\(a\neq 0\) ja \(n\) pos. kok. luku

\(a^0=1\)

\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

Potenssin määritelmä saatiin laajennettua negatiivisille luvuilla, kun tulkittiin miinuksen eksponentissa tarkoittavan käänteisluvun ottamista.

\(=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n\)

Halutaan, että potenssin potenssin kaava \((a^m)^n = a^{mn}\) on yhä voimassa

Tällöin \((16^\frac{1}{2})^2=16^{\frac{1}{2}\cdot 2}=16^1=16\)

Toisaalta myös \((\sqrt{16})^2=16\)

Siis luonnollinen tulkinta puolikkaalle potenssille on, että sillä tarkoitetaan neliöjuurta

Samalla tavalla kolmasosaan korottamiselle järkevä tulkinta olisi kuutiojuurin ottaminen, neljäsosaan korottamiselle neljännen juuren ottaminen jne.

Tästä voidaan johtaa myös määritelmä potenssiin \(\dfrac{m}{n}\) korottamiselle, koska potenssin potenssin kaavan perusteella

\((a^\frac{1}{n})^m=a^{\frac{1}{n}\cdot m}=a^{\frac{m}{n}}\)

ja toisaalta

\((a^m)^\frac{1}{n}=a^{m\cdot\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}}\)

Siis:

\(a^\frac{m}{n}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

Huom., jotta määritelmät olisivat yksinkertaisia, vaaditaan, että \(a>0\) ja \(n\in\mathbb{Z_+}\)

\(8^\frac{4}{3}=(\sqrt[3]{8})^4=2^4=16\)

Sievennä \(\dfrac{\sqrt{4a}}{\sqrt[3]{27a}}\)

\(\dfrac{\sqrt{4a}}{\sqrt[3]{27a}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{4}\sqrt{a}}{\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{a}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{a}}{3\sqrt[3]{a}}\)

\(=\dfrac{2a^{\frac{1}{2}}}{3a^{\frac{1}{3}}}\)

\(=\dfrac{2}{3}a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\)

\(=\dfrac{2}{3}a^{\frac{3}{6}-\frac{2}{6}}\)

\(=\dfrac{2}{3}a^{\frac{1}{6}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt[6]{a}}{3}\)

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

Muuta juurimerkinnäksi \(2^\frac{4}{6}\)

\(2^\frac{4}{6}=2^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}\)

\(\dfrac{16^\frac{1}{3}\cdot 4^\frac{3}{5}}{2^\frac{38}{15}}\)

\(=\dfrac{(2^4)^\frac{1}{3}\cdot (2^2)^\frac{3}{5}}{2^\frac{38}{15}}\)

\(=\dfrac{2^{4\cdot\frac{1}{3}}\cdot 2^{2\cdot\frac{3}{5}}}{2^\frac{38}{15}}\)

\(=\dfrac{2^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{\frac{6}{5}}}{2^\frac{38}{15}}\)

\(=2^{\frac{4}{3}+\frac{6}{5}-\frac{38}{15}}\)

\(=2^{\frac{20}{15}+\frac{18}{15}-\frac{38}{15}}\)

\(=2^{0}=1\)

Koska \(2<\pi<4\), niin ainakin \(2^2<2^\pi<2^4\) eli \(4<2^\pi<16\)

Murtopotenssien avulla arviota voidaan tarkentaa! Tiedetään, että \(3{,}14<\pi<3{,}15\) eli \(\dfrac{314}{100}<\pi<\dfrac{315}{100}\), joten
\(2^\frac{314}{100}<2^\pi<2^\frac{315}{100}\) eli
\(8{,}815\ldots < 2^\pi < 8{,}876\ldots\)

Ottamalla \(\pi\):n desimaaleja lisää, päästään kuinka lähelle tahansa lukua \(2^\pi\).
\(2^\pi\) on se luku, jota nämä arviot lähestyvät.
\(2^\pi=8{,}8249778270762876238\ldots\)

Eksponentiksi voidaan siis kelpuuttaa myös irrationaaliluvut ja täten kaikki reaaliluvut.