# Asymptotic City

- The party 2 talk 'bout mathematics -

speaker: Takenokoredarmy @691_7758337633

(make function not value Asymptotic City come alive)

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
$\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}$

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
$\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}$

\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
$\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)$

Lerch の公式

\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
$\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}$

\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
$\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)$

Lerch の公式

ほかにも Vignéras のものなど色々あるがここでは扱わない.

・ガンマ関数の性質

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
$\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s$
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
$\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}$

・ガンマ関数の性質

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
$\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s$
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
$\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}$

\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
$\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}$
S_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
$S_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}$

・ガンマ関数の性質

\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
$\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s$
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
$\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}$

\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
$\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}$
S_r(s;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
$S_r(s;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}$

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
$\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}$

ふつうのガンマ:

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
$\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}$

ふつうのガンマ:

\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
$\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}$

\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
$\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}$

ふつうのガンマ:

\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
$\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}$

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
$\rho_r({\boldsymbol{\omega}})$

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
$\rho_r({\boldsymbol{\omega}})$

ひとことで言うと 多重ガンマの0での留数"

→ Stirling 保型形式とよばれるもの.

って何 ?

\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
$\rho_r({\boldsymbol{\omega}})$

ひとことで言うと 多重ガンマの0での留数"

→ Stirling 保型形式とよばれるもの.

r=1
$r=1$

ではかんたんに求まる:

\displaystyle\rho_1(\omega_1)=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_1}}.
$\displaystyle\rho_1(\omega_1)=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_1}}.$

じゃあ　　　　は?

r=2
$r=2$

じゃあ　　　　は?

r=2
$r=2$

ほぼ何もわからない.

じゃあ　　　　は?

r=2
$r=2$

ほぼ何もわからない.

かろうじてわかっていること:

\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
$\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}$

じゃあ　　　　は?

r=2
$r=2$

ほぼ何もわからない.

かろうじてわかっていること:

\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
$\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}$

に対して Stirling 保型形式の情報を得るのは

(かなり) むずかしい問題っぽい.

r>1
$r>1$

どーすんの ?

どーすんの ?

→そこに新谷卓郎が一石を投じた.

どーすんの ?

→そこに新谷卓郎が一石を投じた.

T. Shintani, A proof of the classical Kronecker limit formula", Tokyo J. Math., 3 (1980) 191--199

\underline{\text{Theorem (Shintani, 1980).}}
$\underline{\text{Theorem (Shintani, 1980).}}$
\displaystyle\rho_2(1,\tau)\rho_2(1,-\tau)=(2\pi)^{3/2}\tau^{-1/2}\eta(\tau)e^{\pi i(1/4+1/12\tau)}
$\displaystyle\rho_2(1,\tau)\rho_2(1,-\tau)=(2\pi)^{3/2}\tau^{-1/2}\eta(\tau)e^{\pi i(1/4+1/12\tau)}$

新谷型無限積表示" を示した.

新谷型無限積表示" を示した.

\displaystyle\Gamma_2(w;1,z)\rho_2(1,z)=(2\pi)^{w/2}z^{(w-w^2)/2z-w/2}e^{(w^2-w)\gamma/2z}
$\displaystyle\Gamma_2(w;1,z)\rho_2(1,z)=(2\pi)^{w/2}z^{(w-w^2)/2z-w/2}e^{(w^2-w)\gamma/2z}$
\displaystyle\times\Gamma(w)\prod_{n\geq{1}} \frac{\Gamma(w+nz)}{\Gamma(1+nz)}e^{(w-w^2)/2nz}(nz)^{1-w}
$\displaystyle\times\Gamma(w)\prod_{n\geq{1}} \frac{\Gamma(w+nz)}{\Gamma(1+nz)}e^{(w-w^2)/2nz}(nz)^{1-w}$

こんなもんどうやって示すの ?

こんなもんどうやって示すの ?

証明の方針:

1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す

2. 漸近展開から無限積表示を導く

こんなもんどうやって示すの ?

証明の方針:

2. 漸近展開から無限積表示を導く

1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す

Stirling の公式:

\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
$\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
\log\Gamma(z)\sim(z-1/2)\log z-z+\log\sqrt{2\pi}
$\log\Gamma(z)\sim(z-1/2)\log z-z+\log\sqrt{2\pi}$

\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
$\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})$

\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
$\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})$
LG(w):=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{1-e^{-t}}\frac{\log t}{t^2}\,dt+\frac{\gamma-\pi i}{2}B_2(z)
$LG(w):=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{1-e^{-t}}\frac{\log t}{t^2}\,dt+\frac{\gamma-\pi i}{2}B_2(z)$

ここで

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
$-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})$
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
$\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})$

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
$-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})$
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
$\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})$

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
$-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})$
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
$\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})$

という事実

-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
$-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})$

予想.

log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？

予想.

log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？

予想.

log(r重ガンマ) の漸近展開は

「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？

\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
$\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})$
\underline{\text{Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).}}
$\underline{\text{Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).}}$
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
$\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})$
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
$\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})$
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
$\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}$
{}_rS_n
${}_rS_n$

は多重 Bernoulli 多項式(ベルヌーイ数っぽいやつ"):

\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
$\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})$
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
$\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}$
{}_rS_n
${}_rS_n$

は多重 Bernoulli 多項式(ベルヌーイ数っぽいやつ"):

よくわからん積分で書けるやつ":

\displaystyle\frac{(-w)^n}{n!}(H_n-\log w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} e^{-wt}t^{-n-1}\log t\,dt+(\gamma-\pi i)\frac{(-w)^n}{n!}
$\displaystyle\frac{(-w)^n}{n!}(H_n-\log w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} e^{-wt}t^{-n-1}\log t\,dt+(\gamma-\pi i)\frac{(-w)^n}{n!}$

B_n
$B_n$
LG^{(n)}(w)
$LG^{(n)}(w)$

と　　　　　　　　の線形和

と　　　　　　　　の線形和

{}_rS_n
${}_rS_n$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}$

B_n
$B_n$
LG^{(n)}(w)
$LG^{(n)}(w)$

と　　　　　　　　の線形和

と　　　　　　　　の線形和

{}_rS_n
${}_rS_n$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}$

複雑　　　　　　単純

B_n
$B_n$
LG^{(n)}(w)
$LG^{(n)}(w)$

と　　　　　　　　の線形和

と　　　　　　　　の線形和

{}_rS_n
${}_rS_n$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}$

複雑　　　　　　単純

→統一したい！

よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.

よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.

\displaystyle LG(w)=-\frac{w^2}{2}\log w+\frac{3}{4}w^2-B_1(w\log w-w)-\frac{B_2}{2}\log w+O(w^{-1})
$\displaystyle LG(w)=-\frac{w^2}{2}\log w+\frac{3}{4}w^2-B_1(w\log w-w)-\frac{B_2}{2}\log w+O(w^{-1})$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}$

については調和数の漸近展開より明らか.

これらを同時に解決する方法が存在する.

たけのこ赤軍の考察

Kinkelin の 多重" ガンマ関数

\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
$\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)$

たけのこ赤軍の考察

Kinkelin の 多重" ガンマ関数

\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
$\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)$

これを Barnes 的に" 多重化してみる.

たけのこ赤軍の考察

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
$\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)$

たけのこ赤軍の考察

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
$\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)$

...の積分表示

\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
$\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})$

たけのこ赤軍の考察

\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
$\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)$

...の積分表示

\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
$\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})$
\frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{n\geq{-r}} a_{r,n}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n.
$\frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{n\geq{-r}} a_{r,n}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n.$

ここで

(片山-大槻の　　　と本質的に同じ)

{}_rS_n
${}_rS_n$

たけのこ赤軍の考察

ちょっと補正

\displaystyle P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}}):=\frac{(-1)^k}{k!}\log\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})+H_ka_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
$\displaystyle P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}}):=\frac{(-1)^k}{k!}\log\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})+H_ka_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})$

\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
$\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)$

\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
$\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)$
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
$\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)$

→よくわからん積分で書けるやつ" を統一できる.

P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
$P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})$

なので...

P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
$P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})$

なので...

P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}})
$P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}})$

の漸近挙動を

\displaystyle P_r(k,w+a;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{l=-|B|}^{k+|A|} a_{|B|,l}(w;\omega_B)P_{|A|}(l-k,a;\omega_A)+O\left(\frac{1}{a}\right).
$\displaystyle P_r(k,w+a;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{l=-|B|}^{k+|A|} a_{|B|,l}(w;\omega_B)P_{|A|}(l-k,a;\omega_A)+O\left(\frac{1}{a}\right).$
\underline{\text{Theorem(Takenoko, 2018)}}
$\underline{\text{Theorem(Takenoko, 2018)}}$

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References:

K. Katayama and M. Ohtsuki,

On The Multiple Gamma-Functions", Tokyo J. of Math. Volume 21, no. 1 (1998), 159--182.

T. Shintani,

A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula", Tokyo J. of Math. Volume 03, no. 2 (1980), 191--199.

T. Shintani,

On a Kronecker limit formula for real quadratic fields", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. , 24 (1977), 167--199.