Ronai Lisboa
Curso de Introdução à Física Clássica: Mecânica, Termodinâmica, Fluidos, Ondas e Oscilações e Eletromagnetismo para Bacharelado em Ciências e Tecnologias.
Aula 22
Introdução à Física Clássica II
Prof. Ronai Lisbôa
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Objetivos
Ao final dessa aula você deve se capaz de:
Bibliografia
Sears & Zemansky - Vol. 2 - 14a. edição.
Capítulo 20 -
Seções: 20.3, 20.6.
Analisar o ciclo de Carnot.
Reconhecer o ciclo de Carnot como uma máquina reversível.
Reconhecer o ciclo de Carnot como uma máquina reversível.
Calcular a eficiência de um ciclo de Carnot.
Estudar os modelos dos motores de combustão interna.
Motivação
Ilustração da circulação superficial oceânica global. As setas azuis representam correntes frias, as vermelhas são as correntes quentes e as regiões roxas são as áreas de encontro de correntes frias e quentes. Fonte: Miraceti/Wikimedia Commons - https://www.bioicos.org.br/post/correntes-maritimas-circulacao-oceanica
As correntes quentes Equatorial do Norte e Equatorial do Sul. Elas atravessam o oceano Atlântico, passando da África para a América, trazendo grandes massas de água com 25 ºC.
No Brasil, as correntes transportam em média 14 milhões de metros cúbicos por segundo.
Os oceanos operam como máquinas térmicas.
Ocorrendo um equilíbrio térmico dos oceanos não haverá mais as correntes equatoriais!
O ciclo de Carnot
Problema
Dadas uma fonte quente e uma fonte fria, qual é o máximo rendimento que se pode obter de um motor térmico (ou refrigerador) operando entre essas duas fontes?
Máquina Sadi Carnot (1796-1832).
Deve ser uma máquina que opera reversivelmente entre duas fontes.
Com trocas de calor realizadas isotermicamente (reservatórios térmicos).
Com variações de temperatura que ocorrem adiabaticamente (com trabalho e sem calor).
Quase-estático
Sem efeitos dissipativos
Opera ao contrário!
De acordo com a segunda lei, nenhuma máquina térmica pode ter 100% de eficiência.
Máquina hipotética ideal
Para a eficiência máxima de uma máquina térmica, portanto, devemos evitar todo processo irreversível.
O fluxo de calor em uma queda de temperatura finita é um processo irreversível.
Não pode ocorrer nenhuma transferência de calor entre a máquina e qualquer reservatório, porque essa transferência de calor não poderia ser reversível.
O ciclo de Carnot
A máquina de Carnot opera entre apenas 2 reservatórios térmicos: um quente e outro frio.
Máquina de Carnot
O ciclo de Carnot tem 4 processos alternados: expansão isotérmica, expansão adiabática, compressão isotérmica e compressão adiabática.
Fonte: BauerFonte: TiplerQ_{liq}=Q_q-Q_f
W_{util}=Q_{liq}
\Rightarrow \Delta U_{ciclo} = 0
W_{util}
A troca de calor na fonte quente se dá reversivelmente as custas de trabalho, pois não há diferença finita de temperatura
1
2
3
4
A temperatura precisa diminuir, mas sem que exista troca de calor. Isto se dá as custas de trabalho adiabático.
A troca de calor na fonte fria se dá reversivelmente as custas de trabalho, pois não há diferença finita de temperatura.
A temperatura precisa aumentar, mas sem que exista troca de calor. Isto se dá as custas de trabalho adiabático.
isoterma
adiabática
isoterma
adiabática
O ciclo de Carnot
Máquina e o ciclo de Carnot
Nos processos isotérmicos há transferência de calor porque há trabalho isotérmico.
Nos processos adiabático há queda de temperatura devido ao trabalho adiabático.
AB: Expansão isotérmica (\(Q_q\))
\Delta U_{AB}=0
Q_{AB}=W_{AB}=nRT_q\ln\left(
\frac{V_B}{V_A}
\right)>0
BC: Expansão adiabática
Q_{BC}=0
\Delta U_{BC}=\frac{1}{\gamma-1}(P_CV_C-P_BV_B)<0
CD: Compressão isotérmica (\(Q_f\))
\Delta U_{CD}=0
Q_{CD}=W_{CD}=nRT_f\ln\left(
\frac{V_D}{V_C}
\right)<0
DA: Compressão adiabática
Q_{DA}=0
\Delta U_{DA}=\frac{1}{\gamma-1}(P_AV_A-P_DV_D)>0
O ciclo de Carnot
Máquina e o ciclo de Carnot
\Rightarrow
\frac{|Q_{f}|}{|Q_q|}=\frac{T_f}{T_q}
\frac{Q_{f}}{Q_q}=-\frac{T_f}{T_q}
Combinando os dois resultados
Nos processos adiabáticos
\frac{T_q}{T_f}=\left(
\frac{V_C}{V_B}
\right)^{\gamma-1}
\frac{T_q}{T_f}=\left(
\frac{V_D}{V_A}
\right)^{\gamma-1}
\left(
\frac{V_C}{V_B}
\right)=
\left(
\frac{V_D}{V_A}
\right)
\left(
\frac{V_B}{V_A}
\right)=
\left(
\frac{V_C}{V_D}
\right)
Nos processos isotérmicos
Q_{q}=+nRT_q\ln\left(
\frac{V_B}{V_A}
\right)>0
Q_{f}=-nRT_f\ln\left(
\frac{V_C}{V_D}
\right)<0
\frac{Q_{f}}{Q_q}=-\frac{T_f}{T_q}\frac{\ln(V_C/V_D)}{\ln(V_B/V_A)}
A eficiência de Carnot
\varepsilon = 1 -\frac{|Q_f|}{|Q_q|}
\varepsilon = 1 -\frac{T_f}{T_q}
\Rightarrow
O ciclo de Carnot
A eficiência de Carnot
\varepsilon = 1 -\frac{T_f}{T_q}
A eficiência do ciclo de Carnot com gases ideais independe das características do gás e depende apenas das temperaturas dos reservatórios térmicos usados.
Como opera em um ciclo a temperatura do reservatório frio não pode ser nula. Caso contrário teríamos uma máquina miraculosa com 100% de eficiência.
O rendimento de Carnot fornece um limite superior para os rendimentos de uma máquina térmica operando entre dois reservatórios térmicos.
Um reservatório no zero absoluto implica todo calor convertido em trabalho. Uma eficiência de 100% é uma prática impossível.
T_q = 373 \text{ K} \,
\qquad{e}\qquad T_f = 273 \text{ K}
\Rightarrow \varepsilon = 0,27
T_q = 173 \text{ K} \,
\qquad{e}\qquad T_f = 73 \text{ K}
\Rightarrow \varepsilon = 0,58
O ciclo de Carnot
A eficiência de Carnot. Diagrama TS
No diagrama TS, para um gás ideal como sistema temos que:
A\rightarrow B:
Q_{1R}=+T_1\Delta S
B\rightarrow C:
\Delta S=0
C\rightarrow D:
Q_{2R}=-T_2\Delta S
D\rightarrow A:
\Delta S=0
No ciclo:
W_{util}=Q_{liq}=(T_1-T_2)\Delta S
Q_2
Q_1
W
Podemos verificar que a máquina de Carnot é reversível.
A\rightarrow B:S_{B}=S_A+\frac{Q_{1R}}{T_1}
B\rightarrow C:S_{C}=S_B
C\rightarrow D:S_{D}=S_C-\frac{Q_{2R}}{T_2}
D\rightarrow A:S_{A}=S_D
\rightarrow S_{A}=S_B-\frac{Q_{2R}}{T_2}
\rightarrow S_{B}=S_A+\frac{Q_{1R}}{T_1}
No ciclo:
\frac{Q_{1R}}{T_1}=
\frac{Q_{2R}}{T_2}
O ciclo de Carnot
A eficiência de Carnot. Diagrama TS
No diagrama TS, para um gás ideal como sistema temos que:
W_{util}=(T_1-T_2)\Delta S
\equiv
\text{área}_{ABCDA}
No ciclo:
\varepsilon=\frac{W_u}{Q_q}
O ciclo de Carnot
A máquina reversível de Carnot
Suponha que a máquina de Carnot (R) seja menos eficiente que uma máquina (I), mas que ambas executem o mesmo trabalho.
Suponha que:
\varepsilon_I >
\varepsilon_R
\frac{W}{Q'_q}>
\frac{W}{Q_q}
\Rightarrow
Esta máquina é possível?
Quais as consequências de \(Q_q > Q'_{q}\)?
100 J
120 J
80 J
80 J
20 J
40 J
0,67
0,80
O trabalho é o mesmo. Assim, a relação a seguir deve ser satisfeita:
Q_q > Q'_q
120 J
100 J
O ciclo de Carnot
A máquina reversível de Carnot
A máquina de Carnot é reversível. Daí, operando no sentido contrário da máquina térmica, temos o refrigerador de Carnot.
O calor líquido cedido pelo reservatório quente é igual ao calor líquido recebido pelo reservatório frio sem qualquer trabalho realizado, \(W_{util} = Q_{liq,q}-Q_{liq,f} = 0\).
W_I=W_R
Q'_q - Q' _f=
Q_q - Q_f
Q'_q - Q_q=
Q'_f - Q_f
Q_{liq,q}=
Q_{liq,f}
Há uma violação da 2a. Lei da Termodinâmica (enunciado de Clausius). Daí,
\Rightarrow
100 J
120 J
80 J
20 J
40 J
\Rightarrow Q_{liq,I}=Q_{liq,R}
80 J
80 J
20 J
20 J
\varepsilon_I >
\varepsilon_R
\varepsilon_I <
\varepsilon_R
W
O ciclo de Carnot
O teorema e os colorarios de Carnot
O teorema de Carnot
Nenhuma máquina térmica operando entre dois reservatório térmicos pode ser mais eficiente do que uma máquina de Carnot que opera entre os dois reservatórios térmicos.
Os colorários de Carnot
Todas as máquinas de Carnot operando entre os mesmos dois reservatórios térmicos têm a mesma eficiência.
A natureza da substância de trabalho não influencia a eficiência da máquina de Carnot.
A máquina de Carnot depende apenas das temperaturas das fontes de calor.
O ciclo de Carnot
Resumo
Dada duas fontes uma a alta temperatura e a outra a baixa temperatura:
A eficiência máxima é a eficiência de uma máquina de Carnot;
Se uma máquina operando entre as duas mesmas fontes apresenta uma eficiência igual a eficiência de Carnot ela é uma máquina reversível;
Se uma máquina operando entre as duas mesmas fontes apresenta uma eficiência menor que a eficiência de Carnot ela é uma máquina irreversível.
O TEOREMA DE CARNOT se aplica a uma máquina que opera entre DUAS FONTES DE ENERGIA.
Qualquer outra máquina que opere entre estas DUAS FONTES será reversível, irreversível ou impossível.
Máquinas que operam entre mais que duas fontes não se enquadram no Teorema de Carnot.
Motores de combustão à gás
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão por centelha.
O motor Otto é um motor de combustão de 4 tempos.
Admissão.
Compressão.
Combustão.
Exaustão.
Fonte: Moran
Ponto morto superior
Ponto morto inferior
Curso
Calibre
Válvula
Vela de ignição
Volume morto
Parede do cilindro
Pistão
Movimento de rotação
Mecanismo de manivela
Movimento alternado
O fluido de trabalho é o ar mais combustível.
Motores de combustão à gás
admissão
exaustão
Válvula de admissão fecha
Válvula de exaustão abre
potência
compressão
Válvula de exaustão fecha
ponto morto superior (V)
ponto morto inferior (rV)
P
V
2
3
4
1
1-2: Compressão adiabática.
2-3: Aquecimento isocórico.
3-4: Expansão adiabática (potência).
4-1: Resfriamento isovolumétrico.
ignição
admissão
fim da combustão
Q_q
Q_f
explosão
exaustão
V_a=V
V_b=rV
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão por centelha.
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão por centelha.
Motores de combustão à gás
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão.
2-3: Aquecimento isocórico.
3-4: Expansão adiabática.
4-1: Resfriamento isovolumétrico.
Q_q
Q_f
1-2: Compressão adiabática.
Q=0\quad :\quad \Delta U =-W_{adiab}
\Delta U = C_V(T_2-T_1)>0
T_1V_1^{\gamma-1}=
T_2V_2^{\gamma-1}
W=0\quad :\quad \Delta U =Q_q
Q_q= C_V(T_3-T_2)>0
Q=0\quad :\quad \Delta U =-W_{adiab}
\Delta U = C_V(T_4-T_3)<0
T_4V_4^{\gamma-1}=
T_3V_3^{\gamma-1}
W=0\quad :\quad \Delta U =Q_f
Q_f = C_V(T_4-T_1)<0
V_a=V
V_b=rV
Motores de combustão à gás
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão.
Dos processos isocóricos obtemos a eficiência em função das temperaturas:
\varepsilon=1-\frac{Q_f}{Q_q}
Q_q
Q_f
\varepsilon=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}
(T_4-T_1)V_b^{\gamma-1}=
(T_3-T_2)V_a^{\gamma-1}
\frac{(T_4-T_1)}{
(T_3-T_2)}=\left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma-1}
V_4=V_1
V_3=V_2
V_a=V
V_b=rV
Dos processos adiabáticos obtemos uma relação entre as variações de temperatura e a razão dos volumes na compressão:
T_1V_1^{\gamma-1}=
T_2V_2^{\gamma-1}
T_4V_4^{\gamma-1}=
T_3V_3^{\gamma-1}
-
\varepsilon=1-\left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma-1}
A eficiência em função da taxa de compressão, \(r=V_1/V_2\):
\varepsilon=1-\left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma-1}
Veja que há 4 reservatórios. Não é uma máquina de Carnot.
Motores de combustão à gás
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão.
Os reservatórios quente e frio são modelados como diversos reservatórios auxilares que permitem trocas de calor isotermicamente.
\varepsilon=1-\left(\frac{1}{r}\right)^{\gamma-1}
Diferente do Ciclco de Carnot, a eficiência do Ciclo Otto depende da natureza do sistema (substância de trabalho). Para gases ideais, a dependência se dará através da constante adiabática. Para ɣ = 1,4 e uma razão de compressão r = 8 (compressão máxima para evitar pré-ignição), obtém-se ϵ = 0,56.
A octanagem da gasolina impede a pré-ignição. A gasolina premium tem octanagem que permite uma taxa de compressão entre r = 10 e r = 13.
Os rendimentos reais são da ordem de ϵ = 0,34.
Motores de combustão à gás
O motor Otto com ciclo Otto à ar padrão.
É uma máquina reversível, mas opera entre mais que duas fontes de calor.
O ciclo Otto é realizado entre dois reservatórios, os calores são transferidos nos dois processos isocóricos devem envolver diferenças finitas de temperatura, e, portanto, não deve ser reversível.
Se o ciclo Otto for realizado reversivelmente, ele requer uma série de reservatórios, não meramente dois reservatórios à temperaturas diferentes.
Supondo uma série de reservatórios térmicos, os ciclos Otto e Diesel podem ser tomados como reversíveis!
Você é capaz de mostrar que a variação da entropia é nula para esta máquina?
Motores de combustão à gás
O motor Diesel com ciclo Diesel idealizado por compressão
a-b: Compressão adiabática.
b-c: Expansão isobárica
c-d: Expansão adiabática.
d-a: Resfriamento isocórico.
Expansão isobárica
Expansão adiabática
Resfriamento isocórico
Compressão adiabática
Q_q
Q_f
Q=0\quad :\quad \Delta U =-W
\Delta U = C_V(T_b-T_a)>0
T_aV_a^{\gamma-1}=
T_bV_s^{\gamma-1}
\Delta U = Q_P-W
Q_q=C_P(T_c-T_b)
Q=0\quad :\quad \Delta U =-W
\Delta U = C_V(T_d-T_c)<0
T_dV_1^{\gamma-1}=
T_cV_3^{\gamma-1}
W=0\quad :\quad \Delta U =Q_f
Q_f = C_V(T_d-T_a)<0
ignição
tempo motor
explosão
exaustão
Motores de combustão à gás
O motor Diesel com o ciclo Diesel idealizado
A partir da expansão isobárica e resfriamento isocórico, obtemos a eficiência em função das temperaraturas:
\varepsilon=1-\frac{Q_f}{Q_q}
\varepsilon=1-\frac{C_V}{C_P}\frac{T_d-T_a}{T_c-T_b}
\varepsilon=1-\frac{1}{\gamma}\frac{T_d-T_a}{T_c-T_b}
Veja que há 4 reservatórios. Não é uma máquina de Carnot.
Dos processos adiabáticos obtemos uma relação entre as variações de temperatura e a razão dos volumes na compressão:
T_dV_1^{\gamma-1}=
T_cV_3^{\gamma-1}
T_aV_1^{\gamma-1}=
T_bV_2^{\gamma-1}
\frac{T_a}{T_b}=
\left(
\frac{V_2}{V_1}
\right)^{\gamma-1}
\frac{T_a}{T_b}=
\left(
\frac{1}{r}
\right)^{\gamma-1}
\frac{T_d}{T_c}=
\left(
\frac{V_3}{V_1}
\right)^{\gamma-1}
\frac{T_d}{T_c}=
\left(
\frac{1}{r_C}
\right)^{\gamma-1}
A razão de corte a razão do volume do cilindro depois e antes do processo de combustão
\varepsilon=1-\frac{1}{r}^{\gamma-1}\left[
\frac{1}{\gamma}
\left(\frac{r_C^{\gamma}-1}{r_C-1}\right)\right]
A eficiência em função da taxa de compressão, \(r=V_1/V_2\) e corte \(r_C = V_3/V_2\):
Motores de combustão à gás
O motor Diesel com ciclo Diesel idealizado
\varepsilon=1-\frac{1}{r}^{\gamma-1}\left[
\frac{1}{\gamma}
\left(\frac{r_C^{\gamma}-1}{r_C-1}\right)\right]
Na eficiência do ciclo Diesel:
O termo em amarelo é aquele da eficiência de uma máquina Otto. Se \(r_C \rightarrow 1\), obtemos Otto.
Valores de r em torno de 15 a 20 são normais; com esses valores e com \(\gamma = \) 1,4, a eficiência teórica de um ciclo diesel idealizado é cerca de 0,65 até 0,70.
Para um mesmo fator de compressão \(r\), o ciclo Otto é mais eficiente que o ciclo Diesel.
Como não existe nenhum combustível no cilindro durante a maior parte do tempo de compressão, não pode ocorrer pré-ignição; Para uma mesma eficiência a razão de compressão r pode ser muito maior que a de um motor a gasolina.
Motores de combustão à gás
Outros ciclos
Stirling idealizado
Gerando energia a partir da radiação solar:
Solução:
Motores de combustão à gás
Outros ciclos
Brayton idealizado
Solução
Gerando energia a partir de compressores e turbinas.
Questão 1
Uma máquina de Carnot retira 3000 J de calor de um reservatório térmico com temperatura T = 500 K e libera calor em um reservatório térmico com temperatura T = 325 K. Quanto trabalho a máquina de Carnot realiza nesse processo?
Questão 2
Uma máquina de Carnot Trabalha entre dois reservatórios de calor como um refrigerador. Durante cada ciclo, 100 J de calor são absorvidos do reservatório frio e 150 J de calor são liberados para o reservatório quente. (a) Qual é o rendimento da máquina de Carnot, quando ela trabalha como uma máquina térmica entre os mesmos dois reservatórios? (b) Mostre que nenhuma outra máquina, trabalhando como um refrigerador entre os mesmos dois reservatórios, pode ter um CD maior que 2,00.
Questão 3
A figura mostra uma máquina de Carnot que trabalha entre as temperaturas T1 = 400 K e T2 = 150 K e alimenta uma refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T3 = 325 K e T4 = 225 K. Qual a razão Q3/Q1?
Fonte: Halliday
Questão 4
(a) Uma máquina de Carnot opera entre uma fonte quente a 320 K e uma fonte fria a 260 K. Se a máquina absorve 500 J da fonte quente por ciclo na forma de calor, qual é o trabalho realizado por ciclo? (b) Se a máquina opera como um refrigerador entre as mesmas fontes, que trabalho por ciclo deve ser fornecido para remover 1000 J da fonte fria na forma de calor?
IFC 2 - Aula 22
By Ronai Lisboa
IFC 2 - Aula 22
UNIDADE 3 : Termodinâmica. Ciclo de Carnot. Eficiência de uma máquina de Carnot. Ciclos Otto e Diesel.
