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東京工業大学名誉教授・黒川信重先生曰く・・・
東京工業大学名誉教授・黒川信重先生曰く・・・
「21 世紀に入って、黒川テンソル積が
見直されてきた」
''黒川テンソル積" とは ?
→ゼータ函数を ''多重化" する一種の手法
''黒川テンソル積" とは ?
定義.
Z_i(s)=\prod_{\rho_i} (s-\rho_i)^{m_i}
Zi(s)=∏ρi(s−ρi)mi
r 個のゼータ函数が正規積を用いて
と書けるとき, 黒川テンソル積を
\displaystyle\{Z_1\otimes\cdots\otimes{Z_r}\}(s)=\prod_{(\rho_1,\cdots,\rho_r)} (s-(\rho_1+\cdots+\rho_r))^{m(\rho_1,\cdots,\rho_r)}
{Z1⊗⋯⊗Zr}(s)=(ρ1,⋯,ρr)∏(s−(ρ1+⋯+ρr))m(ρ1,⋯,ρr)
で定める. ただし
m(\rho_1,\cdots,\rho_r)=\begin{cases}
1 & (\mathrm{Im}(\rho_i)\geq{0}) \\
(-1)^{r-1} & (\mathrm{Im}(\rho_i)<{0}) \\
0 & (otherwise)
\end{cases}
m(ρ1,⋯,ρr)=⎩⎨⎧1(−1)r−10(Im(ρi)≥0)(Im(ρi)<0)(otherwise)
''黒川テンソル積" とは ?
(有用な)具体例.
・可換環 R の Hasse ゼータ函数:
\displaystyle\zeta(s,R)=\prod_{m:maximal} (1-|R/m|^{-s})^{-1}
ζ(s,R)=m:maximal∏(1−∣R/m∣−s)−1
''黒川テンソル積" とは ?
(有用な)具体例.
の場合:
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}
ζ(s,Fp)=(1−p−s)−1
R=\mathbb{F}_p
R=Fp
''黒川テンソル積" とは ?
黒川テンソル積
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q):=\zeta(s,\mathbb{F}_p)\otimes\zeta(s,\mathbb{F}_q)
ζ(s,Fp⊗Fq):=ζ(s,Fp)⊗ζ(s,Fq)
を考える.
''黒川テンソル積" とは ?
ところで・・・
は三角関数っぽい ?
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p)=(1-p^{-s})^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\cot\frac{is\log p}{2}
ζ(s,Fp)=(1−p−s)−1=21+2icot2islogp
''黒川テンソル積" とは ?
実際のところ:
が成立.
(ただし右辺は二重三角関数)
2\sin\frac{is}{\omega_1}\otimes 2\sin\frac{is}{\omega_2}\simeq{S}_2(is,(\omega_1,\omega_2))
2sinω1is⊗2sinω2is≃S2(is,(ω1,ω2))
''黒川テンソル積" とは ?
→有限体の Hasse zeta の黒川テンソル積は
二重三角関数に似ている ?
''黒川テンソル積" とは ?
零点と極を比較することで簡単に
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq{S}_2\left(is,\left(\frac{2\pi}{\log p},\frac{2\pi}{\log q}\right)\right)
ζ(s,Fp⊗Fq)≃S2(is,(logp2π,logq2π))
が得られる.
''黒川テンソル積" とは ?
おもいだし: 無限積表示
\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)
sinπs=πsn=1∏∞(1−n2s2)
''黒川テンソル積" とは ?
おもいだし: 無限積表示
\displaystyle\sin\pi s=\pi s\prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{s^2}{n^2}\right)
sinπs=πsn=1∏∞(1−n2s2)
→sin にあるんやから二重三角関数にもあるやろ
''黒川テンソル積" とは ?
\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
S2(z,(ω1,ω2))=((1−e2πiω1z)(1−e2πiω2z))21
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
⋅exp(2ω1ω2πiz2−2πi(ω11+ω21)+12πi(3+ω2ω1+ω1ω2)
\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)
+2i1(k≥1∑kcotπkω1ω2e2πikω1z+n≥1∑ncotπnω2ω1e2πinω2z))
''黒川テンソル積" とは ?
\displaystyle S_2(z,(\omega_1,\omega_2))=\left((1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_1}})(1-e^{2\pi i\frac{z}{\omega_2}})\right)^{\frac{1}{2}}
S2(z,(ω1,ω2))=((1−e2πiω1z)(1−e2πiω2z))21
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{\pi iz^2}{2\omega_1\omega_2}-\frac{\pi i}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right)+\frac{\pi i}{12}\left(3+\frac{\omega_1}{\omega_2}+\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)\right.
⋅exp(2ω1ω2πiz2−2πi(ω11+ω21)+12πi(3+ω2ω1+ω1ω2)
\displaystyle\left.+\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\omega_2}{\omega_1}}{k}e^{2\pi ik\frac{z}{\omega_1}}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\omega_1}{\omega_2}}{n}e^{2\pi in\frac{z}{\omega_2}}\right)\right)
+2i1(k≥1∑kcotπkω1ω2e2πikω1z+n≥1∑ncotπnω2ω1e2πinω2z))
→長い(うざい).
''黒川テンソル積" とは ?
\displaystyle \sum_{k,n\geq{1}} H\left(2\pi\left(\frac{k}{a}+\frac{n}{b}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(\sum_{k\geq{1}} H\left(2\pi\frac{k}{a}\right)+\sum_{n\geq{1}} H\left(2\pi\frac{n}{b}\right)\right)
k,n≥1∑H(2π(ak+bn))+21(k≥1∑H(2πak)+n≥1∑H(2πbn))
\displaystyle =-\frac{ia}{4\pi}\sum_{k\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{ka}{b}\right)\hat{H}(ka)-\frac{ib}{4\pi}\sum_{n\geq{1}}\cot\left(\pi\frac{nb}{a}\right)\hat{H}(nb)-\frac{iab}{8\pi^2}\hat{H}'(0)
=−4πiak≥1∑cot(πbka)H^(ka)−4πibn≥1∑cot(πanb)H^(nb)−8π2iabH^′(0)
これの証明に使うもの:
''Signed Double Poisson Summation Formula"
→明示公式 (ゼータの零点の和を出すための公式, Selberg trace formula とも関係) を使って示せる
''黒川テンソル積" とは ?
Signed Double Poisson Summation Formula と
Gel'fond-Schneider の定理
より, S_2 の (長くてうざい) 表示がわかる.
''黒川テンソル積" とは ?
Signed Double Poisson Summation Formula と
Gel'fond-Schneider の定理
より, S_2 の (長くてうざい) 表示がわかる.
(なぜか) ここで超越数論が関係.
''黒川テンソル積" とは ?
さて, S_2 の表示が出たのなら
有限体の Hasse zeta の黒川テンソル積にも
使えるんじゃないか ?
''黒川テンソル積" とは ?
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
⋅exp(2i1(k≥1∑kcotπklogqlogpp−ks+n≥1∑ncotπnlogplogqq−ns))
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}
ζ(s,Fp⊗Fq)≃(1−p−s)21(1−q−s)21
''黒川テンソル積" とは ?
\displaystyle\cdot\exp\left(\frac{1}{2i}\left(\sum_{k\geq{1}} \frac{\cot\pi k\frac{\log p}{\log q}}{k}p^{-ks}+\sum_{n\geq{1}} \frac{\cot\pi n\frac{\log q}{\log p}}{n}q^{-ns}\right)\right)
⋅exp(2i1(k≥1∑kcotπklogqlogpp−ks+n≥1∑ncotπnlogplogqq−ns))
\displaystyle\zeta(s,\mathbb{F}_p\otimes\mathbb{F}_q)\simeq(1-p^{-s})^{\frac{1}{2}}(1-q^{-s})^{\frac{1}{2}}
ζ(s,Fp⊗Fq)≃(1−p−s)21(1−q−s)21
なんぞこれ ?
''黒川テンソル積" とは ?
ここからわかること :
・絶対収束性
・函数等式
・Euler 積表示
・解析接続
''黒川テンソル積" とは ?
ここからわかること :
・絶対収束性
・函数等式
・Euler 積表示
・解析接続
→これらはすべて, もともとの
でも成立 !
\zeta(s,\mathbb{F}_p)
ζ(s,Fp)
''黒川テンソル積" とは ?
要するに :
「黒川テンソル積は, 函数等式や Euler 積など
''ゼータにとって重要なもの" を保存する」
''黒川テンソル積" とは ?
結論.
21 世紀こそ
''黒川テンソル積の時代" になるかもしれない.
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Sine 'O' The Times
By they_dont_care_about_us
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