Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 15
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 14 - Mecânica dos Fluidos
Seções: 14.6.
Distinguir um fluido laminar de um fluido turbulento, e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo.
Distinguir um fluido laminar de um fluido turbulento, e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo.
Reconhecer o perfil de velocidades no escoamento de fluidos viscosos e o conceito de camada limite.
Obter a equação de Pouiseuille.
Calcular o número de Reynolds.
Fluidos reais possuem viscosidade (água, sangue, óleo, ...). A velocidade é máxima no centro e quase nula nas paredes. O fluido pode ser decomposto em camadas cilíndricas, concêntricas e telescópica:
v=\frac{\Delta p}{4\eta L}(a^2-r^2)
Obtemos o perfil de velocidades para o fluido:
Escoamento de fluidos viscosos. A Lei de Hagen-Poiseuille.
Fonte: BauerNo regime estacionário existe uma diferença de pressão nas extremidades do tubo cilíndrico. A força de contato ainda promove um cisalhamento sobre a superfície lateral:
\frac{T_{\|}}{A}=\frac{(p_1-p_2)\pi r^2}{2\pi r L}
\frac{T_{\|}}{A}=\frac{(p_1-p_2) r}{2 L}
\frac{T_{\|}}{A} =\eta \frac{dv}{dz}
Aplicando a lei de Newton da viscosidade:
\Rightarrow
a
p_1
a
p_1
p_2
L
\vec v
Fonte: SearsHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A vazão do fluido através da secção reta do tubo cilíndrico é:
I_V = \int_s \vec v\cdot d\vec A
I_V=\frac{\Delta p}{L}\frac{\pi a^4}{8\eta}
Escoamento de fluidos viscosos. A Lei de Hagen-Poiseuille.
Para manter o fluxo sanguíneo numa artéria obstruída (\(a\rightarrow 0\)) a pressão sanguínea aumenta para manter a mesma vazão.
Fonte: https://youtu.be/WG-YCpAGgQQA vazão é proporcional à queda de pressão por unidade de comprimento, inversamente proporcional ao coeficiente de viscosidade e varia com a quarta potência do raio do tubo.
Esta é a lei de Hagen-Poiseuille, obtida por ambos entre 1839 e 1846 (Poiseuille, era médico, estava investigando o escoamento do sangue através de um capilar).
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A resistência R ao fluxo laminar de um fluido incompressível com viscosidade 𝜂 através de um tubo horizontal de raio uniforme r e comprimento L, é dado por
Escoamento de fluidos viscosos. A Lei de Hagen-Poiseuille.
I_V=\frac{\Delta p}{R}
\Rightarrow
R = \frac{8\eta L}{\pi a^4}
A resistência é diretamente proporcional à viscosidade do fluido 𝜂 e o comprimento L do tubo.
Quanto maior a resistência, menor o fluxo ou a vazão para uma dada variação de pressão.
Quanto maior o raio (a), maior o fluxo (se todos os outros fatores permanecem os mesmos).
Qualquer mudança no raio de um tubo tem um efeito muito grande na resistência. Por exemplo, dobrar o raio de um tubo diminui a resistência por um fator de \(2^4 = 16\).
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Escoamento de fluidos viscosos. Número de Reynolds.
Um indicador chamado número de Reynolds (\(N_R\)) pode revelar se o fluxo é laminar ou turbulento. Para escoamento em um tubo de diâmetro uniforme, o número de Reynolds é definido como:
N_R = \frac{2r\rho v}{\eta}
onde 𝜌 é a densidade do fluido, \(v\) sua velocidade, \(\eta\) sua viscosidade, e \(r\) é o raio do tubo.
O número de Reynolds é uma quantidade adimensional.
Regime laminar:
Regime turbulento:
Regime Instável:
N_R <2000
N_R >3000
2000< N_R < 3000
Fonte: https://youtu.be/uGU5Zff1DXQcaótico
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Magnus.
Uma bola lançada com efeito mostra um desvio lateral em sua trajetória.
O plano da curvatura é determinado pela direção do eixo de giro da bola
O ar adjacente à bola tende a acompanhar o movimento da bola.
Translada
Rotaciona
Composto
v_E>v_D
p_E< p_D
A força \(\vec F_M\) tem a orientação da diminuição da pressão.
Fonte: Alaor ChavesHidrodinâmica: fluidos em movimento.
A equação de Bernoulli. Efeito Magnus.
Aplicando um pouco de álgebra vetorial é possível calcular a força do efeito Magnus:
\vec\nabla p=-\vec f_M
\vec f_M = c(\vec\omega \times \vec v)
\vec f_M = -c\omega v\hat i
Fonte: Alaor ChavesQuestão 1
Um sistema de ar condicionado está sendo projetado para fornecer ar a uma pressão manométrica de 0,054 Pa a uma temperatura de 20°C.
O ar é enviado através de um condutor cilíndrico e isolado com diâmetro de 18,00 cm. O conduto tem 20 metros de comprimento e está aberto para uma sala à pressão atmosférica de 101,30 kPa. A sala tem 12 metros de comprimento, 6 metros de largura e 3 metros de altura.
(a) Qual é a taxa de fluxo de volume através do tubo, assumindo o fluxo laminar?
(b) Estime o tempo necessário para substituir completamente o ar da sala.
(c) Os construtores decidem economizar usando um conduíte com diâmetro de 9,00 cm. Qual é a nova vazão?
Questão 2
Na questão , descobrimos que a vazão volumétrica de um sistema de ar condicionado é \(I_V=3,84\times 10^{−3}\) m^3/s. Este cálculo assumiu o fluxo laminar. (a) Essa foi uma boa suposição? (b) Com que velocidade o escoamento se tornaria turbulento?
Questão 3
Um avião está se movendo pelo ar a velocidade v = 200 m/s. As linhas de fluxo logo acima da asa estão com- primidas 80% de sua área original e as sob a asa não estão comprimidas.
a) Determine a velocidade do ar acima da asa.
b) Encontre a diferença de pressão entre o ar acima da asa, P, e o ar sob a asa, P’.
c) Encontre a força resultante para cima em ambas as asas devido à diferença de pressão, se a área da asa é 40 m^2 e a densidade do ar é de 1,3 kg/m^3.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Circulação dos fluidos.
A circulação caracteriza o tipo do escoamento do fluido em rotacional ou irrotacional.
\vec r
\vec v
\odot
\vec \omega
Fonte: https://fr.depositphotos.comC = \oint_C\vec v\cdot d\vec l
circulação
velocidade do fluido
elemento de linha
caminho fechado
Caso o fluido gire como um corpo rígido com uma rapidez angular \(\omega\), a velocidade tangencial num ponto na periferia do fluido a uma distância \(r\) do centro é:
\vec v = \omega r \hat t
O elemento de linha (trajetória) do fluido:
d\vec l = rd\theta \hat t
A circulação no caminho fechado circular:
C=2\pi r v
\vec v = v \hat t
\Rightarrow
\Rightarrow
C=2\pi \omega r^2
A circulação aumenta com \(r^2\)
A velocidade aumenta com o aumento de \(r\)
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Circulação dos fluidos.
A circulação caracteriza o tipo do escoamento do fluido em rotacional ou irrotacional.
\vec r
\vec v
\odot
\vec \omega
Fonte: https://biodynamizer.com/Supondo que para cada linha de corrente a circulação seja constante, mas que a velocidade varia com o raio da circulação:
A equação de Bernoulli para este redemoinho:
A equação para a superfície livre do redemoinho:
C=2\pi r v
\Rightarrow
v=\frac{C}{2\pi r}
A velocidade aumenta com a diminuição de \(r\)
z+\frac{v^2}{2g}=\text{constante}
z+\frac{C^2}{8\pi^2 g r^2}=\text{constante}
\Rightarrow
z=A-\frac{B}{r^2}
z+\frac{C^2}{8\pi^2 g r^2}=\text{constante}
O líquido ocupa a região externa do funil centrado no eixo, de modo que a singularidade em r = 0 é excluída do campo de escoamento (não há fluido).
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Escoamento rotacional e irrotacional
Escoamento rotacional. Uma partícula do fluido gira ao mesmo tempo que é transportado pelo movimento.
Escoamento irrotacional. Uma partícula do fluido não gira ao mesmo tempo que é transportado pelo movimento.
Se a circulação por unidade de área no entorno de cada ponto se anula numa dada região, o escoamento é dito irrotacional. Caso contrário é dito rotacional.
\frac{C}{A}=0
\frac{C}{A}=2\pi
Motivação
A trajetória de uma bola curva é realmente curva? A resposta é sim, e o motivo é a turbulência. Em virtude das elevadas velocidades normalmente envolvidas (cerca de 35 m/s, ou 125 km/h), existe uma região de escoamento turbulento atrás da bola. A orientação da rotação da bola fará ela se curvar à esquerda ou à direita.
Um fluido possui movimento relativo devido à tensão tangencial, pois não suporta tal força.
O cisalhamento (força tangencial / área) é uma grandeza escalar sempre positiva.
t=\frac{dT_{\|}}{dA}
Grandeza
Dimensão
Unidade: S.I.
\frac{[F]}{[L]^2}
\frac{\text{N}}{\text{m}^2}=1\text{ Pa } (\text{pascal})
Escoamento de fluidos viscosos. Viscosidade.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
A velocidade varia linearmente com a altura \(z\).
Fonte: Tipler v(z)=\frac{v_0}{h}z
É um fato experimental que um fluido real em contato com um sólido permanece em repouso em relação à superfície de contato.
\frac{T_{\|}}{A} =\eta \frac{v_0}{h}
À medida que o fluido se afasta da placa superior a velocidade diminui.
\vec v_0
O escoamento é laminar porque o fluido se desloca em camadas planas paralelas que deslizam uma sobre as outras.
Este movimento é descrito pela lei de Newton da viscosidade:
\frac{T_{\|}}{A} =\eta \frac{dv}{dz}
A viscosidade (\(\eta\)) é uma medida do atrito interno entre estas camadas para uma dada temperatura e pressão. O cisalhamento é:
t=\eta \frac{dv}{dz}
\Rightarrow
h
z
x
Escoamento de fluidos viscosos. Viscosidade.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
Define-se por viscosidade, a grandeza:
Grandeza
Dimensão
Unidade: S.I.
\eta =\frac{h}{v_0}\frac{F}{A}
\frac{[F]}{[L]^2}\text{[T]}
\frac{[\text{N}]}{[\text{m}]^2}[\text{s}]\equiv \text{Pa.s}
No sistema cgs é o Poise (P).
1 poise = 0,1 Pa . s
Para os líquidos a viscosidade decresce com o aumento da temperatura.
Muito viscoso = Dureza
Escoamento de fluidos viscosos. Viscosidade.
Para os gases a viscosidade cresce com o aumento da temperatura.
Hidrodinâmica: fluidos em movimento.
IFC 2 - Aula 15
By Ronai Lisboa
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UNIDADE 2 : Fluidos. Hidrodinâmica. Lei de Newton de viscosidade. Equação de Poiseuille. Número de Reynolds. Efeito Magnus. Circulação de fluidos.
