Exercice 1:
Matrices de Transformation Homogène
Introduction à la Robotique
TD 1 - Modélisation Mécanique
P
1. Écrire les transformations homogènes ( i = 1, ..., 5 ).
2. Exprimer d'après la figure, la transformation . Vérifier qu'elle est bien l'inverse de
3. Exprimer les coordonnées du point P dans R0 et R1.
Vérifier que
4. Exprimer la transformation
Vérier la propriété de composition des transformations:
^0H_1
^1H_0
^1H_5
^0H_5 = ^0H_1 \times ^1H_5
^0P =\; ^0H_1 \times\; ^1P
^0H_i
P
Ex1.1
1. Écrire les transformations homogènes ( i = 1, ..., 5 ).
^0H_i
Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R0 et R1 exprimé dans R0
\vec{x_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}
\begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}
\vec{y_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\ \end{pmatrix}
\vec{z_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0\\ \end{pmatrix}
^0R_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}
\vec{^0T_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ c+e \\ a-d\\ \end{pmatrix}
\begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}
^0H_1 =
\left(
\begin{array}{ccc}
| & ^0R_1 & | & \vec{^0T_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
Ex1.1
^0H_1 =
\left(
\begin{array}{ccc}
| & ^0R_1 & | & \vec{^0T_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R0 et R1 exprimé dans R0
^0H_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\vec{^0T_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ c+e \\ a-d\\ \end{pmatrix}
Ex1.1
^0R_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}
^0H_2 =
\left(
\begin{array}{ccc}
| & ^0R_2 & | & \vec{^0T_2} \\ 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}
\right)
Avec R matrice de rotation 3x3 0->1 et T vecteur entre R0 et R1 exprimé dans R0
^0H_2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & -b\\ -1 & 0 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
^0R_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\vec{^0T_2} = \begin{pmatrix} -b \\ c+e \\ 0\\ \end{pmatrix}
Ex1.1
^0H_3 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & -b\\ 0 & 0 & -1 & c \\ -1 & 0 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
Ex1.1
^0H_4 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -b\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-d \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
Ex1.1
^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
Ex1.1
P
Ex1.2
2. Exprimer d'après la figure, la transformation . Vérifier qu'elle est bien l'inverse de
^0H_1
^1H_0
^1H_0 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & a-d\\ 0 & -1 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
^1R_0 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}
\vec{^1T_0} = \begin{pmatrix} 0 \\ a-d\\ c+e \\ \end{pmatrix}
Ex1.2
^0H_1 \; ^1H_0= \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & a-d\\ 0 & -1 & 0 & c+e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -c-e+c+e\\ 0 & 0 & 1 & -a+d+a-d\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
-1 \times -1 + 0 + 0 + 0
-1 \times (c+e) + 1 \times (c+e)
-1 \times (a-d) + 1 \times (a-d)
^0H_1 \; ^1H_0= {I}_4
^0H_1 = {^1H_0}^{-1}
Ex1.2
P
Ex1.3
3. Exprimer les coordonnées du point P dans R0 et R1.
Vérifier que
^0H_1 \times\; ^1P = \; ^0P
^0H_1 \times\; ^1P = \;^0P
P
^0\vec{P} = \begin{pmatrix} -b \\ c \\ a-d\\ \end{pmatrix}
\begin{matrix} \vec{x_0} \\ \vec{y_0} \\ \vec{z_0}\\ \end{matrix}
^1\vec{P} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ e\\ \end{pmatrix}
\begin{matrix} \vec{x_1} \\ \vec{y_1} \\ \vec{z_1}\\ \end{matrix}
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\begin{bmatrix} b \\ 0 \\ e\\ 1 \\ \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -b \\ c \\ a-d\\ 1 \end{bmatrix}
Ex1.3
P
Ex1.4
^0H_5 = ^0H_1 \times ^1H_5
4. Exprimer la transformation
Vérier la propriété de composition des transformations:
^1H_5
^1H_5= \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -d \\ -1 & 0 & 0 & c+e \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
P
^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
Ex1.4
^0H_1 \times ^1H_5= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & c+e\\ 0 & -1 & 0 & a-d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -d \\ -1 & 0 & 0 & c+e \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
^0H_5 = \left( \begin{matrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)
L3 - UE Robotique - TD Méca - Exo 1
By Sinan Haliyo
L3 - UE Robotique - TD Méca - Exo 1
Matrices de transformation Homogène
