normais em uma corda
Corda com duas extremidades livres (Condições de contorno de Neumann/Neumann).
b cos[k0]cos[ωt]=b cos[kL]cos[ωt]
b\text{ cos}[k0]\cos[\omega t]=
b\text{ cos}[kL]\cos[\omega t]
A corda pode vibrar em certos modos normais:
O número de onda (k) é quantizado:
E assume somente valores discretos,
para os modos normais: n=1,2,3,⋯.
kn=Lnπ
k_n=\frac{n\pi}{L}
λn=n2L
\lambda_n=\frac{2L}{n}
ωn=Lnπv
\omega_n=\frac{n\pi}{L}v
∂x∂yr(0,t)=0
\frac{\partial y_r(0,t)}{\partial x}=0
∂x∂yr(L,t)=0
\frac{\partial y_r(L,t)}{\partial x}=0
b=0
b\neq 0
⇒knL=nπ,∀t
\Rightarrow\quad k_nL=n\pi,\quad\forall t
x=L
x = L
x=0
x = 0
Marque: Show Transverse Wave
Selecione: Open Ended Air Column / 1st
=1
=1
y˙r(0,t)=y˙r(L,t)
\dot y_r(0,t) = \dot y_r(L,t)
Modos normais em uma corda
Comparando Condições de contorno de Neumann e Dirichlet
λn=n2L
\lambda_n=\frac{2L}{n}
λn=2n−14L
\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}
fn=2LnμFT
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
fn=4L2n+1μFT
f_n=\frac{2n+1}{4L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
Questão 1
Uma corda oscila de acordo com a equação:
y(x,t)=(0,50cm)sen[(π/3cm−1)x]cos[(40πs−1)t]
Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre o nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x = 1,5 cm para t = 9/8 s? H16-53
Questão 2
Para afinar um piano, um músico estica os fios de aço do piano com uma tensão igual a 800 N. O comprimento do fio de aço é igual a 0,40 m e sua massa é igual a 3,0 g.
-
Qual é a frequência do modo fundamental de vibração do fio?
-
Qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências de até 10 000 Hz? S15-40
Questão 3
Uma corda fina, esticada, presa nas duas extremidades e oscilando em seu terceiro harmônico possui a forma descrita pela equação y(x,t) = (5,60 cm) sen[(0,0340 rad/cm) x]sen[(50,0 rad/s) t], onde a origem está na extremidade esquerda da corda, o eixo Ox está na corda e o eixo Oy é perpendicular à corda.
-
Desenhe um diagrama que mostre a configuração da onda estacionária.
-
Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.
-
Qual é comprimento da corda?
-
Calcule o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas.
-
Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.
-
Qual seria a equação y(x,t) para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico? S15-41
Questão 4
Uma vara flexível de 2,0 m de comprimento não está presa, encontrando-se completamente livre para vibrar. Desenhe de modo claro essa vareta vibrando em seus primeiros três harmônicos, depois use os seus desenhos para encontrar o comprimento de onda de cada um desses harmônicos. S15-48
Questão 5
Um motor vibratório é usado para produzir uma onda estacionária em uma corda elástica, como mostrado na figura. A corda é esticada, passando sobre uma polia sem atrito, sustentando um bloco metálico. O comprimento do ramo horizontal da corda, desde a polia até o motor, é de 0,90 m, e a densidade linear de massa da corda é de 5,00 g/m. A frequência de vibração do motor é de 45,0 Hz. Qual é a massa do bloco metálico?
Fonte: Revista Brasileira de Ensino de Fíısica, v. 37, n. 2, 2502 (2015) www.sbfisica.org.br
DOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173721666
Autor: Anderson Guimarães Guedes /ECT/UFRN
Motivação
Fonte: https://youtu.be/NpEevfOU4Z8A potência de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude e ao quadrado da frequência. A potência é conservada em um onda. Contudo, em uma onda estacionária a potência média é igual a zero.
Aula 07 Introdução à Física Clássica II Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
IFC 2 - Aula 07
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 07
UNIDADE 1 : Ondas. Superposição de ondas harmônicas. Ondas estacionárias em cordas vibrantes. Teorema de Fourier - omitido em 2023.2.
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