Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 10
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 16 - Som e Audição
Seções: 16.6, 16.7.
Explicar a superposição de ondas sonoras de fontes diferentes (interferência).
Calcular a frequência e período de batimento.
Interpretar o significado de diferença de fase.
Interpretar o significado de diferença de caminho.
Motivação
Uma onda senoidal chega ao fone de ouvido e é registrada por um microfone. Um processador inverte a fase dessa onda sonora e emite para fora a onda sonora de mesma frequência e amplitude, mas de fase oposta.
As duas ondas senoidais interferem destrutivamente.
Ao mesmo tempo, o autofalante no interior dos fones de ouvido emite a música que você quer ouvir, e o resultado é uma experiência de audição livre do ruído de fundo quando as frequências não são muito elevadas.
Propriedades Trigonométricas
Vamos precisar de algumas propriedades trigonométricas:
D sen[A+B]+D sen[A−B]=2D sen[A]cos[B]
D\text{ sen}[A+B]+
D\text{ sen}[A-B]=
2D\text{ sen}[A]\cos[B]
D cos[A+B]+D sen[A−B]=2D cos[A]cos[B]
D\text{ cos}[A+B]+
D\text{ sen}[A-B]=
2D\text{ cos}[A]\cos[B]
cos[A−B]+ cos[C−D]=2 cos[2A+C−2B+D] cos[2A−C−2B−D]
\text{ cos}[A-B]+
\text{ cos}[C-D]=
2
\text{ cos}
\left
[
\frac{A+C}{2}-
\frac{B+D}{2}
\right]
\text{ cos}
\left
[
\frac{A-C}{2}-
\frac{B-D}{2}
\right]
sen[A−B]+ sen[C−D]=2 sen[2A+C−2B+D] cos[2A−C−2B−D]
\text{ sen}[A-B]+
\text{ sen}[C-D]=
2
\text{ sen}
\left
[
\frac{A+C}{2}-
\frac{B+D}{2}
\right]
\text{ cos}
\left
[
\frac{A-C}{2}-
\frac{B-D}{2}
\right]
1
2
3
4
Vamos aplicar os conhecimentos prévios nos estudos das ondas harmônicas.
Interferência de ondas harmônicas
Fenômeno de batimento
Fonte: https://youtu.be/Y5gkI6joisIO batimento é percebido auditivamente (som) quando as ondas progressivas têm:
# mesma amplitude,
# mesmo sentido de propagação,
# mas frequências ligeiramente diferentes.
A onda resultante é envelopada e possui um velocidade de propagação diferente (velocidade de grupo) da velocidade de propagação das ondas originais (velocidade de fase).
vgrupo
v_{grupo}
vfase
v_{fase}
Interferência de ondas harmônicas
São geradas e percebidas quando as ondas progressivas têm mesma amplitude, mesmo sentido de propagação, mas frequências ligeiramente diferentes. O número de onda vai afetar a envoltória.
Fenômeno de batimento
y1(x,t)=A1cos(k1x−ω1t)
y_1(x,t)=A_1\cos(k_1x-\omega_1 t)
y2(x,t)=A2cos(k2x−ω2t)
y_2(x,t)=A_2\cos(k_2x-\omega_2 t)
Atribuindo:
A1=A2
A_1 = A_2
ω1>ω2
\omega_1 > \omega_2
k1>k2
k_1 > k_2
A onda resultante é a soma algébrica (superposição):
yr(x,t)=2Acos[21(k1−k2)x−21(ω1−ω2)t]cos[21(k1+k2)x−21(ω1+ω2)t]
y_r(x,t)=2A\cos\left[
\frac{1}{2}\left(
k_1-k_2
\right)x
-
\frac{1}{2}\left(
\omega_1-\omega_2
\right)t
\right]
\cos\left[
\frac{1}{2}\left(
k_1+k_2
\right)x
-
\frac{1}{2}\left(
\omega_1+\omega_2
\right)t
\right]
com:
Δω=ω1−ω2<<ω=2ω1+ω2
\Delta \omega =\omega_1-\omega_2 << \overline{\omega} = \frac{\omega_1+\omega_2}{2}
Δk=k1−k2<<k=2k1+k2
\Delta k = k_1-k_2 << \overline{k}=\frac{k_1+k_2}{2}
Fonte: https://www.compadre.org/Simule:
k1=2,2 rad/m
k_1=2,2\text{ rad/m}
ω1=1,2 rad/s
\omega_1=1,2\text{ rad/s}
k2=2,0 rad/m
k_2=2,0\text{ rad/m}
ω2=1,0 rad/s
\omega_2=1,0\text{ rad/s}
A1=A2=1,0 m
A_1=A_2=1,0\text{ m}
Propriedade 3
Interferência de ondas harmônicas
A amplitude da onda resultante é modulada pela envoltória.
Fenômeno de batimento
Define-se a frequência e o período de batimento, a diferença entre as frequências de cada onda,
yr(x,t)=2Acos[2Δkx−2Δωt]cos[kx−ωt]
y_r(x,t)=2A\cos\left[
\frac{\Delta k}{2}x
-
\frac{\Delta \omega}{2}t
\right]
\cos\left[
\overline{k}x
-
\overline{\omega}
t
\right]
com:
Δω<<ω
\Delta \omega << \overline{\omega}
Fonte: https://www.compadre.orgyr(x,t)=a(x,t)cos[kx−ωt]
y_r(x,t)=a(x,t)
\cos\left[
\overline{k}x
-
\overline{\omega}
t
\right]
Tbat=f2−f11
T_{bat} = \frac{1}{f_2-f_1}
fbat=2πΔω=f2−f1
f_{bat} = \frac{\Delta \omega}{2\pi}=f_2-f_1
f1=438Hz
f_1 = 438 \text{Hz}
f2=440Hz
f_2 = 440 \text{Hz}
f1=300Hz
f_1 = 300 \text{Hz}
f2=305Hz
f_2 = 305 \text{Hz}
Simule:
f1=400Hz
f_1 = 400 \text{Hz}
f2=440Hz
f_2 = 440 \text{Hz}
Frequência ouvida
Frequência de batimento
Intervalo entre os máximos que são ouvidos
ou entre dois mínimos consecutivos
Interferência de ondas harmônicas
Há outros dois conceitos importantes no batimento:
Fenômeno de batimento
A velocidade de fase:
Fonte: b(x,t)=kx−ωt
b(x,t)=\overline{k}x-\overline{\omega t}
vf=kω
v_f=\frac{\overline{\omega}}{\overline{k}}
A velocidade de grupo:
a(x,t)=2Δkx−2Δωt
a(x,t)=\frac{\Delta k}{2}x-\frac{\Delta\omega}{2}t
vg=dkdω
v_g=\frac{d\omega}{dk}
Δω<<ω
\Delta \omega << \overline{\omega}
Δk<<k
\Delta k<< \overline{k}
Δλ>>λ
\Delta \lambda>> \overline{\lambda}
vg>vf
v_g>v_f
vg<vf
v_g< v_f
vg=−vf
v_g=- v_f
Fonte: http://omnis.if.ufrj.br/~pefvf
v_f
vg
v_g
Interferência de ondas harmônicas
Diferença de fase: Interferências construtiva e destrutiva.
A onda resultante é progressiva com mesma rapidez e sentido de propagação das ondas originais.
Δδ=δ1−δ2
\Delta \delta = \delta_1-\delta_2
A amplitude não oscilatória é dada por:
Ar=2Acos(2Δδ)
A_r = 2A\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)
e
Para que valores de Δδ a amplitude resultante será nula e não nula?
As ondas progressivas têm o mesmo sentido de propagação e constante de fase diferentes.
y1(x,t)=Acos[kx−ωt+δ1]
y_1(x,t) = A\cos[kx-\omega t+\delta_1]
y2(x,t)=Acos[kx−ωt+δ2]
y_2(x,t) = A\cos[kx-\omega t+\delta_2]
δ1=δ2
\delta_1 \neq \delta_2
Chamando, os parâmetros comuns por:
a=kx−ωt
a=kx-\omega t
y1(x,t)=Acos[a+δ1]
y_1(x,t) = A\cos[a+\delta_1]
y2(x,t)=Acos[a+δ2]
y_2(x,t) = A\cos[a+\delta_2]
A onda resultante é a superposição das ondas originais:
yr(x,t)=2Acos(2Δδ)cos[kx−ωt+δ]
y_r(x,t) = 2A\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)\cos[kx-\omega t+\overline{\delta}]
y1
y_1
y2
y_2
Propriedade 3
Interferência de ondas harmônicas
A interferência pode ser construtiva:
Diferença de fase: Interferências construtiva e destrutiva.
As ondas estão em fase.
cos(2Δδ)=1
\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=1
→(2Δδ)=nπ,
\rightarrow \left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=n\pi\,,
A onda resultante fica:
yr(x,t)=2A.1.cos[kx−ωt+δ]
y_r(x,t) = 2A.1.\cos[kx-\omega t+\overline{\delta}]
A amplitude resultante é o dobro das amplitudes das ondas originais:
Fonte: https://www.compadre.org/yr(x,t)=2Acos[kx−ωt+δ]
y_r(x,t) = 2A\cos[kx-\omega t+\overline{\delta}]
Simule:
k1=k2=2,0 rad/m
k_1=k_2=2,0\text{ rad/m}
ω1=ω2=1,2 rad/s
\omega_1=\omega_2=1,2\text{ rad/s}
δ1=0 rad
\delta_1=0\text{ rad}
δ2=2π rad
\delta_2=2\pi\text{ rad}
A1=A2=1,0 m
A_1=A_2=1,0\text{ m}
Ar=2Acos(2Δδ)=2A
A_r = 2A\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=2A
Δδ=2π rad
\Delta \delta = 2\pi\text{ rad}
→Δδ=2nπ
\rightarrow \Delta \delta = 2n\pi
para n=0±1,±2,⋯
Interferência de ondas harmônicas
A interferência pode ser destrutiva:
Diferença de fase: Interferências construtiva e destrutiva.
As ondas estão em oposição de fase.
cos(2Δδ)=0
\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=0
→(2Δδ)=(n+21)π,
\rightarrow \left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\,,
A onda resultante fica:
yr(x,t)=2A.0.cos[kx−ωt+δ]
y_r(x,t) = 2A.0.\cos[kx-\omega t+\overline{\delta}]
A amplitude resultante é nula (Ar=0 ).
Fonte: https://www.compadre.org/yr(x,t)=0
y_r(x,t) = 0
Simule:
k1=k2=2,0 rad/m
k_1=k_2=2,0\text{ rad/m}
ω1=ω2=1,2 rad/s
\omega_1=\omega_2=1,2\text{ rad/s}
δ1=0 rad
\delta_1=0\text{ rad}
δ2=π rad
\delta_2=\pi\text{ rad}
A1=A2=1,0 m
A_1=A_2=1,0\text{ m}
Ar=2Acos(2Δδ)=0
A_r = 2A\cos\left(
\frac{\Delta \delta}{2}
\right)=0
Δδ=π rad
\Delta \delta = \pi\text{ rad}
→Δδ=(2n+1)π
\rightarrow \Delta \delta = \left(2n+1\right)\pi
para n=0±1,±2,⋯.
Interferência de ondas harmônicas
Fonte: https://youtu.be/Fgnq5ZVZCbMPara duas fontes sonoras (alto-falantes) podemos ouvir (ver) ou não ouvir (não ver) a pertrubação dependendo da posição onde nos encontramos em relação as fontes.
Uma causa comum de defasagem entre duas ondas é a diferença de comprimentos dos caminhos entre as fontes das ondas e o ponto onde ocorre interferência.
Fonte: https://youtu.be/1aph8nCEv7sA propagação de ondas esféricas e planas
Interferência de ondas harmônicas
A diferença de fase resulta de uma diferença de caminho e de uma diferença da constante de fase.
As duas fontes (1) e (2) oscilam como ondas harmônicas de mesmo número de onda (k1=k2=k) e frequência (ω1=ω2=ω), pois têm uma fonte em comum.
ΔΦ=
\Delta \Phi =
kΔx
k\Delta x
+2(δ2−δ1)
+\frac{(\delta_2-\delta_1)}{2}
Fonte: Wolfgang & Bauer
fase 1: δ1
fase 2: δ2
fonte original: ω
y1(x1,t)=Acos[kx1−ωt+δ1]
y_1(x_1,t) = A\cos[kx_1-\omega t+\delta_1]
y2(x2,t)=Acos[kx2−ωt+δ2]
y_2(x_2,t) = A\cos[kx_2-\omega t+\delta_2]
O caminho percorrido pelas ondas até o balde! é diferente para cada fonte.
x1=x2
x_1\neq x_2
As ondas são coerentes quando:
Para cada fonte note que x1=x2:
ΔΦ=
\Delta \Phi =
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
+2(δ2−δ1)
+\frac{(\delta_2-\delta_1)}{2}
Mostre que a diferença de fase é o argumento da amplitude da onda resultante
δ2−δ1=0
\delta_2 - \delta_1 = 0
δ2−δ1=constante
\delta_2 - \delta_1=\text{constante}
ou
Interferência de ondas harmônicas
A diferença de fase resulta de uma diferença de caminho e de uma diferença da constante de fase.
As interferências construtiva ou destrutiva pode ocorrer devido a uma diferença de caminho ou a uma diferença de fase:
ou
ΔΦ=
\Delta \Phi =
Δδ/2
\Delta \delta/2
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
ΔΦ=
\Delta \Phi =
ΔΦ=
\Delta \Phi =
λ2π(x2−x1)
\frac{2\pi}{\lambda}(x_2-x_1)
+2(δ2−δ1)
+\,\frac{(\delta_2-\delta_1)}{2}
Diferença de caminho
Fonte: https://youtu.be/RR4oXgQKGQ0Diferença de constante de fase
Fonte: https://youtu.be/ISRUTFrrXfA
δ2−δ1=0
\delta_2 - \delta_1 = 0
x2−x1=0
x_2 - x_1 = 0
Interferência de ondas harmônicas
Para fontes coerentes:
2nπ=
2n\pi=
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
ΔΦ=
\Delta \Phi =
A interferência é construtiva, se:
é um múltiplo inteiro do comprimento de onda.
A intensidade da onda é máxima: I=4A2.
ΔΦ=2nπ
\Delta \Phi = 2n\pi
A diferença de caminho:
δ1
\delta_1
δ2
\delta_2
A interferência é construtiva em P1.
Δx=nλ,
\Delta x = n\lambda\,,
n=0±1,±2,⋯
n=0\,\pm 1,\pm 2,\cdots
Fonte: TiplerFonte: SearsAmplitudes em fase (p/ cima ou p/baixo)
Interferência de ondas harmônicas
Para fontes coerentes:
(2n+1)π=
\left(2n+1\right)\pi=
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
λ2πΔx
\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x
ΔΦ=
\Delta \Phi =
A interferência é destrutiva, se:
é um múltiplo semi-inteiro do comprimento de onda.
A intensidade da onda é nula: I=0.
ΔΦ=(2n+1)π
\Delta \Phi = \left(2n+1\right)\pi
A diferença de caminho:
δ1
\delta_1
δ2
\delta_2
A interferência é destrutiva em P2.
Δx=(n+21)λ,
\Delta x =\left( n+\frac{1}{2}\right)\lambda\,,
n=0±1,±2,⋯
n=0\,\pm 1,\pm 2,\cdots
Fonte: TiplerFonte: SearsAmplitudes em oposição de fase (p/ cima e p/baixo)
Interferência de ondas harmônicas
A interferência de duas fontes coerentes
Padrões de interferências em ondas esféricas cujas fontes estão separadas por uma certa distância.
Δx=nλ
\Delta x = n\lambda
Δx=(n+21)λ
\Delta x = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda
Onde as cristas e cristas (ou vales e vales) se sobrepõem, as ondas interferem construtivamente:
ΔΦ=2nπ
\Delta \Phi = 2n\pi
Onde as cristas e os vales se sobrepõem, as ondas interferem destrutivamente:
ΔΦ=(n+21)2π
\Delta \Phi = \left(n+\frac{1}{2}\right)\,2\pi
Fonte: BauerInterferência de ondas harmônicas
Interferência construtiva:
Δx=nλ
\Delta x = n\lambda
Δx=(n+21)λ
\Delta x = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda
Fonte: BauerInterferência destrutiva:
A interferência de duas fontes coerentes
Interferência de ondas harmônicas
Calculando o padrão de interferência do experimento de Young: Dupla Fenda.
A diferença de caminho é Δx.
senθ=aΔx
\text{sen}\theta = \frac{\Delta x}{a}
Δx=a sen θ
\Delta x = a\text{ sen }\theta
Se a separação entre as fontes é menor do que a distância até o anteparo:
a<<L
a << L
sen θ≈tanθ
\text{sen }\theta \approx \tan \theta
Δx=a tan θ
\Delta x = a\text{ tan }\theta
Δx=aLy
\Delta x = a\frac{y}{L}
BRILHO:
Δx=nλ
\Delta x = n\lambda
y=2nLλ
y = \frac{nL\lambda}{2}
SOMBRA:
Δx=(n+21)λ
\Delta x = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda
y=2(2n+1)aLλ
y =\frac{(2n+1)}{2}\frac{L\lambda}{a}
Δy=aLλ
\Delta y = \frac{L\lambda}{a}
A distância entre Brilho e Sombra:
Interferência de ondas harmônicas
Calculando o padrão de interferência do experimento de Young: Dupla Fenda.
BRILHO:
Δx=nλ
\Delta x = n\lambda
y=2nLλ
y = \frac{nL\lambda}{2}
SOMBRA:
Δx=(n+21)λ
\Delta x = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda
y=2(2n+1)aLλ
y =\frac{(2n+1)}{2}\frac{L\lambda}{a}
Δy=aLλ
\Delta y = \frac{L\lambda}{a}
A distância entre Brilho e Sombra:
Interferência de ondas harmônicas
Ondas na água, som no ar ou a luz no ar produzidos por dois único geradores separados e em fase.
FONTE: PHETConstrutiva
Δx=nλ
\Delta x = n\lambda
Destrutiva
Δx=(n+21)λ
\Delta x = \left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda
Fonte: BauerCalculando o padrão de interferência do experimento de Young: Dupla Fenda.
Questão 1
Um flautista toca a nota de 510 Hz enquanto um segundo flautista toca a nota de 512 Hz. Que freqüência você escuta? Qual é a freqüência de batimento?
Questão 2
Você escuta três batimentos por segundo quando dois tons musicais são tocados simultaneamente. A freqüência de um tom é 610 Hz. Qual é a freqüência do outro ?
Questão 3
Dois alto-falantes emitem ondas sonoras de 500 Hz com amplitude de 0,10 mm. O alto-falante 2 encontra-se 1,00 m atrás do alto-falante 1, e a diferença de fase entre eles é de 90 graus. Qual é a amplitude da onda sonora escutada em um ponto 2,00 m à frente do alto-falante 1.
R-ex21-9
Questão 4
Dois alto-falantes posicionados em um plano estão separados por 2,0 m e em fase um com o outro. Ambos emitem ondas sonoras de 700 Hz em um ambiente onde a velocidade do som é 341 m/s. Um ouvinte encontra-se parado a 5,0 m à frente dos alto-falantes e a 2,0 m da reta perpendicular ao plano onde estão os alto-falantes e que passa pelo ponto médio entre os mesmos.
(a) Neste ponto, a interferência é totalmente construtiva, totalmente destrutiva ou intermediária?
(b) Como mudará a situação se os alto-falantes estiverem fora de fase?
R-ex21-11
Questão 5
Dois alto-falantes posicionados em um plano estão separados por 6,0 m de distância e em fase. Ambos emitem ondas sonoras de mesma amplitude e comprimento de onda de 1,0 m. Cada alto-falante emite um som de intensidade I0. Um observador parado no ponto A encontra-se 10 m à frente do plano que contém os dois alto-falantes, centralizado em relação aos mesmos. Um segundo observador, parado no ponto B, encontra-se 10 m diretamente à frente de um dos alto-falantes. Em função de I0, quais são a intensidade IA no ponto A e a intensidade IB no ponto B? R-ex21-12
Questão 6
Duas ondas senoidais y1(x,t) e y2(x,t) têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no mesmo sentido em uma corda. As amplitudes são A1(x,t) = 4,0 mm e A2(x,t) = 3,0 mm, e as constantes de fase são 0 e π/3 rad, respectivamente. Quais são a amplitude e a constante de fase delta da onda resultante? Escreva a onda resultante.
Aula 10 Introdução à Física Clássica II Prof. Ronai Lisbôa Não compreendeu algo? Algo está esquisito? Comente!
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UNIDADE 2 : Ondas e Som. Fenômenos de interferência. Batimento. Diferença de caminho. Diferença de fase. Dupla fenda de Young.
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