48

Mikä on lukujonon sääntö?

Edellinen luku kerrotaan kahdella.

Kaikki jonon jäsenet saadaan yleisen jäsenen \(a_n\) kaavasta

 \(a_n=3\cdot 2^{n-1}\)

\(a_1=3\cdot 2^{1-1}=3\cdot 2^0 = 3\cdot 1 = 3\)

\(a_2=3\cdot 2^{2-1}=3\cdot 2^1 = 3\cdot 2 = 6\)

\(a_3=3\cdot 2^{3-1}=3\cdot 2^2 = 3\cdot 2\cdot 2 = 12\)

\(a_4=3\cdot 2^{4-1}=3\cdot 2^3 = 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 24\)

\(\vdots\)

Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen jäsenen erotus oli aina sama, jota kutsuttiin myös erotusluvuksi tai differenssiksi (\(d\))

Geometriseksi jonoksi kutsutaan jonoa, jonka kahden peräkkäisen luvun suhde eli suhdeluku (\(q\)) on sama

Esim. äskeinen jono on geometrinen, koska

\[q=\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12}=2\]

Esim. yo:ssa jonossa \(a_1=3\) ja \(q=\dfrac{6}{3}=2\), joten
\(a_n=3\cdot2^{n-1}\)

a) Lasketaan ensiksi suhdeluku
\(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

Yleinen jäsen on siis
\(a_n=9\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)

b) Käytetään yleisen jäsenen kaavaa
\(a_{6}=9\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-1}=9\cdot\dfrac{1^{5}}{3^{5}}=\dfrac{9}{3^5}=\dfrac{3^2}{3^5}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}\)

Neljännestä jäsenestä päästään kuudenteen jäseneen, kun neljäs jäsen kerrotaan kahdesti suhdeluvulla q.

\(5\cdot q^2=45\)

\(\parallel :5\)

\(q^2=9\)

\(\parallel \sqrt{\,}\)

\(q=\pm\sqrt{9}=\pm 3\)

Neljännestä jäsenestä päästään ensimmäiseen jäseneen, kun neljäs jäsen jaetaan kolmesti suhdeluvulla q

Jos \(q=3\), niin \(a_1=\dfrac{5}{3^3}=\dfrac{5}{27}\)

Jos \(q=-3\), niin \(a_1=\dfrac{5}{(-3)^3}=-\dfrac{5}{27}\)

Siis \(a_n=\dfrac{5}{27}\cdot3^{n-1}\) tai
\(a_n=-\dfrac{5}{27}\cdot(-3)^{n-1}\)

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

Jos geometrisen jonon n ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen, saadaan geometrinen summa \(S_n\)
\(S_4=3+6+12+24=45\)

Jos suhdeluku \(q\neq1\), geometrinen summa voidaan laskea

\(S_{n}=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

(Jos suhdeluku \(q=1\), kaikki jonon jäsenet ovat samoja, joten summa on yksinkertaisesti \(S_n=n\cdot a_1\))

Yo. summa kaavalla laskettuna olisi
\(S_4=\dfrac{3\cdot(1-2^4)}{1-2}=45\)