Asymptotic City
- The party 2 talk 'bout mathematics -
speaker: Takenokoredarmy @691_7758337633
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自己紹介
多重ガンマとは ?
多重ガンマとは ?
\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1,⋯,ωr)=n1,⋯,nr≥0∑(n1ω1+⋯+nrωr+w)−s
多重 Hurwitz ゼータ:
多重ガンマとは ?
\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1,⋯,ωr)=n1,⋯,nr≥0∑(n1ω1+⋯+nrωr+w)−s
多重 Hurwitz ゼータ:
\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
Γr(w,ω)=exp(∂s∂ζr(s,w,ω)s=0)
Lerch の公式
多重ガンマとは ?
\displaystyle\zeta_r(s,w,\omega_1,\cdots,\omega_r)=\sum_{n_1,\cdots,n_r\geq{0}} (n_1\omega_1+\cdots+n_r\omega_r+w)^{-s}
ζr(s,w,ω1,⋯,ωr)=n1,⋯,nr≥0∑(n1ω1+⋯+nrωr+w)−s
多重 Hurwitz ゼータ:
\displaystyle\Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left.\left(\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w,{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=0}\right)
Γr(w,ω)=exp(∂s∂ζr(s,w,ω)s=0)
Lerch の公式
注: これは ``Barnes の" 多重ガンマ.
ほかにも Vignéras のものなど色々あるがここでは扱わない.
多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?
多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?
・ガンマ関数の性質
周期性
三角関数との関係
\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)−1Γ(1−s)−1
多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?
・ガンマ関数の性質
周期性
三角関数との関係
\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)−1Γ(1−s)−1
周期性
三角関数との関係
\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
Γr(s+ωi;ω)=Γr(s;ω)Γ(s;ω⟨i⟩)−1
S_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
Sr(w;ω)=Γr(s;ω)−1Γr(∣ω∣−s;ω)(−1)r+1
多重ガンマっていうけどほんとにガンマ ?
・ガンマ関数の性質
周期性
三角関数との関係
\Gamma(s+1)=\Gamma(s)s
Γ(s+1)=Γ(s)s
\sin\pi s=s\Gamma(s)^{-1}\Gamma(1-s)^{-1}
sinπs=sΓ(s)−1Γ(1−s)−1
周期性
三角関数との関係
\Gamma_r(s+\omega_i;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})\Gamma(s;{\boldsymbol{\omega}}\langle{i}\rangle)^{-1}
Γr(s+ωi;ω)=Γr(s;ω)Γ(s;ω⟨i⟩)−1
S_r(s;{\boldsymbol{\omega}})=\Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}\Gamma_r(|{\boldsymbol{\omega}}|-s;{\boldsymbol{\omega}})^{(-1)^{r+1}}
Sr(s;ω)=Γr(s;ω)−1Γr(∣ω∣−s;ω)(−1)r+1
無限積表示忘れてない ?
無限積表示忘れてない ?
\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)−1=seγsn≥1∏(1+ns)e−ns
ふつうのガンマ:
無限積表示忘れてない ?
\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)−1=seγsn≥1∏(1+ns)e−ns
ふつうのガンマ:
多重ガンマ:
\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
Γr(s;ω)−1=ρr(ω)seP(s)0=n≥0∏(1+n⋅ωs)e−n⋅ωs+21(n⋅ω)2s2+⋯+(−1)rr1(n⋅ω)rsr
無限積表示忘れてない ?
\displaystyle\Gamma(s)^{-1}=se^{\gamma s}\prod_{n\geq{1}}\left(1+\frac{s}{n}\right)e^{-\frac{s}{n}}
Γ(s)−1=seγsn≥1∏(1+ns)e−ns
ふつうのガンマ:
多重ガンマ:
\displaystyle \Gamma_r(s;{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\rho_r({\boldsymbol{\omega}})se^{P(s)}\prod_{{\bf 0}\neq{\bf n}\geq{\bf 0}} \left(1+\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}\right)e^{-\frac{s}{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}}+\frac{1}{2}\frac{s^2}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^2}+\cdots+(-1)^r\frac{1}{r}\frac{s^r}{({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}})^r}}
Γr(s;ω)−1=ρr(ω)seP(s)0=n≥0∏(1+n⋅ωs)e−n⋅ωs+21(n⋅ω)2s2+⋯+(−1)rr1(n⋅ω)rsr
何コレ？
って何 ?
\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)
って何 ?
\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)
ひとことで言うと ``多重ガンマの0での留数"
→ Stirling 保型形式とよばれるもの.
って何 ?
\rho_r({\boldsymbol{\omega}})
ρr(ω)
ひとことで言うと ``多重ガンマの0での留数"
→ Stirling 保型形式とよばれるもの.
r=1
r=1
ではかんたんに求まる:
\displaystyle\rho_1(\omega_1)=\sqrt{\frac{2\pi}{\omega_1}}.
ρ1(ω1)=ω12π.
じゃあ は?
r=2
r=2
じゃあ は?
r=2
r=2
ほぼ何もわからない.
じゃあ は?
r=2
r=2
ほぼ何もわからない.
かろうじてわかっていること:
\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
ρ2(1,1)=2πe−ζ′(−1)
じゃあ は?
r=2
r=2
ほぼ何もわからない.
かろうじてわかっていること:
\rho_2(1,1)=\sqrt{2\pi}e^{-\zeta'(-1)}
ρ2(1,1)=2πe−ζ′(−1)
に対して Stirling 保型形式の情報を得るのは
(かなり) むずかしい問題っぽい.
r>1
r>1
どーすんの ?
どーすんの ?
→そこに新谷卓郎が一石を投じた.
どーすんの ?
→そこに新谷卓郎が一石を投じた.
T. Shintani, ``A proof of the classical Kronecker limit formula", Tokyo J. Math., 3 (1980) 191--199
\underline{\text{Theorem (Shintani, 1980).}}
Theorem (Shintani, 1980).
\displaystyle\rho_2(1,\tau)\rho_2(1,-\tau)=(2\pi)^{3/2}\tau^{-1/2}\eta(\tau)e^{\pi i(1/4+1/12\tau)}
ρ2(1,τ)ρ2(1,−τ)=(2π)3/2τ−1/2η(τ)eπi(1/4+1/12τ)
新谷先生は何やったの ?
証明に際して, 多重ガンマ関数の
``新谷型無限積表示" を示した.
新谷先生は何やったの ?
証明に際して, 多重ガンマ関数の
``新谷型無限積表示" を示した.
\displaystyle\Gamma_2(w;1,z)\rho_2(1,z)=(2\pi)^{w/2}z^{(w-w^2)/2z-w/2}e^{(w^2-w)\gamma/2z}
Γ2(w;1,z)ρ2(1,z)=(2π)w/2z(w−w2)/2z−w/2e(w2−w)γ/2z
\displaystyle\times\Gamma(w)\prod_{n\geq{1}} \frac{\Gamma(w+nz)}{\Gamma(1+nz)}e^{(w-w^2)/2nz}(nz)^{1-w}
×Γ(w)n≥1∏Γ(1+nz)Γ(w+nz)e(w−w2)/2nz(nz)1−w
こんなもんどうやって示すの ?
こんなもんどうやって示すの ?
証明の方針:
1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す
2. 漸近展開から無限積表示を導く
こんなもんどうやって示すの ?
証明の方針:
2. 漸近展開から無限積表示を導く
1. 二重ガンマ Γ_2 の漸近展開を示す
二重ガンマの漸近展開ってなに ?
要するに ``Stirling の公式" の一般化
二重ガンマの漸近展開ってなに ?
要するに ``Stirling の公式" の一般化
Stirling の公式:
→
\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
n!∼2πn(en)n
\log\Gamma(z)\sim(z-1/2)\log z-z+\log\sqrt{2\pi}
logΓ(z)∼(z−1/2)logz−z+log2π
二重ガンマの漸近展開ってなに ?
要するに ``Stirling の公式" の一般化
新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":
二重ガンマの漸近展開ってなに ?
要するに ``Stirling の公式" の一般化
新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=zLG(w)−B1log2πΓ(w)−ψ(w)B22z+O(w−1)
二重ガンマの漸近展開ってなに ?
要するに ``Stirling の公式" の一般化
新谷による ``Γ_2 での Stirling の公式":
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=zLG(w)−B1log2πΓ(w)−ψ(w)B22z+O(w−1)
LG(w):=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{1-e^{-t}}\frac{\log t}{t^2}\,dt+\frac{\gamma-\pi i}{2}B_2(z)
LG(w):=2πi1∫I(λ,∞)1−e−te−wtt2logtdt+2γ−πiB2(z)
ここで
定義はどうでも良くて, 重要なのは
という事実
-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
−LG′(z)=log(Γ(z)/2π)
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=zLG(w)−B1log2πΓ(w)−ψ(w)B22z+O(w−1)
定義はどうでも良くて, 重要なのは
という事実
-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
−LG′(z)=log(Γ(z)/2π)
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=zLG(w)−B1log2πΓ(w)−ψ(w)B22z+O(w−1)
定義はどうでも良くて, 重要なのは
という事実
-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
−LG′(z)=log(Γ(z)/2π)
\displaystyle\log\Gamma_2(w;1,z)=\frac{LG(w)}{z}-B_1\log\frac{\Gamma(w)}{\sqrt{2\pi}}-\psi(w)B_2\frac{z}{2}+O(w^{-1})
logΓ2(w;1,z)=zLG(w)−B1log2πΓ(w)−ψ(w)B22z+O(w−1)
定義はどうでも良くて, 重要なのは
という事実
-LG'(z)=\log(\Gamma(z)/\sqrt{2\pi})
−LG′(z)=log(Γ(z)/2π)
予想.
log(r重ガンマ) の漸近展開は
「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？
予想.
log(r重ガンマ) の漸近展開は
「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？
予想.
log(r重ガンマ) の漸近展開は
「よくわからん積分で書けるやつ × ベルヌーイ数っぽいやつ」を係数に持つ, 周期(ω_1,...,ω_r)の多項式で書けるのではないか？
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0∑r(r−n)!(−1)nrS1(r−n+1)(a;ω)(−w)r−n(Hr−n−logw)−2w(−1)rrS2(a;ω)+O(w−2)
\underline{\text{Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).}}
Theorem(Katayama-Ohtsuki, 1998).
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0∑r(r−n)!(−1)nrS1(r−n+1)(a;ω)(−w)r−n(Hr−n−logw)−2w(−1)rrS2(a;ω)+O(w−2)
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0∑r(r−n)!(−1)nrS1(r−n+1)(a;ω)(−w)r−n(Hr−n−logw)−2w(−1)rrS2(a;ω)+O(w−2)
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
∏i=0r−1(1−e−ωit)(−1)rtewt=k=1∑r(−1)krS1(k+1)(w;ω)t1−k+n≥1∑n!(−1)n−1rSn′(w;ω)tn
{}_rS_n
rSn
は多重 Bernoulli 多項式(``ベルヌーイ数っぽいやつ"):
\displaystyle\log\Gamma_r(w+a,{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{n=0}^r \frac{(-1)^n{}_rS_1^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol{\omega}})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}(H_{r-n}-\log w)\\-\frac{(-1)^r{}_rS_2(a;{\boldsymbol{\omega}})}{2w}+O(w^{-2})
logΓr(w+a,ω)=n=0∑r(r−n)!(−1)nrS1(r−n+1)(a;ω)(−w)r−n(Hr−n−logw)−2w(−1)rrS2(a;ω)+O(w−2)
\displaystyle\frac{(-1)^rte^{wt}}{\prod_{i=0}^{r-1} (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{k=1}^r (-1)^k{}_rS_1^{(k+1)}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^{1-k}+\sum_{n\geq{1}} \frac{(-1)^{n-1}{}_rS'_n(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n}{n!}
∏i=0r−1(1−e−ωit)(−1)rtewt=k=1∑r(−1)krS1(k+1)(w;ω)t1−k+n≥1∑n!(−1)n−1rSn′(w;ω)tn
{}_rS_n
rSn
は多重 Bernoulli 多項式(``ベルヌーイ数っぽいやつ"):
``よくわからん積分で書けるやつ":
\displaystyle\frac{(-w)^n}{n!}(H_n-\log w)=\frac{1}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} e^{-wt}t^{-n-1}\log t\,dt+(\gamma-\pi i)\frac{(-w)^n}{n!}
n!(−w)n(Hn−logw)=2πi1∫I(λ,∞)e−wtt−n−1logtdt+(γ−πi)n!(−w)n
問題点 その1
問題点 その1
新谷の表示:
片山-大槻の表示:
B_n
Bn
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)
と の線形和
と の線形和
{}_rS_n
rSn
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
n!(−w)n(Hn−logw)
問題点 その1
新谷の表示:
片山-大槻の表示:
B_n
Bn
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)
と の線形和
と の線形和
{}_rS_n
rSn
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
n!(−w)n(Hn−logw)
単純 複雑
複雑 単純
問題点 その1
新谷の表示:
片山-大槻の表示:
B_n
Bn
LG^{(n)}(w)
LG(n)(w)
と の線形和
と の線形和
{}_rS_n
rSn
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
n!(−w)n(Hn−logw)
単純 複雑
複雑 単純
→統一したい！
問題点 その2
問題点 その2
新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には
共通点がある:
問題点 その2
新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には
共通点がある:
``よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.
問題点 その2
新谷と片山-大槻のそれぞれの表示には
共通点がある:
``よくわからん積分で書けるやつ" の漸近展開を別途示す必要がある.
\displaystyle LG(w)=-\frac{w^2}{2}\log w+\frac{3}{4}w^2-B_1(w\log w-w)-\frac{B_2}{2}\log w+O(w^{-1})
LG(w)=−2w2logw+43w2−B1(wlogw−w)−2B2logw+O(w−1)
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}
n!(−w)n(Hn−logw)
については調和数の漸近展開より明らか.
これらを同時に解決する方法が存在する.
たけのこ赤軍の考察
Kinkelin の ``多重" ガンマ関数
\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
GrK(x)=exp(∂s∂ζ(s,x)s=1−r−ζ′(1−r))
たけのこ赤軍の考察
Kinkelin の ``多重" ガンマ関数
\displaystyle G_r^K(x)=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\right|_{s=1-r}-\zeta'(1-r)\right)
GrK(x)=exp(∂s∂ζ(s,x)s=1−r−ζ′(1−r))
これを ``Barnes 的に" 多重化してみる.
たけのこ赤軍の考察
多重多重ガンマ関数 (?)
\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(∂s∂ζr(s,w;ω)s=−k)
たけのこ赤軍の考察
多重多重ガンマ関数 (?)
\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(∂s∂ζr(s,w;ω)s=−k)
...の積分表示
\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
logΓr,k(w;ω)=2πi(−1)kk!∫I(λ,∞)∏i=1r(1−e−ωit)e−wtt−k−1logtdt+(γ−πi−Hk)(−1)kk!ar,k(w;ω)
たけのこ赤軍の考察
多重多重ガンマ関数 (?)
\displaystyle \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)
Γr,k(w;ω)=exp(∂s∂ζr(s,w;ω)s=−k)
...の積分表示
\displaystyle\log \Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{(-1)^kk!}{2\pi i}\int_{I(\lambda,\infty)} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}t^{-k-1}\log t\,dt\\+(\gamma-\pi i-H_k)(-1)^kk!a_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
logΓr,k(w;ω)=2πi(−1)kk!∫I(λ,∞)∏i=1r(1−e−ωit)e−wtt−k−1logtdt+(γ−πi−Hk)(−1)kk!ar,k(w;ω)
\frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r (1-e^{-\omega_it})}=\sum_{n\geq{-r}} a_{r,n}(w;{\boldsymbol{\omega}})t^n.
∏i=1r(1−e−ωit)e−wt=∑n≥−rar,n(w;ω)tn.
ここで
(片山-大槻の と本質的に同じ)
{}_rS_n
rSn
たけのこ赤軍の考察
ちょっと補正
\displaystyle P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}}):=\frac{(-1)^k}{k!}\log\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})+H_ka_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(k,w;ω):=k!(−1)klogΓr,k(w;ω)+Hkar,k(w;ω)
利点
\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
LG(w)=P1(1,w;1)
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
n!(−w)n(Hn−logw)=P0(n,w;−)
利点
\displaystyle LG(w)=P_1(1,w;1)
LG(w)=P1(1,w;1)
\frac{(-w)^n(H_n-\log w)}{n!}=P_0(n,w;-)
n!(−w)n(Hn−logw)=P0(n,w;−)
→``よくわからん積分で書けるやつ" を統一できる.
利点
当然,
P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(0,w;ω)=logΓr(w;ω)
なので...
利点
当然,
P_r(0,w;{\boldsymbol{\omega}})=\log\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(0,w;ω)=logΓr(w;ω)
なので...
一般に
P_r(k,w;{\boldsymbol{\omega}})
Pr(k,w;ω)
の漸近挙動を
示してしまえばいい ?
\displaystyle P_r(k,w+a;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{l=-|B|}^{k+|A|} a_{|B|,l}(w;\omega_B)P_{|A|}(l-k,a;\omega_A)+O\left(\frac{1}{a}\right).
Pr(k,w+a;ω)=l=−∣B∣∑k+∣A∣a∣B∣,l(w;ωB)P∣A∣(l−k,a;ωA)+O(a1).
\underline{\text{Theorem(Takenoko, 2018)}}
Theorem(Takenoko, 2018)
Thank U 4 Ur Attention!
References:
K. Katayama and M. Ohtsuki,
``On The Multiple Gamma-Functions", Tokyo J. of Math. Volume 21, no. 1 (1998), 159--182.
T. Shintani,
``A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula", Tokyo J. of Math. Volume 03, no. 2 (1980), 191--199.
T. Shintani,
``On a Kronecker limit formula for real quadratic fields", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. , 24 (1977), 167--199.
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