Объёмы тел
11 класс
vkrysanov320@gmail.com
version 1.0, 19-01-2021
Выч-е объемов (интегральный пдх. (I))
V = \iiint\limits_V dxdydz
= \int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_{y = y_1(x)}^{y=y_2(x)}dy \int\limits_{z=z_1(x;y)}^{z=z_2(x;y)}dz.
Выч-е объемов (интегральный пдх. (II))
\Delta x
a
b
x
S(x)
Выч-е объемов тел вращения
\displaystyle{V = \int\limits_a^b S(x)dx = \int\limits_a^b \pi f^2(x)dx = \pi \int\limits_a^b f^2(x)dx.}
f(x)
S(x) = \pi R^2\Bigl|_{R = f(x)} = \pi f^2(x)
Поперечными сечениями будут круги с радиусами, равными модулю ординаты у вращающейся кривой:
Телом вращения называется тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры. В роли плоской фигуры может выступать криволинейная трапеция, заданная функцией , как показано на рисунке ниже.
f(x)
Тогда, применяя интегральный подход II, получаем:
Объем прямого параллелепипеда
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S=const} \int\limits_0 ^H S_{\text{осн}} dx =
S_{\text{осн}} x \Bigl|_0 ^H = S_{\text{осн}}(H - 0) = S_{\text{осн}}H.
V = S_{\text{осн}}H
S(0)
x_i
H
*Площадь не изменится в любой точке отрезка от до и равна площади основания
0
H
S(0) = S(x_1) = ... = S(x_n)
0
S(x_i)
S(H)
x_i
H
x
Объем прямой призмы
V = S_{\text{осн}}H
S(0)
x_i
H
*Площадь не изменится в любой точке отрезка от до и равна площади основания
0
H
S(0) = S(x_1) = ... = S(x_n)
0
S(x_i)
S(H)
x_i
H
x
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S=const} \int\limits_0 ^H S_{\text{осн}} dx =
S_{\text{осн}} x \Bigl|_0 ^H = S_{\text{осн}}(H - 0) = S_{\text{осн}}H.
Объем прямой n-угольной призмы
V = S_{\text{осн}}H
S(0)
x_i
H
*Площадь не изменится в любой точке отрезка от до и равна площади основания
0
H
S(0) = S(x_1) = ... = S(x_n)
0
S(x_i)
S(H)
x_i
H
x
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S=const} \int\limits_0 ^H S_{\text{осн}} dx =
S_{\text{осн}} x \Bigl|_0 ^H = S_{\text{осн}}(H - 0) = S_{\text{осн}}H.
Объем наклонной призмы
V = S_{\text{осн}}H
S(0)
x_i
H
*Площадь не изменится в любой точке отрезка от до и равна площади основания
0
H
S(0) = S(x_1) = ... = S(x_n)
0
S(x_i)
S(H)
x_i
H
x
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S=const} \int\limits_0 ^H S_{\text{осн}} dx =
S_{\text{осн}} x \Bigl|_0 ^H = S_{\text{осн}}(H - 0) = S_{\text{осн}}H.
Объем треугольной пирамиды
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}} \int\limits_0 ^H \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2} dx =
V = \frac13 S_{\text{ осн}} H
S(0)
x_i
H
*Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния , причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных тругольниках:
0
S(x_i)
x_i
H
x
x
\frac{S_{\text{ осн}}}{S(x)} = \bigl(\frac{H}{x}\bigr)^2 \Rightarrow
S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}
= \frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \int\limits_0 ^H x^2 dx =
\frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \frac{x^3}{3} \Bigl|_0^ H =
\frac13 S_{\text{ осн}} H.
Объем n-угольной пирамиды
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}} \int\limits_0 ^H \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2} dx =
V = \frac13 S_{\text{ осн}} H
S(0)
x_i
H
*Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния , причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n- угольниках:
0
S(x_i)
x_i
H
x
x
\frac{S_{\text{ осн}}}{S(x)} = \bigl(\frac{H}{x}\bigr)^2 \Rightarrow
S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}
= \frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \int\limits_0 ^H x^2 dx =
\frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \frac{x^3}{3} \Bigl|_0^ H =
\frac13 S_{\text{ осн}} H.
Объем цилиндра
S(0)
x_i
H
0
S(x_i)
x_i
H
x
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S=const} \int\limits_0 ^H S_{\text{осн}} dx =
S_{\text{осн}} x \Bigl|_0 ^H = S_{\text{осн}}(H - 0) = S_{\text{осн}}H.
*Площадь не изменится в любой точке отрезка от до и равна площади основания
0
H
V = S_{\text{осн}}H
S(0) = S(x_1) = ... = S(x_n)
S(H)
Объем конуса
S(0)
x_i
H
0
S(x_i)
x_i
H
x
V = \int\limits_0^{H} S(x) dx \xRightarrow{S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}} \int\limits_0 ^H \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2} dx =
V = \frac13 S_{\text{ осн}} H
*Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния , причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов:
x
\frac{S_{\text{ осн}}}{S(x)} = \bigl(\frac{H}{x}\bigr)^2 \Rightarrow
S(x) = \frac{S_{\text{ осн}} \cdot x^2}{H^2}
= \frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \int\limits_0 ^H x^2 dx =
\frac{S_{\text{ осн}}}{H^2} \frac{x^3}{3} \Bigl|_0^ H =
\frac13 S_{\text{ осн}} H.
Объем шара
S(0)
x_i
0
S(x_i)
x_i
R
x
r
S(x) = \pi r^2 = \pi(\sqrt{R^2 - x^2})^2 = \pi(R^2 - x^2)
= \pi \int\limits_0^R (R^2 - x^2) dx = \pi \int\limits_0^R R^2 - \pi \int\limits_0^R x^2dx =
V_{\frac{1}{2} шара} = \int\limits_0^{R} S(x) dx \xRightarrow{S(x) = \pi(R^2 - x^2)}
\int\limits_0^R \pi(R^2 - x^2) dx =
= \pi \int\limits_0^R (R^2 - x^2) dx = \pi \int\limits R^2 dx - \pi \int\limits_0^R x^2dx =
= \pi R^2 x \Bigl |_{0}^{R} - \pi \frac{x^3}{3} \Bigl |_{0}^R = \pi R^3 - \frac{\pi R^3}{3} = \frac{2\pi R^3}{3}.
\Rightarrow V_{шара} = 2{V_{\frac{1}{2}шара}} = 2 \frac{2\pi R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3.
V = \frac{4}{3}\pi R^3
Шаровой сегмент
Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
\alpha
AB
— высота шарового сегмента.
S = 2\pi Rh
Площадь сферического сегмента (часть сферы, отсекаемая от нее плоскостью) вычислить как:
Объем шарового сегмента
R-h
0
r
R
*Вывод объема шарового сегмента с высотой и радиусом основания отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен :
h
r
R-h
V_{ш. сегм.} = \int\limits_{R-h}^{R} S(x) dx \xRightarrow{S(x) = \pi(R^2 - x^2)}
\int\limits_{R-h}^R \pi(R^2 - x^2) dx =
=\int\limits_{R-h}^R \pi(R^2 - x^2) dx =
\pi \int\limits_{R-h}^R R^2 dx - \pi \int\limits_{R-h}^R x^2 dx =
=\pi \Bigl(R^2 x - \frac{x^3}{3} \Bigr)\Bigl |_{R-h}^R =
\pi \Bigl(R^2 R - \frac{R^3}{3} - \bigl(R^2(R-h) - \frac{(R-h)^3}{3}\bigr)\Bigr)=
\pi\Bigl(\frac{2 R^3}{3}- R^3 + R^2h +
\frac{R^3-3R^2h + 3Rh^2 - h^3}{3}\Bigr )
= \pi(Rh^2 - \frac{h^3}{3}) = \pi h^2(R - \frac{h}{3}).
V = \pi h^2(R - \frac{h}{3})
R
Шаровой слой (пояс)
Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.
\alpha
AB
— высота шарового слоя.
\beta
S = 2\pi Rh
Площадь сферической части шарового слоя равна:
Объем шарового слоя
A
B
C
AC
BC
Объем шарового слоя равен разности объемов двух шаровых сегментов:
V = V_{AC} - V_{BC}
Шаровой сектор
Шаровой сектор — часть шара, ограниченная сферической частью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, имеющего то же основание, что и шаровой сегмент.
Объем шарового сектора
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, значит объем шарового сектора равен:
V = V_{конус} + V_{ш. сек.}
V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r^2 (R-h)
\Bigl|
h
r
R
O
V_{ш.сег.} = \pi h^2(R - \frac{h}{3}).
r = \sqrt{R^2 - (R-h)^2} =\\= \sqrt{R^2 - [R^2 - 2Rh + h^2]} =\\= \sqrt{2Rh - h^2} = \sqrt{h(2R - h)}
V_{конус} = \frac{1}{3}\pi r^2 (R-h)
\Bigl|
= \frac{1}{3}\pi h(2R - h) (R-h).
\Bigl| =
V = \frac{1}{3}\pi h(2R - h) (R-h) + \pi h^2(R - \frac{h}{3}) =
\frac{1}{3}\pi h(2R - h) (R-h) + \frac{1}{3}\pi h^2(3R - h) =
\frac{2}{3}\pi R^2 h.
Тогда:
V = \frac{2}{3}\pi R^2 h
Задачи
1. Найти объем цилиндра, диаметр основания которого равен его высоте, а площадь осевого сечения равна 16.
2. Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.
3. Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в 343 раза больше объема второго шара?
4. Сосуд имеет форму конуса и вмещает в себя 2700 мл жидкости. Определите, сколько мл жидкости налито в сосуд, если высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда.
Задачи (2)
5. В сосуд цилиндрической формы, объем которого 2400 кубических сантиметра, налили жидкость, заполнив сосуд на треть, а затем в жидкость полностью погрузили некоторый предмет, вследствие чего уровень жидкости в сосуде поднялся на четверть. Найдите объем предмета в кубических сантиметрах.
6. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда , равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр , перпендикулярный . Построено сечение , проходящее через прямую перпендикулярно прямой так, что точка и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр , лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды .
CABNM
AB
CD
AB
ABNM
AB
C
CD
CD
Г3. Объемы
By vkrysanov320
