Теория пределов
11 класс
vkrysanov320@gmail.com
version 0.1, 25-10-2020
Новая идея математического анализа
x
y = f(x)
y
O
a
f(a)
A
Нам понятно, что делает функция в точке , но как она выглядит если подойти очень- очень близко к точке ?
a
a
Новая идея математического анализа (2)
x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2
Рассмотрим функцию . Она определена для всех , кроме .
Рассмотрим, как изменяются значения этой функции при неограниченном возрастании :
x
x=0
y = \frac{1}{x}+2
x
x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2
Значения данной функции приближаются к двум, когда независимая переменная неограниченно возрастает.
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{1}{x} + 2) = 2
Данное в математике записывается следующим образом: .
Новая идея математического анализа (3)
x
y = \frac{1}{x}+2
y
O
2
А теперь рассмотрим, как изменяются значения этой функции при приближении зависимой переменной к единице:
x
y
\frac{1}{10^{10}}
\frac{1}{10^2}
\frac{1}{10}
0{,}125
0,{25}
0{,}5
1
10^{10}+2
102
12
10
6
4
3
Значения данной функции приближаются к трем, когда независимая переменная стремится к одному.
x
y
1
2
4
8
10
10^2
10^{10}
3
2{,}5
2{,}25
2{,}125
2{,}1
2{,}01
\frac{1}{10^{10}} + 2
приближение слева:
приближение справа:
\lim\limits_{x \rightarrow 1} (\frac{1}{x} + 2) = 3
Данное в математике записывается следующим образом: .
Ещё пример
f(x) = x, \text{ если } x \ne 1
x
y
O
f(x) = x, x \ne 1
1
1
Несмотря на то, что функция не существует в точке ,
x = 1
\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x) = 1:
x
y
1
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0
-
\frac{10}{11}
\frac{5}{6}
\frac{4}{5}
\frac{3}{4}
\frac{1}{2}
0
По дороге график может вилять туда-сюда, но в конце концов все же приходит к — в том смысле, что попадает в любую сколь угодно малую окружность с центром в и остается там.
(a, L)
(a, L)
Запись
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A
оператор предела
аргумент предела
значение предела
f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A
или:
x_0
x_0
O
x
y
x_0
A
Предел функции при
\bm{x \to x_0}
\lim\limits_{x \rightarrow 8} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{8} = 2.
Примеры:
1)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{2+0}{0+1} = \frac{2}{1} = 2.
2)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{2+0}{0+1} = \frac{2}{1} = 2.
3)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = + \infty. \text{ } (!)
4)
\lim\limits_{x \rightarrow e} \ln x = 1.
Почти всегда, но не всегда...
Предел функции при
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = b: \underset{\varepsilon}{\forall} (\varepsilon > 0) ~\exists (N < x_0 < M )
~\underset{x}{\forall} (N < x < M, \text{ кроме м.б. } x = x_0) \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon
\bm{x \to x_0}
Число является пределом функции при , если каково бы ни было , можно найти числа и , что для всех , лежащих в интервале
(за исключением быть может точки ) выполняется неравенство
b
y = f(x)
x \rightarrow x_0
\varepsilon
N
M
(N < x_0 < M)
x
(N; M)
x_0
|f(x) - b| < \varepsilon.
x_0
N
M
b + \varepsilon
b - \varepsilon
b
y = f(x)
x
y
0
\lim\limits_{x \rightarrow 8} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{8} = 2.
Примеры:
1)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{2+0}{0+1} = \frac{2}{1} = 2.
2)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{2+0}{0+1} = \frac{2}{1} = 2.
3)
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = + \infty. (!)
4)
\lim\limits_{x \rightarrow e} \ln x = 1.
Предел функции при
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = b: \underset{\varepsilon}{\forall} (\varepsilon > 0) ~\exists N ~\underset{x}{\forall} (x > N)
\Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon
\bm{x \to +\infty}
Число является пределом функции при , если каково бы ни было положительное число , можно найти число , что для всех выполняется неравенство
b
y = f(x)
x \rightarrow +\infty
\varepsilon
N
x > N
|f(x) - b| < \varepsilon.
N
b + \varepsilon
b - \varepsilon
b
y = f(x)
x
y
0
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 + 3 = +\infty.
Примеры:
1)
2)
3)
4)
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0.
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{12}{\ln x} = 0.
\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \bigl(\frac{3}{2}\bigr)^x = \infty.
Предел функции при
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = b: \underset{\varepsilon}{\forall} (\varepsilon > 0) ~\exists M ~\underset{x}{\forall} (x < M)
\Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon
\bm{x \to -\infty}
Число является пределом функции при , если каково бы ни было положительное число , можно найти число , что для всех выполняется неравенство
b
y = f(x)
x \rightarrow +\infty
\varepsilon
N
x > N
|f(x) - b| < \varepsilon.
M
b + \varepsilon
b - \varepsilon
b
y = f(x)
x
y
0
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^2 + 3 = +\infty.
Примеры:
1)
2)
3)
4)
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = 0.
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{5}{4^x} = +\infty.
\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \bigl(\frac{3}{2}\bigr)^x = 0.
А есть ли разница, с какой стороны приближаться?
Конечно есть! И опять эта функция ...
O
x
y
y = \frac{1}{x}
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = ?
-\infty.
+\infty.
x
y
-10
-5
-1
-0{,}125
-0,{25}
-0{,}5
-\frac{1}{10}
-\frac{1}{5}
-1
-2
-4
-8
-100
приближение слева:
-\frac{1}{100}
*стремится к
-\infty.
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{1}{x} = -\infty
Левосторонний предел
x
y
10
5
1
0{,}125
0,{25}
0{,}5
\frac{1}{10}
\frac{1}{5}
1
2
4
8
100
приближение справа:
\frac{1}{100}
*стремится к
+\infty.
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x} = +\infty
Правосторонний предел
Односторонние пределы
Левосторонний, правосторонний и двусторонний предел
Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двусторонний предел при или просто имеет предел при
f(x)
x \rightarrow x_0
x \rightarrow x_0:
\lim\limits_{x \rightarrow a-0} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a+0} f(x) = A \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = A.
x
y
x
y
0
0
a
a
+\infty
-\infty
+\infty
+\infty
x
y
0
a
\lim\limits_{x \rightarrow a-0} f(x) = P \\
\lim\limits_{x \rightarrow a+0} f(x) = Q
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \in \varnothing
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
P
Q
\lim\limits_{x \rightarrow a-0} f(x) = + \infty\\
\lim\limits_{x \rightarrow a+0} f(x) = - \infty
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) \in \varnothing
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
Пример I
\lim\limits_{x \rightarrow a-0} f(x) = + \infty\\
\lim\limits_{x \rightarrow a+0} f(x) = + \infty
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
Пример II
Пример III
Разные понятия!
Разрыв
Разрыв
Разрыв
Точки разрыва
У точек разрыва имеется определенная классификация, на ней мы останавливаться не будем.
Но, если есть подозрения на разрыв функции в точке, то для определения и вычисления двустороннего предела необходимо вычислить односторонние!
Пример 1
-2
0
y
x
-2
f(x) =
\begin{cases}
x^2 - 2, \text{если } x>0;\\
-x - 2, \text{если } x<0.\\
\end{cases}
- Левосторонний:
- Правосторонний:
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} f(x) = -(-0)-2 = +0-2 = -2
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} f(x) = (+0)^2 - 2 = +0-2 = -2
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} f(x)
=\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} f(x) = -2
=\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = -2.
Найти , если
\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)
односторонние пределы равны
а значит, существует и двусторонний
точка разрыва
f(x)
Ответ:
-2.
Пример 2
- Левосторонний:
- Правосторонний:
\lim\limits_{x \rightarrow 3-0} f(x) = (3-0)^2 = 9+0 = 9
\lim\limits_{x \rightarrow 3+0} f(x) = 11 - (3-[3+0])^2 = 11 + 0 = 11
Найти , если
\lim\limits_{x \rightarrow 3} f(x)
односторонние пределы неравны
а значит, двусторонний предел не существует!
точка разрыва
Ответ: не существует.
y
x
f(x)
f(x) =
\begin{cases}
x^2, \text{если } x<3;\\
11 - (x-3)^2, \text{если } x>3.\\
\end{cases}
0
-3
\lim\limits_{x \rightarrow 3-0} f(x) = 9\\
\lim\limits_{x \rightarrow 3+0} f(x) = 11
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 3} f(x) \in \varnothing.
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
Условие непрерывности функции в точке
Определение: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
x_0
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).
Если более детально, то:
1. Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .
2. Должен существовать общий предел функции: А то есть существование и равенство односторонних пределов:
3. Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:
x_0
f(x_0)
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).
\lim\limits_{x \rightarrow x_0-0} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0+0} f(x) = A.
\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).
*Если нарушено хотя бы одно из трёх условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .
\bm{x_0}
Элементарный пример
Определить наличие точки разрыва при :
f(x) =
\begin{cases}
x+2, \text{ если } x>2;\\
4, \text{ если } x = 2;\\
6-x, \text{ если } x<2.
\end{cases}
Решение:
(1)\\
(2)\\
(3)\\
1) Проверяем существование функции при :
2) Проверяем существование двустороннего предела:
3) Сравниваем значение предела при и значение функции в этой же точке:
x = 2
f(2) = 4.
\lim\limits_{x \rightarrow 2+0} f(x) = 6-(2+0) = 6-2-0 = 4 - 0 = 4
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x) = 4.
f(2) = 4
x = 2
\lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x) = 4
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
\Rightarrow
равны, следовательно функция является непрерывной при
x = 2.
x = 2
(п. 2)
(п. 1)
\lim\limits_{x \rightarrow 2-0} f(x) = 2-0+2 = 4-0 = 4
Задачи
\lim\limits_{x \rightarrow -3} x^2;
\lim\limits_{x \rightarrow 1} (3x-7);
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\pi};
\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \cos x.
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{|x-1|};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^3};
\lim\limits_{x \rightarrow -2} \frac{-3}{x+2};
\lim\limits_{x \rightarrow 5} \frac{1}{x-5};
\lim\limits_{x \rightarrow 2} \log_2 x;
1. Вычислить пределы функций:
2. Вычислить односторонние пределы и двусторонние пределы (если определены):
\lim\limits_{x \rightarrow 1\pm0} \frac{1-x^2}{|x-1|}.
\lim\limits_{x \rightarrow 2\pm0} \frac{5}{x-2};
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
а) б)
Вычисление пределов
Свойства пределов
\lim\limits_{x \rightarrow a}\bigl(f_1(x) \pm f_2(x) \pm ... \pm f_n(x)\bigr) =
\lim\limits_{x \rightarrow a}f_1(x) \pm \lim\limits_{x \rightarrow a}f_2(x) \pm ... \pm \lim\limits_{x \rightarrow a}f_n(x)
\lim\limits_{x \rightarrow a}\bigl(f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot ... \cdot f_n(x)\bigr) =
\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow a}f_2(x) \cdot ... \cdot \lim\limits_{x \rightarrow a}f_n(x)
\lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x)},
\lim\limits_{x \rightarrow a}\bigl(k \cdot f(x)\bigr) = k \cdot \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)
Теорема 3 (св-во суммы):
Теорема 4 (св-во произведения):
- Следствие 1 (св-во постоянного множителя):
- Следствие 2 (св-во целой положит. степени):
\lim\limits_{x \rightarrow a}\bigl(f(x)\bigr)^{n} = \bigl(\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)\bigr)^n
Теорема 5 (св-во частного):
\lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) \ne 0
где
Теорема 2 (св-во постоянной):
\lim\limits_{x \rightarrow a} C = C
Теорема 1:
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один
предел.
Неопределенности
Часто при подстановке предельного значения в функцию получаются выражения следующих видов:
x_0
f(x)
\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, 1^\infty, 0^0, 0^{\infty}, \infty^0, \infty - \infty.
Эти выражения называются неопределенностями, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.
Неопределенность вида
\bm{\Bigl[\frac{0}{0}\Bigr]}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}\frac{P(x)}{Q(x)}}
Если предел вида (где и — многочлены) при подстановке
предельного значения обращается в неопределенность вида , то следует
разложить числитель и знаменатель на множители, сократить общие множители и подставить предельное значение вновь.
\Bigl[\frac{0}{0}\Bigr]
a
Пример: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2 + 14x - 32}{x^2 - 6x + 8}}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2 + 14x - 32}{x^2 - 6x + 8}} = \Bigl[\frac{0}{0}\Bigr]
\Rightarrow \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+16)}{(x-2)(x-4)}} =
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x+16}{x-4}} = \frac{2 + 16}{2 - 4} =
= \frac{18}{-2} = -9.
Решение:
P(x)
Q(x)
Неопределенность вида (2)
\bm{\Bigl[\frac{0}{0}\Bigr]}
Пример: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}}.
Решение:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}} = \Bigl[\frac{0}{0}\Bigr] \Rightarrow
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}} =
= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}}
= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}}
= \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}}
= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}\frac{\sqrt{P(x)} - \sqrt{Q(x)}}{T(x)}}
Если предел вида или (где —
многочлены) при подстановке предельного значения обращается в
неопределенность вида , то следует числитель и знаменатель дроби умножить на сопряженное выражение , затем упростить и подставить предельное значение вновь.
\Bigl[\frac{0}{0}\Bigr]
a
P(x), Q(x), T(x)
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow a}\frac{T(x)}{\sqrt{P(x)} - \sqrt{Q(x)}}}
\sqrt{P(x)} + \sqrt{Q(x)}
Неопределенность вида
Пример 1: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 2x + 5}}.
\bm{\Bigl[\frac{\infty}{\infty}\Bigr]}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x^2 + 3x + 1}{4x^2 + 2x + 5}} = \Bigl[\frac{\infty}{\infty}\Bigr]
\Rightarrow
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}}
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{4 + \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2}}} = \frac{2}{4}
Решение:
0
0
0
0
= \frac{1}{2}.
Пример 2: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x^2 - 3x - 4}{\sqrt{4x^4 + 1}}}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2x^2 - 3x - 4}{\sqrt{4x^4 + 1}}} = \Bigl[\frac{\infty}{\infty}\Bigr] \Rightarrow
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{
\frac{2x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} - \frac{4}{x^2}}
{\sqrt{\frac{4x^4}{x^4} + \frac{1}{x^4}}}
=
\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{
2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^2}}
{\sqrt{4 + \frac{1}{x^4}}}
}
=
Решение:
0
0
0
=\frac{2}{\sqrt{4}} = 1.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n}{bx^m + b_1x^{m-1} + ... + b_{m-1}x + b_m}}
Если предел вида при подстановке предельного
\Bigl[\frac{\infty}{\infty}\Bigr]
значения обращается в неопределенность вида , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить почленно на , где , затем упростить и подставить предельное значение вновь.
x^\alpha
\alpha = \max(m, n)
Неопределенность вида
\bm{[\infty - \infty]}
Неопределённость вида устраняется двумя распространёнными способами: приведением выражения под знаком предела к общему знаменателю и умножением/делением на сопряжённое выражение.
[\infty - \infty]
Пример: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\bigl(\sqrt{x^2 + 5x + 4} - \sqrt{x^2 + x}\bigr)}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\bigl(\sqrt{x^2 + 5x + 4} - \sqrt{x^2 + x}\bigr)}
= [\infty - \infty] \Rightarrow
Решение:
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(\sqrt{x^2 + 5x + 4} - \sqrt{x^2 + x})(\sqrt{x^2 + 5x + 4} + \sqrt{x^2 + x})}{\sqrt{x^2 + 5x + 4} + \sqrt{x^2 + x}}}
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^2 + 5x + 4 - x^2 - x}{\sqrt{x^2 + 5x + 4} + \sqrt{x^2 + x}}}
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{4x+4}{\sqrt{x^2 + 5x + 4} + \sqrt{x^2 + x}}}
=
\Bigl[\frac{\infty}{\infty}\Bigr]
\Rightarrow
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{4x+4}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 5x + 4} + \sqrt{x^2 + x}}{x}}}
=
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\frac{4x}{x} +
\frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} + \frac{4}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2}}}}
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{4 +
\frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}}
=
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}}
=2.
0
0
0
0
Неопределенности другого вида сводятся к замечательным пределам (об этом позже) или же применяются другие методы, которые мы рассматривать не будем...
Задачи
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^2 + 14x - 32}{x^2 - 6x + 8}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\bigl(\sqrt{4x^2 + 6x + 1} - 2\bigr)}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{2x^4 + x + 1}}{(x+1)(x+5)}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{4x^3 + 3x - 7}{x^2 + 3x - 4}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-2x}}{x}}
а)
б)
в)
г)
д)
ж)
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2 + 4} - 2}{\sqrt{x^2 + 9}- 3}}
з)
и)
й)
к)
л)
м)
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^3 - 4x^2 - 3x + 18}{x^3 - 5x^2 + 3x + 9}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2 - 2x + 1}{2x^2 - x - 1}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}\frac{\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}}{x^2 - 9}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}\frac{\sqrt{1+2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\bigl(\sqrt{7x^2 - 7x - 4} - \sqrt{7x^2 + 4x - 2}\bigr)}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\bigl(\sqrt{x^2 + 7} - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}
Первый замечательный предел
Рассмотрим функцию
y= \frac{\sin x}{x}:
O
y
x
y= \frac{\sin x}{x}
y= \frac{1}{x}
y= \sin x
\pi
2\pi
Точка разрыва
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} \frac{\sin x}{x} = 1 \Rightarrow
\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1.
Примеры
Пример 1: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{3x}}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{3x}} = \Bigl[\frac{0}{0}\Bigr] \Rightarrow \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{3x}} \Bigl|_{t = 3x} =
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}} = 1.
Решение:
Пример 2: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{3}}{\frac{5x}{3}}}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{3}}{\frac{5x}{3}}} = \Bigl[\frac{0}{0}\Bigr] \Rightarrow
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin \frac{5x}{3}}{\frac{5x}{3}}} \Bigl|_{t = \frac{5x}{3}} =
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}} = 1.
Решение:
Пример 3: вычислить
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2 + 9x - 10}{\sin (x^2 + 9x - 10)}}.
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2 + 9x - 10}{\sin (x^2 + 9x - 10)}} \Bigl|_{t = x^2 + 9x - 10} =
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t}{\sin t}} = \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\Bigl(\frac{\sin t}{t}}\Bigr)^{-1} =
\displaystyle{\Bigl(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}}\Bigr)^{-1}
= 1.
Решение:
1
Но тут ошибочка... Почему?
Задачи
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3\sin\frac{x}{3}}{x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tg x}{x}}
а)
б)
в)
г)
д)
ж)
з)
и)
й)
к)
л)
м)
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin\frac{x}{5}}{x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tg 5x}{x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin9x}{x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin5x}{\tg8x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin3x}{2x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin7x}{\tg x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1- \cos6x}{1-\cos2x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1- \cos5x}{x^2}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\tg 5x}}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\ctg 5x}}
Второй замечательный предел
Рассмотрим функцию
y= (1+x)^\frac{1}{x}.
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e \Rightarrow
\lim\limits_{x \rightarrow 0} (1+x)^\frac{1}{x} = e.
Точка разрыва при . Но при сближении что слева, что справа к нулю: , .
x=0
\lim\limits_{x \rightarrow 0+0} (1+x)^\frac{1}{x} = e
\lim\limits_{x \rightarrow 0-0} (1+x)^\frac{1}{x} = e
А2. Теория пределов
By vkrysanov320
