\(4x^2+8x=12\)

Yritetään muokata yhtälöä niin, että vasemmalle puolelle saadaan binomin neliö

\(\parallel +2^2\)

\((2x)^2+2\cdot 2x\cdot 2+2^2=12+2^2\)

\((2x+2)^2=16\)

\(2x+2=\pm \sqrt{16}\)

\(2x+2=\pm 4\)

\(2x=-2\pm 4\)

\(\parallel :2\)

\(x=-1\pm 2\)

\(x=-3\) tai \(x=1\)

Ratkaisukaavaa käyttämällä saadaan ratkaistua mikä tahansa toisen asteen yhtälö

\(\textcolor{pink}{a}x^2 + \textcolor{cyan}{b}x + \textcolor{yellow}{c} = 0\)

\(\textcolor{pink}{1}\)

Sijoitetaan \(a=1\), \(b=4\) ja \(c=3\) ratkaisukaavaan

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4~~~a~~~c}}{2~~a}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}\]

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2}\]

\[x=\frac{-4\pm 2}{2}\]

\[x=\frac{-4-2}{2}\]

\[x=\frac{-4+2}{2}\]

tai

\[x=-3\]

\[x=-1\]

tai

\(\parallel :4\)

Jakamalla ensiksi suurimmalla yhteisellä tekijällä saadaan pienempiä kokonaislukukertoimia, ja päässälaskut helpottuvat

\(x^2+2x-3=0\)

\[x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}\]

\[x=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}\]

\[x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}\]

\[x=\frac{-2\pm4}{2}\]

\[x=\frac{-2-4}{2}\]

\[x=\frac{-6}{2}\]

\[x=-3\]

tai

\[x=\frac{-2+4}{2}\]

\[x=\frac{2}{2}\]

\[x=1\]

V: \(x=-3\) tai \(x=1\)

Kertomalla ensiksi pienimmällä yhteisellä moninkerralla saadaan kokonaislukukertoimia, ja päässälaskut helpottuvat

\(\parallel \cdot 4\)

\(3x^2+2x-4=0\)

\(\vdots\)

Jos yhtälö ei ole valmiiksi muodossa
\(ax^2+bx+c=0\), pitää yhtälö ensiksi muokata siihen muotoon ennen ratkaisukaavan käyttöä

\(-x^2+3x+2=0\)

\(\vdots\)

\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot 1}\)

\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2\cdot 1}\)

Jos neliöjuurimerkin alle tulee negatiivinen luku, yhtälöllä ei ole ratkaisuja!

V: Ei ratkaisua