Asymptotic City

- The party 2 talk 'bout mathematics -

speaker: Takenokoredarmy @691_7758337633

(make function not value Asymptotic City come alive)

自己紹介

多重ガンマとは ?

多重ガンマとは ?

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1, ,ωr)=n1, ,nr0(n1ω1++nrωr+w)s\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}

多重 Hurwitz ゼータ:

多重ガンマとは ?

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1, ,ωr)=n1, ,nr0(n1ω1++nrωr+w)s\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}

多重 Hurwitz ゼータ:

\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
Γr(w,ω)=exp(sζr(s,w,ω)s=0)\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)

Lerch の公式

多重ガンマとは ?

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1, ,ωr)=n1, ,nr0(n1ω1++nrωr+w)s\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}

多重 Hurwitz ゼータ:

\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
Γr(w,ω)=exp(sζr(s,w,ω)s=0)\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)

Lerch の公式

注: これは ``Barnes の" 多重ガンマ.

ほかにも Vignéras のものなど色々あるがここでは扱わない.

多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?

多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?

・ガンマ関数の性質

周期性

三角関数との関係

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)1Γ(1s)1\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}

多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?

・ガンマ関数の性質

周期性

三角関数との関係

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)1Γ(1s)1\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}

周期性

三角関数との関係

\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
Γr(s+ωi;ω)=Γr(s;ω)Γ(s;ωi)1\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
S_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
Sr(w;ω)=Γr(s;ω)1Γr(ωs;ω)(1)r+1S_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}

多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?

・ガンマ関数の性質

周期性

三角関数との関係

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)1Γ(1s)1\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}

周期性

三角関数との関係

\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
Γr(s+ωi;ω)=Γr(s;ω)Γ(s;ωi)1\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
S_r(s;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
Sr(s;ω)=Γr(s;ω)1Γr(ωs;ω)(1)r+1S_r(s;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}

無限積表示忘れてない ?

無限積表示忘れてない ?

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)1=seγsn1(1+sn)esn\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}

ふつうのガンマ:

無限積表示忘れてない ?

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)1=seγsn1(1+sn)esn\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}

ふつうのガンマ:

多重ガンマ:

\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
Γr(s;ω)1=ρr(ω)seP(s)0n0(1+snω)esnω+12s2(nω)2++(1)r1rsr(nω)r\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}

無限積表示忘れてない ?

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)1=seγsn1(1+sn)esn\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}

ふつうのガンマ:

多重ガンマ:

\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
Γr(s;ω)1=ρr(ω)seP(s)0n0(1+snω)esnω+12s2(nω)2++(1)r1rsr(nω)r\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}

何コレ?

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)\rho_r({\boldsymbol{\omega}})

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)\rho_r({\boldsymbol{\omega}})

ひとことで言うと ``多重ガンマの0での留数"

→ Stirling 保型形式とよばれるもの.

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)\rho_r({\boldsymbol{\omega}})

ひとことで言うと ``多重ガンマの0での留数"

→ Stirling 保型形式とよばれるもの.

r=1
r=1r=1

ではかんたんに求まる:

\displaystyle\rho_1(\omega_1)=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_1}}.
ρ1(ω1)=2πω1.\displaystyle\rho_1(\omega_1)=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_1}}.

じゃあ    は?

r=2
r=2r=2

じゃあ    は?

r=2
r=2r=2

ほぼ何もわからない.

じゃあ    は?

r=2
r=2r=2

ほぼ何もわからない.

かろうじてわかっていること:

\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
ρ2(1,1)=2πeζ(1)\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}

じゃあ    は?

r=2
r=2r=2

ほぼ何もわからない.

かろうじてわかっていること:

\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
ρ2(1,1)=2πeζ(1)\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}

   に対して Stirling 保型形式の情報を得るのは

(かなり) むずかしい問題っぽい.

r>1
r>1r>1

どーすんの ?

どーすんの ?

→そこに新谷卓郎が一石を投じた.

どーすんの ?

→そこに新谷卓郎が一石を投じた.

T. Shintani, ``A proof of the classical Kronecker limit formula", Tokyo J. Math., 3 (1980) 191--199

\underline{\text{Theorem (Shintani, 1980).}}
Theorem (Shintani, 1980).\underline{\text{Theorem (Shintani, 1980).}}
\displaystyle\rho_2(1,\tau)\rho_2(1,-\tau)=(2\pi)^{3/2}\tau^{-1/2}\eta(\tau)e^{\pi i(1/4+1/12\tau)}
ρ2(1,τ)ρ2(1,τ)=(2π)3/2τ1/2η(τ)eπi(1/4+1/12τ)\displaystyle\rho_2(1,\tau)\rho_2(1,-\tau)=(2\pi)^{3/2}\tau^{-1/2}\eta(\tau)e^{\pi i(1/4+1/12\tau)}

新谷先生は何やったの ?

証明に際して, 多重ガンマ関数の

``新谷型無限積表示" を示した.

新谷先生は何やったの ?

証明に際して, 多重ガンマ関数の

``新谷型無限積表示" を示した.

\displaystyle\Gamma_2(w;1,z)\rho_2(1,z)=(2\pi)^{w/2}z^{(w-w^2)/2z-w/2}e^{(w^2-w)\gamma/2z}
Γ2(w;1,z)ρ2(1,z)=(2π)w/2z(ww2)/2zw/2e(w2w)γ/2z\displaystyle\Gamma_2(w;1,z)\rho_2(1,z)=(2\pi)^{w/2}z^{(w-w^2)/2z-w/2}e^{(w^2-w)\gamma/2z}
\displaystyle\times\Gamma(w)\prod_{n\geq{1}} \frac{\Gamma(w+nz)}{\Gamma(1+nz)}e^{(w-w^2)/2nz}(nz)^{1-w}
×Γ(w)n1Γ(w+nz)Γ(1+nz)e(ww2)/2nz(nz)1w\displaystyle\times\Gamma(w)\prod_{n\geq{1}} \frac{\Gamma(w+nz)}{\Gamma(1+nz)}e^{(w-w^2)/2nz}(nz)^{1-w}

こんなもんどうやって示すの ?

こんなもんどうやって示すの ?

  証明の方針:

1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す

2. 漸近展開から無限積表示を導く

こんなもんどうやって示すの ?

  証明の方針:

 

2. 漸近展開から無限積表示を導く

1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す

二重ガンマの漸近展開ってなに ?

要するに ``Stirling の公式" の一般化

二重ガンマの漸近展開ってなに ?

要するに ``Stirling の公式" の一般化

Stirling の公式:

 

\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
n!2πn(ne)n\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\log\Gamma(z)\sim(z-1/2)\log z-z+\log\sqrt{2\pi}
logΓ(z)(z1/2)logzz+log2π\log\Gamma(z)\sim(z-1/2)\log z-z+\log\sqrt{2\pi}

二重ガンマの漸近展開ってなに ?

要するに ``Stirling の公式" の一般化

新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":

二重ガンマの漸近展開ってなに ?

要するに ``Stirling の公式" の一般化

新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":

\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=LG(w)zB1logΓ(w)2πψ(w)B2z2+O(w1)\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})

二重ガンマの漸近展開ってなに ?

要するに ``Stirling の公式" の一般化

新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":

\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=LG(w)zB1logΓ(w)2πψ(w)B2z2+O(w1)\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
LG(w):=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{1-e^{-t}}\frac{\log t}{t^2}\,dt+\frac{\gamma-\pi i}{2}B_2(z)
LG(w):=12πiI(λ,)ewt1etlogtt2 dt+γπi2B2(z)LG(w):=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{1-e^{-t}}\frac{\log t}{t^2}\,dt+\frac{\gamma-\pi i}{2}B_2(z)

ここで

定義はどうでも良くて, 重要なのは

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
LG(z)=log(Γ(z)/2π)-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=LG(w)zB1logΓ(w)2πψ(w)B2z2+O(w1)\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})

定義はどうでも良くて, 重要なのは

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
LG(z)=log(Γ(z)/2π)-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=LG(w)zB1logΓ(w)2πψ(w)B2z2+O(w1)\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})

定義はどうでも良くて, 重要なのは

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
LG(z)=log(Γ(z)/2π)-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=LG(w)zB1logΓ(w)2πψ(w)B2z2+O(w1)\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})

定義はどうでも良くて, 重要なのは

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
LG(z)=log(Γ(z)/2π)-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})

 予想.

 

 log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか?

 予想.

 

 log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか?

 予想.

 

 log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか?

\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0r(1)nrS1(rn+1)(a;ω)(w)rn(rn)!(Hrnlogw)(1)rrS2(a;ω)2w+O(w2)\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
\underline{\text{Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).}}
Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).\underline{\text{Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).}}
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0r(1)nrS1(rn+1)(a;ω)(w)rn(rn)!(Hrnlogw)(1)rrS2(a;ω)2w+O(w2)\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0r(1)nrS1(rn+1)(a;ω)(w)rn(rn)!(Hrnlogw)(1)rrS2(a;ω)2w+O(w2)\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
(1)rtewti=0r1(1eωit)=k=1r(1)krS1(k+1)(w;ω)t1k+n1(1)n1rSn(w;ω)tnn!\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
{}_rS_n
rSn{}_rS_n

 は多重 Bernoulli 多項式(``ベルヌーイ数っぽいやつ"):

\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0r(1)nrS1(rn+1)(a;ω)(w)rn(rn)!(Hrnlogw)(1)rrS2(a;ω)2w+O(w2)\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
(1)rtewti=0r1(1eωit)=k=1r(1)krS1(k+1)(w;ω)t1k+n1(1)n1rSn(w;ω)tnn!\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
{}_rS_n
rSn{}_rS_n

 は多重 Bernoulli 多項式(``ベルヌーイ数っぽいやつ"):

``よくわからん積分で書けるやつ":

\displaystyle\frac{(-w)^n}{n!}(H_n-\log w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} e^{-wt}t^{-n-1}\log t\,dt+(\gamma-\pi i)\frac{(-w)^n}{n!}
(w)nn!(Hnlogw)=12πiI(λ,)ewttn1logt dt+(γπi)(w)nn!\displaystyle\frac{(-w)^n}{n!}(H_n-\log w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} e^{-wt}t^{-n-1}\log t\,dt+(\gamma-\pi i)\frac{(-w)^n}{n!}

問題点 その1

問題点 その1

新谷の表示:

 

 

 

 

片山-大槻の表示:

B_n
BnB_n
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)LG^{(n)}(w)

と        の線形和

と        の線形和

{}_rS_n
rSn{}_rS_n
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
(w)n(Hnlogw)n!\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}

問題点 その1

新谷の表示:

 

 

 

 

片山-大槻の表示:

B_n
BnB_n
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)LG^{(n)}(w)

と        の線形和

と        の線形和

{}_rS_n
rSn{}_rS_n
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
(w)n(Hnlogw)n!\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}

単純      複雑

 

 複雑      単純 

問題点 その1

新谷の表示:

 

 

 

 

片山-大槻の表示:

B_n
BnB_n
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)LG^{(n)}(w)

と        の線形和

と        の線形和

{}_rS_n
rSn{}_rS_n
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
(w)n(Hnlogw)n!\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}

単純      複雑

 

 複雑      単純 

→統一したい!

問題点 その2

問題点 その2

新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には

共通点がある:

問題点 その2

新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には

共通点がある:

``よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.

問題点 その2

新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には

共通点がある:

``よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.

\displaystyle LG(w)=-\frac{w^2}{2}\log w+\frac{3}{4}w^2-B_1(w\log w-w)-\frac{B_2}{2}\log w+O(w^{-1})
LG(w)=w22logw+34w2B1(wlogww)B22logw+O(w1)\displaystyle LG(w)=-\frac{w^2}{2}\log w+\frac{3}{4}w^2-B_1(w\log w-w)-\frac{B_2}{2}\log w+O(w^{-1})
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
(w)n(Hnlogw)n!\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}

については調和数の漸近展開より明らか.

これらを同時に解決する方法が存在する.

たけのこ赤軍の考察

Kinkelin の ``多重" ガンマ関数

\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
GrK(x)=exp(sζ(s,x)s=1rζ(1r))\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)

たけのこ赤軍の考察

Kinkelin の ``多重" ガンマ関数

\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
GrK(x)=exp(sζ(s,x)s=1rζ(1r))\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)

これを ``Barnes 的に" 多重化してみる.

たけのこ赤軍の考察

多重多重ガンマ関数 (?)

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(sζr(s,w;ω)s=k)\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)

たけのこ赤軍の考察

多重多重ガンマ関数 (?)

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(sζr(s,w;ω)s=k)\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)

...の積分表示

\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
logΓr,k(w;ω)=(1)kk!2πiI(λ,)ewti=1r(1eωit)tk1logt dt+(γπiHk)(1)kk!ar,k(w;ω)\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})

たけのこ赤軍の考察

多重多重ガンマ関数 (?)

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(sζr(s,w;ω)s=k)\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)

...の積分表示

\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
logΓr,k(w;ω)=(1)kk!2πiI(λ,)ewti=1r(1eωit)tk1logt dt+(γπiHk)(1)kk!ar,k(w;ω)\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
\frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{n\geq{-r}} a_{r,n}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n.
ewti=1r(1eωit)=nrar,n(w;ω)tn.\frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{n\geq{-r}} a_{r,n}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n.

ここで

(片山-大槻の   と本質的に同じ)

{}_rS_n
rSn{}_rS_n

たけのこ赤軍の考察

ちょっと補正

\displaystyle P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}}):=\frac{(-1)^k}{k!}\log\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})+H_ka_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(k,w;ω):=(1)kk!logΓr,k(w;ω)+Hkar,k(w;ω)\displaystyle P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}}):=\frac{(-1)^k}{k!}\log\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})+H_ka_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})

利点

\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
LG(w)=P1(1,w;1)\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
(w)n(Hnlogw)n!=P0(n,w;)\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)

利点

\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
LG(w)=P1(1,w;1)\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
(w)n(Hnlogw)n!=P0(n,w;)\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)

→``よくわからん積分で書けるやつ" を統一できる.

利点

当然,

P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(0,w;ω)=logΓr(w;ω)P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})

なので...

利点

当然,

P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(0,w;ω)=logΓr(w;ω)P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})

なので...

一般に

P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(k,w;ω)P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}})

の漸近挙動を

示してしまえばいい ?

\displaystyle P_r(k,w+a;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{l=-|B|}^{k+|A|} a_{|B|,l}(w;\omega_B)P_{|A|}(l-k,a;\omega_A)+O\left(\frac{1}{a}\right).
Pr(k,w+a;ω)=l=Bk+AaB,l(w;ωB)PA(lk,a;ωA)+O(1a).\displaystyle P_r(k,w+a;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{l=-|B|}^{k+|A|} a_{|B|,l}(w;\omega_B)P_{|A|}(l-k,a;\omega_A)+O\left(\frac{1}{a}\right).
\underline{\text{Theorem(Takenoko, 2018)}}
Theorem(Takenoko, 2018)\underline{\text{Theorem(Takenoko, 2018)}}

Thank U 4 Ur Attention!

References:

K. Katayama and M. Ohtsuki,

``On The Multiple Gamma-Functions", Tokyo J. of Math. Volume 21, no. 1 (1998), 159--182.

 

T. Shintani,

``A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula", Tokyo J. of Math. Volume 03, no. 2 (1980), 191--199.


T. Shintani,

``On a Kronecker limit formula for real quadratic fields", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. , 24 (1977), 167--199.

Asymptotic City

By they_dont_care_about_us

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